等式與不等式性質(zhì)教案（word）

《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第二課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．通過(guò)梳理等式基本性質(zhì)及其本質(zhì)屬性，類比等式的基本性質(zhì)的研究方法探索不等式的基本性質(zhì)，體會(huì)類比思想及分類討論思想在解決問題中的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)．2．運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)發(fā)現(xiàn)并證明一些常用的不等式性質(zhì)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)證明一些簡(jiǎn)單的命題，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)，等式與不等式的共性與差異．教學(xué)難點(diǎn)：類比等式的性質(zhì)研究不等式的基本性質(zhì)，等式與不等式的共性與差異．課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)情境，明確目標(biāo)問題1：上節(jié)課我們知道了現(xiàn)實(shí)世界的大小關(guān)系包括相等關(guān)系和不等關(guān)系兩類，學(xué)會(huì)從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出不等式，知道解不等式要用不等式的性質(zhì)，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)．因?yàn)椴坏仁胶偷仁揭粯?，都是大小關(guān)系的刻畫，所以我們可以從等式性質(zhì)及其研究方法出發(fā)，通過(guò)類比研究不等式性質(zhì)．首先梳理一下，等式都有哪些性質(zhì)？師生活動(dòng)：學(xué)生自主思考，教師通過(guò)提問，對(duì)等式性質(zhì)不斷完善．在提問過(guò)程中，讓學(xué)生明白每一個(gè)性質(zhì)反映出不等式的特性．學(xué)生容易回答出等式的性質(zhì)3至5，對(duì)于性質(zhì)1和2需要教師借助問題引導(dǎo)：“等式自身還有哪些特性？”預(yù)設(shè)的答案：性質(zhì)1：如果a=b，那么b=a；性質(zhì)2：如果a=b，b=c，那么a=c；性質(zhì)3：如果a=b，那么a±c=b±c；性質(zhì)4：如果a=b，那么ac=bc；性質(zhì)5：如果a=b，c≠0那么．設(shè)計(jì)意圖：從上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容出發(fā)，引入本節(jié)課，有助于學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)本節(jié)課的內(nèi)容，同時(shí)通過(guò)等式和不等式的聯(lián)系，明確不等式性質(zhì)的研究是類比等式來(lái)研究的，確定研究方法．追問：觀察等式的5條基本性質(zhì)，哪些性質(zhì)具有共性？是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生先觀察，如果學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)就由教師來(lái)講解．性質(zhì)3，4，5具有共性，它們都是在等式的兩邊進(jìn)行了運(yùn)算，是從運(yùn)算的角度提出的，性質(zhì)3可以看作同一種運(yùn)算，即加法運(yùn)算，性質(zhì)4和5可以看作是乘法運(yùn)算．性質(zhì)1是等式的對(duì)稱性，性質(zhì)2是等式的傳遞性，是等式自身的特征．教師總結(jié)：可見，等式的基本性質(zhì)有“相等關(guān)系自身的特性”和“相等關(guān)系對(duì)運(yùn)算保持不變”兩種．這兩個(gè)方面反映了式大小關(guān)系的本質(zhì)屬性．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生回憶、分析等式的基本性質(zhì)，并對(duì)性質(zhì)分類、歸納和深入分析，梳理等式的基本性質(zhì)的研究角度和方法，為研究不等式的基本性質(zhì)明確方向．二、合作探究，體會(huì)類比問題2：類比等式的性質(zhì)，你能猜想不等式的性質(zhì)嗎？寫出你的猜想．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，之后展示交流．如果學(xué)生有困難，教師可以提示從不等式的“自身”和“運(yùn)算”兩個(gè)視角研究不等式的基本性質(zhì)．預(yù)設(shè)的答案：性質(zhì)1：如果a＞b，那么b＜a；性質(zhì)2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；性質(zhì)3：如果a＞b，那么a+c＞b+c；性質(zhì)4：如果a＞b，那么ac＞bc；性質(zhì)5：如果a＞b，c≠0，那么．設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)研究問題的方法，用類比的方法來(lái)猜想出不等式的性質(zhì)．