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文檔簡介
全等三形題中常的助線的法(答案)
7.度為3度,可從角一總論:全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形,構(gòu)造二條邊之間的相
殊直角三角形,等,構(gòu)造二個角之間的相等
等的二條邊或二【三角輔助線做法
8.算值圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系角三角形,或現(xiàn)。這樣可以得到在角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,三線合一試試造邊、角之間的看。常見輔助線的作線段垂直平分線,常向兩端把線連。要證線段倍與半,延長縮短可試之間的相等,二驗(yàn)。1)遇到等腰三三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。三角形中有中線,延長中線等中維模式是全線。2)遇到三角形1.等腰三角形“三線合一法遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利三角形用“三線合一”的性質(zhì)解題3)遇到角平分2.長線長中線,使延長線段與原中線長相等,構(gòu)造全等三角形向角的兩邊3.平線三添助所考知識點(diǎn)4.直分聯(lián)線兩線上的一點(diǎn)5.“長”“短:到有二條線段長之和等于第三條線段形)可的長,二點(diǎn),然后6.形全:一個角60度或120度的把角添線后構(gòu)成等邊三角角形。形4)過圖形上某全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5)截長法與補(bǔ)短法體做是在某條線段上截取一條線段與特定線段相
EG<BG+BE故:EF<BE+FC等,或是將某條線段延長,是之與特定線段相等,再利用三角形全等
例3、如圖,△的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分
解:延長AE至等類的題目.
顯然DG=AC,6)已知某線段的垂直平分線么可在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的
由于DC=AC故兩個端點(diǎn)作連線,出一對全等三角形。
在△ADB與A特殊方法:在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時,常把某點(diǎn)到原三角
BD=AC=DG,A形各頂點(diǎn)的線段連接起來,利用三角形面積的知識解答
∠ADB=∠ADC+∠一、倍長中線(線段)造全等
故△ADB≌△AD例杯試題)已知,如圖△ABC中,AB=5,則中線AD的取值范圍是________.
二、截長補(bǔ)短1、如圖,解:延長至E使,連BE,由三角形性質(zhì)知
解長法)AB-BE<2AD<AB+BE
故的取值范圍是1<AD<4
△ADB是腰三例、如圖,△ABC,分別在AB上,DE⊥DF是中點(diǎn),試比
DF⊥AB,故∠A較BE+CF與大小解(倍中線,等腰三角“三線合一”法)延長FDG使=2EF,連BG,EG,
△ADF≌△ADC顯然BG=FC,
A
∠ACD=∠AFD=在EFG中,注意到⊥DF,由等腰三角形的三線合一知E
2圖EG=EF在BEG中,由三角形性質(zhì)知
B
D
FC
解E△A
AEFAEF∠ADE=∠AFE,
求證:∠ADE+∠BCE=180°
解短法)△BDF≌△BDCA
故∠DFB=∠DC又=CDB∠AFE+∠BFE故ECB∠EFB
=180°
P
Q
故在等腰△∠DFB=∠DAFeq\o\ac(△,≌)FBE△CBE)
故有∠故有BF=BC從;AB=AD+BC
C
5、如圖在eq\o\ac(△,AB)>PB-PC3、如圖,已知eq\o\ac(△,在)ABC內(nèi),
,40
,P,Q分別在BC,CA
解短法)上,并且,BQ別是BAC,的角平分線。求證:BQ+AQ=AB+BP解短法計(jì)算數(shù)值法)延長ABD使BD=BP連DP
△ABP≌△AFP故=PF在等腰△中可得∠=40°
由三角形性質(zhì)知從而∠=∠ACP
PB-PC=PFeq\o\ac(△,≌)ADP△ACP)
應(yīng)用:故=AC
分析:此題又QBC=40°=∠QCB
故BQ=QC
用已知條件和等BD=BP
解:有
BC從而BQ+AQ=AB+BP
連接AC
,過4、如圖,在四邊形,BC>BA,AD,BD平分
,
則可證為
即,
FCE,,∴
120
A
從而
P
=BE+CEB又∵
AD
,
例2圖,在∴120又∵DEC
B
E
F
C
證明:取BC中∴
AEDFEC在與中EADEFAED∴∴
FCEAD
∵BD=CE,∴
BCAE
∴DM=EM,∴△DMN≌E點(diǎn)評:此題的解法比較新穎,把梯形的問題轉(zhuǎn)成等邊三角形的問題,
∴DN=AE,同理BN=CA.然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。
延長ND交AB相加得BN+BP+三、平移變換
各減去DP,B∴AB+AC>AD+例1AD為△ABC的角平分線,直線MN⊥AD于A.E為MN一點(diǎn),△ABC
四、借助角平分周長記為P,△EBC周記為.求證>.AA
1圖知解面反射)延長BAF,AF=AC,連FE
求證:OE=ODAD為△角平分線,MN
證明(角平分線則∠BAC+∠BC知FAE∠CAE
AD,CE為角平則∠OAC+∠O故有
∠AOC=12eq\o\ac(△,≌)FAE△CAE)
E
O
在AC上又AO.故=CE
∠AOF=∠AOE在BEF中有:BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC
則∠COF=∠,,又CO=CO;∠OCD=故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),
FE與OD=OF;CD=CF.
(2)圖OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.
不變2如圖eq\o\ac(△,,)ABC中AD平分∠BACDG⊥BC且平BCDE⊥ABDF⊥AC
明;于
O解)F(1)明BE=CF理由如果
,AC=
,求AE、BE的長.
