《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 兩角和與差及二倍角公式課件

第十八講兩角和與差及二倍角公式回歸課本1.C(α-β)∶cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)∶cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβS(α+β)∶sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβS(α-β)∶sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβT(α+β)∶tan(α+β)=(α,β,α+β≠kπ+,k∈Z)T(α-β)∶tan(α-β)=(α,β,α-β≠kπ+,k∈Z).注意:(1)注意公式的適用范圍:在T(α±β)中,α,β,α±β都不等于kπ+

(k∈Z).即保證tanα?tanβ?tan(α±β)都有意義.(2)對(duì)公式tan(α+β)=,下面的四種變式在以后的解題中經(jīng)常用到:①=tan(α+β)(逆用);②1-tanαtanβ=③tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);④tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β)-tanα-tanβ.2.在和角公式S(α+β)?C(α+β)?T(α+β)中,當(dāng)α=β時(shí)就可得到二倍角的三角函數(shù)公式S2α?C2α?T2α.sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α,tan2α=3.余弦二倍角公式有三種形式,即cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,由此可得變形公式sin2α=,cos2α=,它的雙向應(yīng)用分別起到縮角升冪和擴(kuò)角降冪的作用.4.asinα+bcosα=sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=,tanφ=.φ的終邊所在象限由點(diǎn)(a,b)來(lái)確定.注意:(1)公式成立的條件:在公式中,只有當(dāng)公式的等號(hào)兩端都有意義時(shí),公式才成立.(2)公式應(yīng)用要講究一個(gè)“活”字,即正用?逆用?變形用,還要?jiǎng)?chuàng)造條件用公式,如拆角?配角技巧:β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β)等.注意切化弦?通分等方法的的使用,充分利用三角角函數(shù)值的變變式,如1=tan45°,-1=tan135°,=tan60°,=cos60°或=sin30°,sinx+cosx=2sin學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)運(yùn)用公式.(3)當(dāng)角α,β中有一個(gè)角為為90°的整數(shù)倍時(shí),使用誘導(dǎo)公式式較為簡(jiǎn)便,誘導(dǎo)公式是兩兩角和與差的的三角函數(shù)公公式的特例.(4)搞清公式的來(lái)來(lái)龍去脈,C(α-β)是基礎(chǔ),其他公式都是是用代換法及及誘導(dǎo)公式得得到的推論,即(5)二倍角公式的的正用?逆用及變形用用是公式的三三種主要使用用方法,特別是變形用用有時(shí)恰是解解題思路的關(guān)關(guān)鍵.如:2sinαcosα=sin2α,sinαcosα=sin2α,cosα=cos2α-sin2α=cos2α,=tan2αα,1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosαα=(sinαα±cosαα)2,1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.考點(diǎn)陪練1.sin15°cos75°+cos15°°sin105°等于()解析:sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°°=sin90°=1.答案:D答案:A答案:B4.下列各式中,值為的的是()A.2sin15°cos15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°答案:B答案:A類(lèi)型一 兩角角和與差的三三角函數(shù)解題準(zhǔn)備:利用和差公式式對(duì)三角函數(shù)數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)簡(jiǎn)與求值,是每年高考必必考內(nèi)容,縱觀近幾年的的高考試題,對(duì)本考點(diǎn)的內(nèi)內(nèi)容一是直接接考查,二是以和差公公式為角的變變換工具,與向量?