平面向量基本定理【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修同步教案（學(xué)生版教師版）

編號：005課題:§平面向量基本定理目標(biāo)要求1、理解并掌握平面向量基本定理和正交分解的概念．2、平面向量基本定理的理解．3、會用基底表示向量．4、平面向量基本定理的綜合應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：用基底表示向量；難點：平面向量基本定理的綜合應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點1.平面向量基本定理(1)定理:條件是同一平面內(nèi)兩個________的向量,是這一平面內(nèi)的_______向量結(jié)論有且只有一對實數(shù),使有關(guān)概念若________,我們把叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組_______(2)本質(zhì):向量的分解,即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式,且分解是唯一的.(3)應(yīng)用:①用基底表示同一平面內(nèi)的任一向量;②根據(jù)“唯一性”列方程(組)求未知數(shù);③為引入向量的坐標(biāo)表示奠定基礎(chǔ).2.正交分解對于分解,當(dāng)所在直線互相垂直時,這種分解也稱為向量的正交分解.【思考】如果是共線向量,那么向量能否用表示?為什么?(2)平面向量的基底是唯一的嗎?【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.基底中的向量可以為零向量. B.若是同一平面內(nèi)兩個不共線向量,則(為實數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量.C.在梯形ABCD中,AD∥BC,則向量與可以構(gòu)成一組基底.D.一個平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底.題2.如圖,不共線,且，則________(用表示).題3.已知向量不共線,實數(shù)x,y滿足,則x=________,y=________.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一平面向量基本定理的理解(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)【題組訓(xùn)練】題4.設(shè)是平面內(nèi)的一組基底,則下面的四組向量不能作為基底的是 ()A.和 B.和C.和 D.和題5.如果是某平面內(nèi)一組基底,那么下列說法中不正確的是 ()①對于此平面內(nèi)任一向量,使的實數(shù)對(λ,μ)有無窮多個;②若實數(shù)λ,μ使得,則λ=μ=0;③若向量與共線,則有且只有一個實數(shù)λ,使得;④若,且,則.A.①② B.①③ C.③④ D.②題6.如圖所示,平面內(nèi)的兩條直線和將平面分割成四個部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括邊界),若，且點P落在第Ⅰ部分,則實數(shù)a,b滿足()>0,b>0 >0,b<0<0,b>0 <0,b<0【解題策略】1.對基底的理解兩個向量能否作為一組基底,關(guān)鍵是看這兩個向量是否共線.若共線,則不能作基底,反之,則可作基底.2.對平面向量基本定理的理解(1)在平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量的和,且這樣的分解是唯一的,同一個非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即,且.(2)對于固定基底而言,平面內(nèi)任一確定的向量的分解是唯一的.【補償訓(xùn)練】題7.給出下列三種說法:①一個平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;②一個平面內(nèi)有無數(shù)組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;③零向量不可作為基底中的向量.其中,說法正確的為 ()A.①②B.②③C.①③D.①②③類型二用基底表示向量(數(shù)學(xué)運算)角度1線性運算法【典例】題8.如圖,在△ABC中,，若，則 () 【變式探究】題9.如圖,在△ABC中,，若,求的值.角度2待定系數(shù)法【典例】題10.已知是平面內(nèi)兩個不共線的向量,,試用向量和表示.【解題策略】用基底表示向量的兩種方法(1)線性運算法運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止.解題時要注意適當(dāng)選擇向量所在的三角形或平行四邊形,找到已知向量和未知向量的關(guān)系.(2)待定系數(shù)法首先根據(jù)平面向量基本定理設(shè)所求向量為兩個不共線向量的線性運算形式,然后通過列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求待定系數(shù).【題組訓(xùn)練】題11.如圖,在等腰梯形ABCD中,DC=AB,BC=CD=DA,DE⊥AC于點E,則()A.B.C.D.題12.設(shè)是不共線的非零向量,且.(1)證明:可以作為一組基底;(2)以為基底表示向量.【拓展延伸】方程組法表示向量類比解方程組的方法,將所要表示的向量看成未知數(shù),根據(jù)題目條件列出所要表示的向量的方程(組),解方程或方程組即得.