追問1：類比得到的結(jié)論一定正確嗎？如何論證或者反駁？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從第一個(gè)性質(zhì)開始，逐一進(jìn)行分析，在對(duì)不等式性質(zhì)1-3的分析中，教師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)數(shù)的大小關(guān)系的基本事實(shí)及實(shí)數(shù)的其他性質(zhì)進(jìn)行證明，首先將條件用實(shí)數(shù)大小關(guān)系表示出來(lái)，再利用大小關(guān)系進(jìn)行證明．由于學(xué)生對(duì)代數(shù)證明比較生疏，所以教師可以示范其中之一，然后學(xué)生模仿完成．注意訂正學(xué)生在此處證明中容易出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)誤．實(shí)數(shù)的其他性質(zhì)有：（1）兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)；（2）正數(shù)大于0，也大于一切負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)小于0，也小于一切正數(shù)；（3）正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；（4）兩個(gè)正數(shù)的和是正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)的和是負(fù)數(shù)；（5）同號(hào)兩數(shù)相乘，其積為正數(shù)；異號(hào)兩數(shù)相乘，其積為負(fù)數(shù)．但是，不需要一下子提供給學(xué)生，在需要的時(shí)候指明即可．預(yù)設(shè)的答案：性質(zhì)1證明：∵a＞b，∴a-b＞0，又由于正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，∴-(a-b)＜0，即b-a＜0∴b＜a性質(zhì)2證明：∵a＞b，b＞c，∴a-b＞0，b-c＞0根據(jù)兩個(gè)正數(shù)的和還是正數(shù)，得(a-b)+(b-c)＞0，∴a-c＞0，∴a＞c．性質(zhì)3證明：∵a＞b，∴a-b＞0，∴(a+c)-(b+c)=a-b＞0∴a+c＞b+c追問2：從不同角度表達(dá)不等式的性質(zhì)，可以加深理解，用文字語(yǔ)言怎樣表達(dá)性質(zhì)3？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立思考，再進(jìn)行交流．并不斷對(duì)學(xué)生的語(yǔ)言表述進(jìn)一步規(guī)范．預(yù)設(shè)的答案：不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向．追問3：兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系還可以形象地在數(shù)軸上表達(dá)出來(lái)，你能從幾何意義的角度對(duì)這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行解釋嗎？師生活動(dòng)：教師展示課件，把數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)A與B同時(shí)沿相同方向移動(dòng)相等的距離，得到另外兩個(gè)點(diǎn)A1和B1，A與B和A1與B1的左右位置不變，學(xué)生直觀感受不等式的幾何意義，并體會(huì)向左或向右移動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)c的正負(fù)．設(shè)計(jì)意圖：為了幫助學(xué)生理解和掌握不等式的本質(zhì)，用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言等多種形式來(lái)表達(dá)重點(diǎn)的不等式的性質(zhì)，有助于對(duì)問題的深入理解．追問4：在等式中，如果a+b=c，那么a=c-b，你會(huì)利用性質(zhì)3得到不等式中的移項(xiàng)的結(jié)論嗎？設(shè)計(jì)意圖：從等式的角度出發(fā)，提出問題，學(xué)生可以類比得到不等式中的移項(xiàng)結(jié)論，同時(shí)也是性質(zhì)3的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用．進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的邏輯性．師生活動(dòng)：學(xué)生類比得到結(jié)論：如果a+b＞c，那么a＞c-b，教師引導(dǎo)學(xué)生從性質(zhì)3出發(fā)來(lái)證明這個(gè)結(jié)論，并從文字語(yǔ)言角度進(jìn)行表述．問題3：上述的性質(zhì)4和5正確嗎？為什么？如果不正確，應(yīng)該怎樣修正？師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論不正確，并通過(guò)舉例進(jìn)行反駁．