圖①()答:解:(垂直平線聯(lián)結(jié)線段兩端接BD,DC
A
證法一:如DG垂直平分BC,故BD=DC由于AD平分∠BACEF,
B
E
F
故
∵∴
有
∴
ED=DF
∵
60故eq\o\ac(△,RT)DBE≌RT△DFC(HL
∴
故有BE=CF。
∴
=2AE
∴
=)/2
∵
及
∴
應(yīng)用:
∴
FG1、如圖①,OP是∠的分線,請你用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線
∴
FE為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法,解
證法二:如答下列問題:
∵
60)如圖②,△ABC中,∠是直角,∠=60°,、CE分別是
∴可得
∠BAC、∠BCA的平分線,、相交于點(diǎn)。請你判斷并寫出
∴
GEF又∵
HDF
∴2∴∠∴
GEF
即∠∴N∴可證
DHF
∵A∴∠∴
FEFD
有腰角時用輔線
又∵∠B∴∠∴∠⑴作頂?shù)钠椒志€,邊中線底邊高線
∴E例:已知,如圖,AB=AC,BD⊥AC于D,
∴E求證:∠BAC=2∠DBC
⑷常過腰上的證明方法一)作BAC的平
分線AE,交BC
例:已知,如圖1于E,則∠1=∠2=∠BAC2A
延長線上,求證:DF=證明證法又∵AB=AC
∠NDE=∠∴AE⊥BC
∵A∴∠2+∠ACB=90
o
∴∠∵BD⊥AC∴∠DBC+∠ACB=90
o
F
∴∠B=∠∴BD=DN∴∠2=∠DBC∴∠BAC=2∠DBC
E
又∵BD=∴DN=EC(方法二)過A作AE⊥BC于E(過程略)
D
在△DNF和(方法三取中點(diǎn)E結(jié)(過程略)⑵有底中點(diǎn)時,常底邊中
1
F
2
M
∠1=∠2∠NDF=∠例:已知,如圖,△ABC,AB=AC,D中點(diǎn),DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
DN=EC∴△DNF≌求證:DE=DF
∴D證明:連結(jié)AD.
(證∵D為BC中點(diǎn),
=∠B(過∴BD=CD
⑸常過腰上的又∵AB=AC
例:已知,如∴AD平分∠BAC
長線上,∵DE⊥AB,DF⊥AC
求證:D∴DE=DF
證明證⑶將腰長一倍,構(gòu)直角三形解題
∠例:已知,如圖,△ABC中,AB=,在BA延長線和AC上各取一點(diǎn)、F,
∠使AE=AF,
∵求證:EF⊥BC
∴證明:延長BE到N,AN=AB,連結(jié)CN,則AB=AN=AC
∴∴∠B=∠ACB,∠ACN=∠ANC
∵∵∠B+∠ACB+∠ACN+∠ANC=180o
∴o又∵∠+∠+∠ADE=180o∴2∠AEF+2∠AED=90即∠FED=90o
A
+∠
解法二:以AC為∴DE⊥FE又∵EF∥BC
B
P
C
解法三:以BC為EB=∴DE⊥BC
E
∵EB(證法二)過點(diǎn)D作DN∥BC交CA的延
∴E在長線于N過程略)
同理A(證法三)過點(diǎn)A作AM∥BC交DEM過程略)
∴EA所⑹常將腰三角形轉(zhuǎn)成特殊等腰三角形------邊三角形
∴EA⊥例:已知,如圖,△ABC中,AB=AC,=80o,P為形內(nèi)一點(diǎn),若∠PBC=10
o
=30
o
求∠PAB的度數(shù).
∠AEB解法一:以AB為一邊作等邊三角形,連結(jié)則∠BAE=∠ABE=60
o
由解法AE=AB=BE
∴∠A∵AB=AC
∵∠A∴AE=AC∠ABC=∠ACB
∴△A∴∠AEC=∠ACE
∴AB∵∠EAC=∠BAC-∠BAE
∵∠A=80
o
-60
o
=20
o11∴∠ACE=(180o-∠EAC)=∵∠ACB=(180o-∠BAC)=22
∴∠P70o50o∴∠BCE=∠ACE-∠ACB
1.圖,求=80o-50∵∠PCB=30o
o
=30
o
解:連結(jié)CD∴∠PCB=∠BCE∵∠ABC=∠ACB=50
o
,∠ABE=60
o
∵∠ECD+∠∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=60o-50o=10∵∠PBC=10o
o
=180°-∠∴∠PBC=∠EBC在△PBC和△EBC中
∴∠A∠PBC=∠EBCBC=BC
=∠A+∠EC∠PCB=∠BCE∴△PBC≌△EBC
=∠A+(∴BP=BE∵AB=BE
=∠A+∠AC∴AB=BP∴∠BAP=∠BPA
=180°∵∠ABP=∠ABC-∠PBC=50
o
-10
o
=40
o
2.圖延長BE交于F。求證:AF=EF。
∵BE平∠解:延長至G,使DG=AD連結(jié)BG
∴CE=
CF∵BD=DC∠BDG=∠ADC
又∵AB=AC∴△BGD△CAD
∠ACF=∠AB∴BG=AC=BE,∠G=∠CAD
∴△ACF≌△∴∠G=∠BEG=∠AEF
∴CE=
∴∠AEF=∠CAD∴AF=EF3.知是正方形ABCD邊CD上的點(diǎn),點(diǎn)FBC上,且∠DAE=∠
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