函數(shù)?不等式等知識(shí)識(shí)相結(jié)合的綜綜合題.[分析]先將條件等式式展開(kāi),聯(lián)立方程組求求得sinα?cosβ與cosα?sinβ的值,再將待求式子子化簡(jiǎn)即可.[反思感悟]已知三角函數(shù)數(shù)值,求三角函數(shù)式式的值,往往要對(duì)待求求式進(jìn)行化簡(jiǎn)簡(jiǎn).像本題通過(guò)化化簡(jiǎn)發(fā)現(xiàn)必須須先求的的值,而已知條件為為正弦函數(shù)值值,因此由求轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為求的值,從而容易想到到將兩個(gè)條件件等式展開(kāi),再聯(lián)立方程組組即可.類(lèi)型二 二倍倍角的三角函函數(shù)解題準(zhǔn)備:本考點(diǎn)的考查查基本上是以以二倍角公式式或變形公式式為工具,對(duì)角或函數(shù)名名稱(chēng)進(jìn)行恰當(dāng)當(dāng)變換,以化簡(jiǎn)求值為為主,在具體問(wèn)題中中,必須熟練準(zhǔn)確確地運(yùn)用公式式.[反思感悟]二倍角的余弦弦公式的正用用是化倍角為為單角,相應(yīng)三角函數(shù)數(shù)式項(xiàng)的次數(shù)數(shù)翻倍(即升冪);其逆用則是化化二次式為一一次式(即降冪),單角變倍角,求解中注意倍倍角與單角的的相對(duì)性.類(lèi)型三 輔助助角公式的應(yīng)應(yīng)用解題準(zhǔn)備:1.由S(α+β),我們可以得出出輔助角公式式,即asinx+bcosx=sin(x+φ)(其中φ角的終邊所在在象限由a,b的符號(hào)確定,φ角滿足cosφ=,sinφ=,這是經(jīng)常用到到的一個(gè)公式式,它可把含sinx、cosx的一次式的三三角函數(shù)式化化為Asin(x+φ)的形式,從而進(jìn)一步探探索三角函數(shù)數(shù)的性質(zhì).錯(cuò)源一 使用用公式時(shí)不注注意使用條件件[剖析]這是一道熱點(diǎn)點(diǎn)測(cè)試題,上述解法執(zhí)行行了“標(biāo)準(zhǔn)”答案選A.題設(shè)條件中的的m∈(0,1),事實(shí)上,如當(dāng)α=2kπ+(k∈Z)時(shí),1-2m2=0,tan2α失掉意義,若題設(shè)條件中中限制m≠,則應(yīng)當(dāng)選A.[答案]D錯(cuò)源二 求角角時(shí)對(duì)角的范范圍討論不準(zhǔn)準(zhǔn)確【典例2】若tan(α-β)=,tanβ=,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.[剖析]上述解法就是是犯了對(duì)角的的討論不正確確而錯(cuò)誤確定定了所求角的的取值范圍.技法一 構(gòu)造造斜率【典例1】求值:[解]設(shè)A(cos40°,sin40°),B(cos20°,sin20°),于是所求是A?B兩點(diǎn)連線的斜斜率kAB,而A?B兩點(diǎn)都在單位位圓x2+y2=1上.設(shè)直線AB與x軸交于C點(diǎn),作OD⊥AB垂足為D.易知∠x(chóng)OB=20°,∠x(chóng)OA=40°°,∠BOA=20°,∠BOD=10°,于是在Rt△COD中,∠COD=30°,∠∠DCO=60°,于是直線AB的傾斜角∠x(chóng)CD=120°,所以kAB==tan120°=技法二 巧用用兩角和與差差公式解題一?巧變角1.巧湊角【典例2】若銳角α、β滿足cosα=,cos(α+ββ)=,求sinβ的值.[解]注意到β=(α+ββ)-α,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(αα+β)cosα-cos(α+ββ)sinαα∵α為銳角且cosα=,∴sinα=2.巧拆角【典例3】求的的值.[解題切入點(diǎn)]該題為非特殊殊角三角函數(shù)數(shù)求值,不能直接進(jìn)行行,注意拆角向特特殊靠攏易求求值.二?巧變公式結(jié)構(gòu)構(gòu)【典例4】求tan25°°+tan35°+tan25°tan35°的值.[解]注意到25°+35°=60°°,故用兩角和正正切變形公式式.原式=tan(25°+35°)(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°=(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°°=三?巧引參數(shù)【典例5】已知銳角α、β滿足條件求求證證α+β=.[解題切入點(diǎn)]若注意到已知知條件滿足公公式sin2α+cos2α=1時(shí),可引進(jìn)參數(shù)θ,進(jìn)行三角代換換.[證明]由已知可設(shè)=cosθ,=sinθ,則有sin2α=cosθθ?cosβ,①①cos2α=