【拓展訓(xùn)練】題13.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為DC,BC的中點,已知，試用表示.【補償訓(xùn)練】題14.如圖,在△AOB中,,設(shè),而OM與BN相交于點P,試用表示向量.類型三平面向量基本定理的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例】題15.在邊長為1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是線段CD上一點,滿足,如圖所示,設(shè).(1)用表示;(2)在線段BC上是否存在一點F滿足AF⊥BE?若存在,確定F點的位置,并求;若不存在,請說明理由.【解題策略】用向量解決平面幾何問題的一般步驟(1)選取不共線的兩個平面向量作為基底.(2)將相關(guān)的向量用基底中的向量表示,將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(3)利用向量知識進行向量運算,得向量問題的解.(4)再將向量問題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解.【跟蹤訓(xùn)練】題16.在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在邊BC上,延長AD到P,使得AP=9,若(m為常數(shù)),則CD的長度是________.課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)題17.點O為正六邊形ABCDEF的中心,則可作為基底的一組向量是 ()A.B.C.D.題18.如圖,在矩形ABCD中,若,則()A.B.C.D.題19.如圖,在正方形ABCD中,設(shè)，則以為基底時,可表示為________,以為基底時,可表示為________.題20.已知向量不共線,實數(shù)x,y滿足,則x-y=________.題21.在平行四邊形ABCD中,,(1)如圖1,如果E,F分別是BC,DC的中點,試用分別表示.(2)如圖2,如果O是AC與BD的交點,G是DO的中點,試用表示.編號：005課題:§平面向量基本定理目標(biāo)要求1、理解并掌握平面向量基本定理和正交分解的概念．2、平面向量基本定理的理解．3、會用基底表示向量．4、平面向量基本定理的綜合應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：用基底表示向量；難點：平面向量基本定理的綜合應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點1.平面向量基本定理(1)定理:條件是同一平面內(nèi)兩個__不共線___的向量,是這一平面內(nèi)的__任一__向量結(jié)論有且只有一對實數(shù),使__________有關(guān)概念若__不共線___,我們把叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組_基底_(2)本質(zhì):向量的分解,即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式,且分解是唯一的.(3)應(yīng)用:①用基底表示同一平面內(nèi)的任一向量;②根據(jù)“唯一性”列方程(組)求未知數(shù);③為引入向量的坐標(biāo)表示奠定基礎(chǔ).2.正交分解對于分解,當(dāng)所在直線互相垂直時,這種分解也稱為向量的正交分解.【思考】(1)如果是共線向量,那么向量能否用表示?為什么?提示:不一定,當(dāng)與共線時可以表示,否則不能表示.(2)平面向量的基底是唯一的嗎?提示:不是.平面內(nèi)任何不共線的兩個向量都可以作為基底,基底一旦確定,平面內(nèi)任何一向量都可以用這一基底唯一表示.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.基底中的向量可以為零向量. B.若是同一平面內(nèi)兩個不共線向量,則(為實數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量.C.在梯形ABCD中,AD∥BC,則向量與可以構(gòu)成一組基底.D.一個平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底.【答案】選BC提示:A×.與任意向量是共線的,所以基底中的向量不能為零向量.B√.根據(jù)平面向量基本定理知,平面內(nèi)任一向量都可以由向量線性表示.C√.易知與不共線,所以與可以構(gòu)成一組基底.D×.一個平面內(nèi)有無數(shù)組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底.題2.如圖,不共線,且，則________(用表示).【解析】由已知，得，整理,得答案:題3.已知向量不共線,實數(shù)x,y滿足,則x=________,y=________.【解析】因為向量不共線,所以根據(jù)平面向量基本定理可由,得x-2=5,且y-1=2,解得x=7,且y=3.答案:73關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一平面向量基本定理的理解(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)【題組訓(xùn)練】題4.設(shè)是平面內(nèi)的一組基底,則下面的四組向量不能作為基底的是 ()A.