【三維設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué) 第六章第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A

第六章不等式、推理與證明第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法(理)抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來(lái)演練

[備考方向要明了]考

什

么了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.怎

么

考1.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式以及與數(shù)列有關(guān)的命題是高考命題的熱點(diǎn)．2.題型為解答題，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用及學(xué)生的邏輯推理能力，難度中、高檔.

數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟：1．(歸納奠基)證明當(dāng)n取

時(shí)命題成立；2．(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)

時(shí)命題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．第一個(gè)值n0(n0∈N*)n＝k＋1答案：

B解析：∵n為偶數(shù)故假設(shè)n＝k成立后，再證n＝k＋2時(shí)等式成立．答案：

D2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為(

)A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23解析：由n＝1時(shí)，左＝1＋2＋22＋23.答案：

D答案：2k答案：3解析：第一步檢驗(yàn)驗(yàn)的第一個(gè)個(gè)值n0應(yīng)為3.數(shù)學(xué)歸納法法的應(yīng)用(1)數(shù)學(xué)歸納法法是一種只只適用于與與正整數(shù)有有關(guān)的命題題的證明方法，它它們的表述述嚴(yán)格而且且規(guī)范，兩兩個(gè)步驟缺缺一不可．．第一步是是遞推的基基礎(chǔ)，第二二步是遞推推的依據(jù)，，第二步中中，歸納假假設(shè)起著“已知條件”的作用，在在n＝k＋1時(shí)一定要運(yùn)運(yùn)用它，否否則就不是是數(shù)學(xué)歸納納法．第二二步的關(guān)鍵鍵是“一湊假設(shè)，，二湊結(jié)論論”．(2)在用數(shù)學(xué)歸歸納法證明明問(wèn)題的過(guò)過(guò)程中，要要注意從k到k＋1時(shí)命題中的的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)數(shù)的變化，，防止對(duì)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)估算錯(cuò)錯(cuò)誤．[精析考題][例1]求證：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3··5·…·(2n－1)(n∈N*)．[自主解答]當(dāng)n＝1時(shí)，等式左左邊＝2，右邊＝2，故等式成成立；假設(shè)設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立立，即(k＋1)(k＋2)·…··(k＋k)＝2k·1·3·5··…·(2k－1)，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5··…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5··…·(2k－1)(2k＋1)，這就是是說(shuō)當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也也成立．．綜上可知知原等式式對(duì)于任任意正整整數(shù)n都成立．．[巧練模擬擬]————————(課堂突破破保分題題，分分分必保！！)[沖關(guān)錦囊囊]用數(shù)學(xué)歸歸納法證證明恒等等式應(yīng)注注意(1)明確初始始值n0的取值并并驗(yàn)證n＝n0時(shí)等式成成立．(2)由n＝k證明n＝k＋1時(shí)，弄清清左邊增增加的項(xiàng)項(xiàng)，且明明確變形目標(biāo)．．(3)掌握恒等等變形常常用的方方法：①①因式分分解；②②添拆項(xiàng)項(xiàng)；③配方法法.若x1，x2，…，xn為正數(shù)，，則(1－x1)·(1－x2)·…··(1－xn)>1－(x1＋x2＋…＋xn)(n≥2，n∈N)．(*)①當(dāng)n＝2時(shí)，∵x1>0，x2>0，∴(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2>1－(x1＋x2)．②假設(shè)當(dāng)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)，不等等式成立立，即若若x1，x2，…，xk為正數(shù)，，則(1－x1)(1－x2)…(1－xk)>1－(x1＋x2＋…＋xk)，[沖關(guān)錦囊囊]1．用數(shù)學(xué)學(xué)歸納法法證明與與正整數(shù)數(shù)n有關(guān)的不不等式，，一般有有三種具體體形式：：一是直直接給出出不等式式，按要要求進(jìn)行行證明；；二是比比較兩個(gè)個(gè)式子的的大小，，先利用用n的幾個(gè)特特殊值猜猜想大小小再給出出證明；；三是已已知不等等式成立立，尋求求變量的的取值范范圍．2．在證明明由n＝k到n＝k＋1成立時(shí)，，一定要要用歸納納假設(shè)n＝k時(shí)得到的的中間過(guò)過(guò)渡式，，由過(guò)渡渡式到目目標(biāo)式的的證明可可以用放放縮法、、基本不不等式、、分析法法等.[精析考題題][例3](2012·北京海淀淀模擬)數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此此猜想通通項(xiàng)公式式an；(2)用數(shù)學(xué)歸歸納法證證明(1)中的猜想想．[巧練模擬擬]——————(課堂突破破保分題題，分分分必保?。?[沖關(guān)錦囊囊]解“歸納—猜想—證明”題的關(guān)鍵鍵環(huán)節(jié)(1)準(zhǔn)確計(jì)算算出前若若干具體體項(xiàng)，這這是歸納納、猜想想的基礎(chǔ)礎(chǔ)．(2)通過(guò)觀察察、分析析、比較較、聯(lián)想想，猜想想出一般般結(jié)論．．(3)用數(shù)學(xué)歸歸納法證證明之．．解題樣板板數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸納法法解答題題的規(guī)范范解答[高手點(diǎn)撥撥]1．解答本本題時(shí)易易忽略的的步驟(1)構(gòu)造φ(x)后易忽略φ(x)的單調(diào)性的判判斷．尤其是是其定義域?yàn)?0，＋∞)易忽視．(2)在推證n＝k＋1時(shí)沒(méi)有用上歸歸納假設(shè)．2．解答本題時(shí)時(shí)易出現(xiàn)