教師引導(dǎo)學(xué)生思考，需要加上什么條件，才能使結(jié)論正確，并利用作差比較來(lái)分析，發(fā)現(xiàn)ac-bc=(a-b)c，由于a-b＞0，所以(a-b)c的正負(fù)由c的正負(fù)決定，從而需要分析討論．得到性質(zhì)4的準(zhǔn)確表述：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．追問1：用文字語(yǔ)言怎樣表述此性質(zhì)？師生活動(dòng)：先由學(xué)生表述：“不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)，所得不等式與原不等式同向；不等式兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向”．教師總結(jié)此性質(zhì)反映了“不等式在乘法運(yùn)算中的規(guī)律性”．同時(shí)教師強(qiáng)調(diào)可以把“乘法”“除法”合并為“乘法”，高中數(shù)學(xué)對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)更趨于一般性，乘法是基本運(yùn)算，此性質(zhì)仍為基本性質(zhì)．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)類比得到的結(jié)論不一定正確，并進(jìn)行修正和證明，一方面讓學(xué)生經(jīng)歷類比的探究過(guò)程，了解類比得到的猜想不一定正確，并學(xué)會(huì)用舉反例的辦法進(jìn)行反駁；另一方面使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)證明的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，感受到“猜想需要證明，證明要有依據(jù)”．問題4：上面通過(guò)類比，從不等式的“自身”和“運(yùn)算”兩個(gè)視角，得到了不等式的四條基本性質(zhì)．不等式與等式基本性質(zhì)的共性與差異有哪些？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從共性和不同兩個(gè)方面去總結(jié)．兩者都具有“自身特性”和“運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性”．教師強(qiáng)調(diào)由于不等號(hào)具有方向性，所以“自反性”和“兩邊同乘負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)變號(hào)”是不等式表現(xiàn)出的特性．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)總結(jié)兩者共性和差異，進(jìn)一步明確加深對(duì)不等式性質(zhì)的理解，尤其是性質(zhì)4的理解．問題5：利用不等式的基本性質(zhì)，你還能得到哪些不等式性質(zhì)？比如在性質(zhì)3中，不等式的兩邊同加同一個(gè)實(shí)數(shù)．如果兩邊同加不同的實(shí)數(shù)，即不等式的兩邊分別加上不相等的兩個(gè)數(shù)，能得到什么不等關(guān)系？試試用不等式的性質(zhì)證明你的猜想．師生活動(dòng)：學(xué)生猜想“大數(shù)加大數(shù)，大于小數(shù)加小數(shù)”，教師引導(dǎo)學(xué)生將其用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，即“如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d”．然后讓學(xué)生獨(dú)立證明，小組交流證明過(guò)程，說(shuō)出每一步的依據(jù)．預(yù)設(shè)的答案：證明：∵a＞b，c＞d，∴a-b＞0，c-d＞0．∴(a-b)+(c-d)＞0，即(a+c)-(b+d)＞0．∴a+c＞b+d．設(shè)計(jì)意圖：利用不等式的基本性質(zhì)，推出其他常用的不等式性質(zhì)，為以后的推理作準(zhǔn)備．追問1：你能用不等式性質(zhì)證明嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從性質(zhì)2和3出發(fā)，思考如何尋找一個(gè)實(shí)數(shù)，利用性質(zhì)2將a+c和b+d聯(lián)結(jié)，聯(lián)想到實(shí)數(shù)b+c．要求學(xué)生寫出證明過(guò)程．教師總結(jié)這種方法是不等式性質(zhì)的應(yīng)用，它的證明為為綜合運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)證明不等關(guān)系提供了范例．同時(shí)強(qiáng)調(diào)這個(gè)結(jié)論是今后進(jìn)行邏輯推理的一個(gè)重要的理論基礎(chǔ)，總結(jié)為性質(zhì)5．預(yù)設(shè)答案：證明：由性質(zhì)3，得a+c＞b+c，c+b＞d+b；由性質(zhì)2，得a+c＞b+d．問題6：在基本性質(zhì)4中，不等式的兩邊同乘同一個(gè)實(shí)數(shù)．如果同乘不同的實(shí)數(shù)，能得到什么結(jié)論？