和 B.和C.和 D.和【解析】選D.因為是平面內(nèi)的一組基底,所以不共線,而,則根據(jù)向量共線定理可得,,根據(jù)基底的條件,選項D不能作為基底.題5.如果是某平面內(nèi)一組基底,那么下列說法中不正確的是 ()①對于此平面內(nèi)任一向量,使的實數(shù)對(λ,μ)有無窮多個;②若實數(shù)λ,μ使得,則λ=μ=0;③若向量與共線,則有且只有一個實數(shù)λ,使得;④若,且,則.A.①② B.①③ C.③④ D.②【解析】選B.①錯誤,由平面向量基本定理可知,一旦一個平面的基底確定,那么平面內(nèi)任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的.②正確,由及λ,μ的唯一性可知λ=μ=0;③錯誤,當(dāng)兩向量均為零向量,即時,這樣的λ有無數(shù)個.④正確,因為,所以存在實數(shù)μ,使得,所以,又不共線,所以.題6.如圖所示,平面內(nèi)的兩條直線和將平面分割成四個部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括邊界),若，且點P落在第Ⅰ部分,則實數(shù)a,b滿足()>0,b>0 >0,b<0<0,b>0 <0,b<0【解析】選C.當(dāng)點P落在第Ⅰ部分時,按向量與分解時,一個與反向,一個與同向,故a<0,b>0.【解題策略】1.對基底的理解兩個向量能否作為一組基底,關(guān)鍵是看這兩個向量是否共線.若共線,則不能作基底,反之,則可作基底.2.對平面向量基本定理的理解(1)在平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量的和,且這樣的分解是唯一的,同一個非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即,且.(2)對于固定基底而言,平面內(nèi)任一確定的向量的分解是唯一的.【補償訓(xùn)練】題7.給出下列三種說法:①一個平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;②一個平面內(nèi)有無數(shù)組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;③零向量不可作為基底中的向量.其中,說法正確的為 ()A.①②B.②③C.①③D.①②③【解析】選B.根據(jù)基底的概念,可知②③正確.類型二用基底表示向量(數(shù)學(xué)運算)角度1線性運算法【典例】題8.如圖,在△ABC中,，若，則 () 【思路導(dǎo)引】由設(shè)計解題思路.【解析】選B.因為.又因為，所以所以又，且與不共線,所以，則.【變式探究】題9.如圖,在△ABC中,，若,求的值.【解析】由，得，所以，所以.又因為，所以.又，且與不共線，所以.則.角度2待定系數(shù)法【典例】題10.已知是平面內(nèi)兩個不共線的向量,,試用向量和表示.【思路導(dǎo)引】設(shè),根據(jù)\不共線,列方程組求x,y.【解析】因為不共線,所以可設(shè),則.又因為不共線,所以解得x=1,y=-2,所以.【解題策略】用基底表示向量的兩種方法(1)線性運算法運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止.解題時要注意適當(dāng)選擇向量所在的三角形或平行四邊形,找到已知向量和未知向量的關(guān)系.(2)待定系數(shù)法首先根據(jù)平面向量基本定理設(shè)所求向量為兩個不共線向量的線性運算形式,然后通過列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求待定系數(shù).【題組訓(xùn)練】題11.如圖,在等腰梯形ABCD中,DC=AB,BC=CD=DA,DE⊥AC于點E,則()A.B.C.D.【解析】選A.因為CD=DA,DE⊥AC,所以E是AC的中點,所以，又因為DC∥AB,DC=AB,所以，所以.題12.設(shè)是不共線的非零向量,且.(1)證明:可以作為一組基底;(2)以為基底表示向量.【解析】(1)假設(shè),則.由不共線,得所以λ不存在.故與不共線,可以作為一組基底.(2)設(shè),則,所以解得所以.【拓展延伸】方程組法表示向量類比解方程組的方法,將所要表示的向量看成未知數(shù),根據(jù)題目條件列出所要表示的向量的方程(組),解方程或方程組即得.【拓展訓(xùn)練】題13.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為DC,BC的中點,已知，試用表示.【解析】設(shè)，則由①②得解得即.【補償訓(xùn)練】題14.如圖,在△AOB中,,設(shè),而OM與BN相交于點P,試用表示向量.【解析】.因為與共線,令,則.又設(shè).所以所以所以.類型三平面向量基本定理的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算)【典例】題15.在邊長為1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是線段CD上一點,滿足,如圖所示,設(shè).(1)用表示;(2)在線段BC上是否存在一點F滿足AF⊥BE?若存在,確定F點的位置,并求;若不存在,請說明理由.【解題策略】用向量解決平面幾何問題的一般步驟(1)選取不共線的兩個平面向量作為基底.(2)將相關(guān)的向量用基底中的向量表示,將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(3)利用向量知識進行向量運算,得向量問題的解.(4)再將向量問題的