第15講隱函數(shù)的求導(dǎo)法

第三節(jié)（5）本節(jié)內(nèi)容:一、一個方程的情形二、方程組的情形隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

第五章

問題：1.方程（組）滿足何條件才能確定隱函數(shù)；

前面討論了如果一個二元方程確定了一個隱函數(shù)，可以不對這個隱函數(shù)顯式化而直接求其導(dǎo)數(shù)的問題．2.方程（組）確定的隱函數(shù)如何求導(dǎo)（偏導(dǎo)）.一、一個方程時的情形１．一個二元方程任何一個二元方程在任何條件下都可以確定一個隱函數(shù)嗎？考慮方程在點（1,0）附近的情況，在點（0,1）附近呢？討論：函數(shù)是x和y是兩個變量，D是一個給定的數(shù)集，若對于

，變量y按照確定的法則總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù).答：方程

在點（1,0）附近，對于任意的x

，都有y的兩個值

與之對應(yīng)，因此，在點（1,0）附近該方程不能確定一個函數(shù)

．

事實上，對任意一個給定的方程，要由它確定一個隱函數(shù)是需要一些條件的，為此有隱函數(shù)存在定理.但在點(0,1)附近就不同了，在這點附近，對于任意的x

都有y的唯一的一個值與之對應(yīng)．因此，在點（0,1）附近該方程能確定一個函數(shù)

．定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)①的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個②③滿足條件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)由定理的條件與結(jié)論來看，條件中的意義何在？在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；滿足由于及連續(xù)，因此存在的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)，這個結(jié)論是由哪個條件保證的呢？關(guān)于隱函數(shù)存在性的證明省略，我們僅在隱函數(shù)存在的前提下，借助多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t來說明的正確性．

將由方程所確定的隱函數(shù)代入該方程中，得將方程的兩端分別對x求導(dǎo)，左端利用鏈?zhǔn)椒▌t得于是得看到定理條件中偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的意義了嗎？若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.驗證方程在點(0,0)某鄰域可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束并求機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束兩邊對x求導(dǎo)兩邊再對x求導(dǎo)令x=0,注意此時導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束增加方程中變量的個數(shù)2．三元或三元以上的方程兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法1

利用公式設(shè)則兩邊對x求偏導(dǎo)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.設(shè)例2.設(shè)解法2利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束再對x

求導(dǎo)例3.設(shè)例4.設(shè)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例,即雅可比目錄上頁下頁返回結(jié)束二、方程組確定的隱函數(shù)情形定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束有隱函數(shù)組則兩邊對x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點P

的某鄰域內(nèi)公式目錄上頁下頁返回結(jié)束故得系數(shù)行列式同樣可得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

設(shè)解:方程組兩邊對x求導(dǎo)，并移項得求練習(xí):

求機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束答案:由題設(shè)故有例6.

設(shè)其中f與F分別具解法1

方程兩邊對x

求導(dǎo),得有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù),

求(99考研)解法2方程兩邊求微分,得化簡消去即可得內(nèi)容小結(jié)1.