《新高考全案》高考數學 第2章 函數與基本的初等函數 第9講 函數與方程課件 人教

一、方程的根與函數的零點1．對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的

．2．函數y＝f(x)的

就是方程f(x)＝0的

，亦即函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的

．即：方程f(x)＝0有

?函數y＝f(x)的圖象與x軸有

?函數y＝f(x)有

．零點零點實數根橫坐標實數根零點交點3．求函數y＝f(x)的零點(1)(代數法)求方程f(x)＝0的

．(2)(幾何法)結合函數y＝f(x)的圖象，并利用函數的性質找出

．4．零點存在性定理函數在區(qū)間[a，b]上的圖象是

的，且

，那么函數f(x)在區(qū)間[a，b]上至少

．實數根零點連續(xù)f(a)f(b)<0有一個零點5．一元二次方程根的分布設x1、x2是實系數二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的兩實根，則x1、x2的分布范圍與二次方程系數之間的關系如下表所示：二、用二分法求方程的近似解對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且滿足

的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間

，使區(qū)間的兩個端點

，進而得到零點近似值的方法叫做 ．給定

，用二分法求函數f(x)的零點近似值的步驟如下：f(a)·f(b)<0一分為二逐步逼近零點二分法精度ξ1．確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精度ξ.2．求區(qū)間(a，b)的

x1.3．計算f(x1)：(1)若f(x1)＝0，則x1就是函數的零點．(2)若

，則令

(此時零點x0∈(a，x1)．(3)若

，則令

(此時零點x0∈(x1，b)．4．判斷是否達到精度ξ即若

，則得到零點的

；否則重復步驟2～4.中點f(a)·f(x)<0b＝x1f(x1)·f(b)<0a＝x1|a－b|<ξ零點值a(或b)1．(2010·天津，4)函數f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[解析]

f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0，∵y＝ex是單調增函數，y＝x－2是增函數，∴f(x)＝ex＋x－2在R上是增函數，∴在(0,1)區(qū)間上f(x)存在一個零點．故選C.[答案]