預(yù)設(shè)方案：學(xué)生猜想“大數(shù)乘大數(shù)，大于小數(shù)乘小數(shù)”，即“如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd”．追問1：你認(rèn)為上述結(jié)論是否正確？為什么？如何修正？師生活動(dòng)：先由學(xué)生回答，教師引導(dǎo)學(xué)生回到不等式基本性質(zhì)4中來(lái)分析，或者學(xué)生可以舉反例來(lái)說(shuō)明．在修正時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生與性質(zhì)4進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)對(duì)于正數(shù)乘法是具有“保號(hào)性”的．師生共同修改為“如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd”，由學(xué)生課后進(jìn)行證明．教師指出此為不等式性質(zhì)6．追問2：如果性質(zhì)6中a=c，b=d，能得到什么結(jié)論？師生活動(dòng)：學(xué)生可以得出“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”，并能推廣到“如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）”．教師指出這是不等式的性質(zhì)7，它是性質(zhì)6的特例．教師指出以“不等式在運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性”為研究抓手，還能推導(dǎo)出很多不等關(guān)系，鼓勵(lì)同學(xué)們多發(fā)現(xiàn)、提出和證明一些結(jié)論．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—證明—修正—再證明—得出性質(zhì)—理解”的研究數(shù)學(xué)問題的過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)類比學(xué)習(xí)的理解；在探究過(guò)程中讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性”在研究不等式性質(zhì)中的作用，加深學(xué)生對(duì)不等式性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從而發(fā)展學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)．三、知識(shí)應(yīng)用，加深理解例1：已知a＞b＞0，c＜0，求證：．師生活動(dòng)：師生共同分析問題中的條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的聯(lián)系不太明顯，因此先從結(jié)論出發(fā)，尋求使式子成立的條件，并和已知條件相結(jié)合尋找思路．在分析問題后，要求學(xué)生自主寫出證明過(guò)程，并展示學(xué)生作答情況，對(duì)不規(guī)范的地方給予糾正．預(yù)設(shè)的答案：證明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，，于是，即．又由c＜0，得．設(shè)計(jì)意圖：本題是不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)“分析法”尋找證明思路和“綜合法”的表達(dá)方式，隱含了“夾逼法”，即分別從已知和結(jié)論兩個(gè)方向進(jìn)行化簡(jiǎn)，找到化簡(jiǎn)之后的式子的聯(lián)系，從而證明．有助于提高學(xué)生分析解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．四、課堂小結(jié)，布置作業(yè)問題8：本節(jié)課我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)和不等式的常用性質(zhì)，你是怎樣研究不等式的基本性質(zhì)的？在探究不等式性質(zhì)時(shí)經(jīng)歷什么過(guò)程？預(yù)設(shè)方案：學(xué)生能回答，先梳理等式的基本性質(zhì)及蘊(yùn)含的思想方法，從不等式的自身性質(zhì)和運(yùn)算的角度猜想并證明不等式的基本性質(zhì)，由不等式的基本性質(zhì)推理不等式的一些常用性質(zhì)．經(jīng)歷的過(guò)程：經(jīng)歷“前備經(jīng)驗(yàn)—?dú)w納特點(diǎn)—類比猜想—推理證明（修正）—理解表達(dá)—探究個(gè)性—應(yīng)用反思”的過(guò)程．設(shè)計(jì)意圖：從知識(shí)和思想方法的角度進(jìn)行課堂小結(jié)，有助于學(xué)生在學(xué)會(huì)知識(shí)的同時(shí)，又學(xué)會(huì)思想方法，這樣可將知識(shí)與思想方法共同納入到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中．作業(yè)：習(xí)題2．1第5，7，8，11，12題五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．用不等號(hào)“＞”或“＜”填空：（1）如果a＞b，c＜d，那么a-