C2．函函數圖圖象與與x軸均有有公共共點，，但不不能用用二分分法求求公共共點橫橫坐標標的是是()[答案案]B3．(2010·廣廣東六六校聯(lián)聯(lián)考)方程x2＋2x－a＝0在在[－－1,1]上有有解，，則a的取值值范圍圍是________．．[答案案][－1,3]已知函函數f(x)＝3x－x2.問：：方程程f(x)＝0在區(qū)區(qū)間[－1,0]內內有沒沒有實實數解解？為為什么么？[分析析]要判斷斷f(x)在某某個區(qū)區(qū)間上上是否否有解解，可可先確確定f(x)在這這個區(qū)區(qū)間上上是否否有零零點．．[點評評與警警示]函數零零點的的存在在性常常用方方法，，一是是用零零點定定理，，二是是解方方程，，三是是用圖圖象；；而求求函數數零點點就是是求相相應方方程的的實數數根；；確定定零點點個數數時，，要注注意重重根時時的表表述．．[解析析]當x≤0時，，由x2＋2x－3＝＝0解解得x＝1或或－3，則則f(x)在(－∞，0]上有有1個個零點點；當當x＞0時時，由由－2＋lnx＝0解解得x＝e2，則f(x)在(0，＋∞)上有1個零點點，所以以f(x)共有2個零點點，故選選B.[答案]B若關于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有兩兩個不相相等的實實根，分分別滿足足下列條條件，求求a的取值范范圍．(1)方方程的兩兩根都大大于1；；(2)方方程一根根大于1，另一一根小于于1.[點評與與警示]二次方程程根的分分布問題題，常借借助二次次函數的的圖示進進行等價價轉化，，先作出出二次函函數的大大致圖象象，然后后列出相相應滿足足條件的的不等式式組，使使問題得得到解決決．已知一元元二次方方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有且且僅有一一實根在在(0,1)內內，求m的范圍．．[解]設f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m由f(0)··f(1)<0?m<0.(北師大大版高中中數學必必修1改改編)求函數f(x)＝x3－x－1在區(qū)區(qū)間[1,1.5]內內的一個個零點，，(精確確到0.01)．[解]∵f(1)<0f(1.5)>0∴f(x)在區(qū)間間[1,1.5]存在在零點用二分法法逐次計計算列表表如下：：端(中點)坐標中點函數值取區(qū)間an－bn[1,1.5]0.51.25f(1.25)<0[1.25,1.5]0.251.375f(1.375)>0[1.25,1.375]0.1251.3125f(1.3125)<0[1.3125,1.375]0.06251.34375f(1.34375)>0[1.3125,1.34375]0.031251.328125f(1.325125)>0[1.3125,1.328125]0.0156251.3203125f(1.3203125)>0[1.3203125,1.328125]0.005∵|1.3203125－1.328125|＝0.005<0.01至此可以以看出，，函數的的零點落落在區(qū)間間長度小小于0.01的的區(qū)間[1.3203125,1.328125]內，，因為該該區(qū)間的的所有值值精確到到此為0.01都是1.32，因此此1.32是函函數f(x)＝x3－x－1精確確到0.01的的一個近近似零點點．[點評與與警示]用二分法法求函數數零點近近似值的的步驟，，借助于于計算器器一步步步求解即即可，我我們可以以借助于于表格和和數軸，，清楚地地描寫逐逐步縮小小零點所所在區(qū)間間的過程程，而運運算終止止的時候候就在區(qū)區(qū)間長度度小于精精確度ε的時候．．求方程lnx＋x－3＝0在(2,3)的近似似解(結結果精確確到0.1)[解]令f(x)＝lnx＋x－3，即即求函數數f(x)在(2,3)內的零零點，用用二分法法逐步計計算，列列表如下下：由于區(qū)間間[2.1875,2.25]的的長度2.25－2.1875＝＝0.0625＜0.1，，所以其其兩個端端點的近近似值2.2就就是方程程的根．．區(qū)間中點中點函數值[2,3]2.50.4164[2,2.5]2.250.0609[2,2.25]2.125－0.1212[2.125,2.25]2.1875－0.0297[2.1875,2.25]設x0是方程程lnx＋x＝4的的解，，則屬屬于區(qū)區(qū)間()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析析]轉化為為函數數的零零點去去考慮慮，令令f(x)＝lnx＋x－4，，在A中，，當x→0時，，f(x)＝lnx＋x－4<0，，f(1)＝ln1＋1－4＝－－3<0，，故不不能確確定是是否有有根；；在B中，，f(1)＝ln1＋1－4＝－－3<0，，f(2)＝ln2＋2－4＝－－2＋＋ln2<0，，故不不能確確定是是否有有根；；在C中，，f(2)＝ln2＋2－4＝－－2＋＋ln2<0，，f(3)＝ln3＋3－4＝－－1＋＋ln3>0，，f(x)＝0有根根，故故x0屬于區(qū)區(qū)間(2,3)；在在D中中，f(3)＝ln3＋3－4＝－－1＋＋ln3>0，，f(4)＝ln4＋4－4＝ln4>0，故故不能能確定定是否否有根根．故故選C.[答案案]C設函數數f(x)＝x＋lnx－3的的零點點為m，則m所在的的區(qū)間間為()A．(1,2)B．．(2,3)C．(3,4)D．．(4,5)[解析析]由f(3)＞0，f(2)＜0.故故選B.[答案案]B1．函函數y＝f(x)的零零點就就是方方程f(x)＝0的實實數根根，也也是y＝f(x)的圖圖象與與x軸的交交點的的橫坐坐標．．所以以：f(x)＝0有實實根?y＝f(x)與x軸有交點?y＝f(x)有零點．．2．二次方方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的的分布、存存在問題，，既可以用用判別式、、求根公式式、韋達定定理等代數數方法，也也可以借助助方程對應應的二次函函數的圖象象特征列出出等價條件件組，解題題時應選擇擇計算量小小的方法．．