第7講虛擬變量

第七講多元回歸分析：虛擬變量

MultipleRegressionAnalysis:DummyVariables定性信息和虛擬變量自變量中包含虛擬變量因變量為虛擬變量第一節(jié)定性信息和虛擬變量在回歸中，我們常常會處理一些不具備定量性質(zhì)的信息，比如某個城市所處的地理位置（東、中、西等）、一個人的性別、出生的月份（是否九月一號之前）、抽煙與否等。定性信息一般通過定義一個二值變量(binaryvariable)或0-1變量刻畫。在計量經(jīng)濟學中，它們被稱為虛擬變量（dummyvariable）此類變量的數(shù)值只能表示樣本中不同個體的特征及它們所屬的分組，數(shù)值大小本身并沒有實際的意義。虛擬變量的分類定類/類別變量（nominal/categoricalvariable）定序/有序變量（ordinalvariable）定距/定量變量（intervalvariable）對于只有兩種取值的定類變量，可以用0和1表示這兩種取值。這樣的變量稱為虛擬變量（dummyvariable）或二分變量（binaryvariable）。其中，賦值為0的一組稱為對照組（referencegroup）或基準組（benchmarkgroup）對于有多個取值的定類變量，可構(gòu)造多個虛擬變量來表示用east、central、west三個虛擬變量表示不同地區(qū)用sx、jy、qt三個虛擬變量表示本科生畢業(yè)后的狀態(tài)對于定序變量和定距變量，也可以用虛擬變量表示學習成績（定序變量）年收入（定距變量，但通過劃分收入?yún)^(qū)間轉(zhuǎn)換為虛擬變量）第二節(jié)自變量中包含虛擬變量一、自變量中包含一個虛擬變量如果自變量僅為一個虛擬變量，實際上是以自變量為分類依據(jù)，分析因變量的均值差異1.自變量只有一個虛擬變量例題7.1：工資差異2.自變量包含定距變量和一個虛擬變量這種情況下，虛擬變量的回歸系數(shù)表示在控制其它自變量之后，兩組之間的差異。例：工資方程對這個方程進行線性回歸的估計結(jié)果根據(jù)回歸的結(jié)果，平均來說，女性每小時比男性少掙2.156美元。但我們的回歸中控制了edu和exper，所以這2.156美元的工資差距不能由男女在受教育水平和工作經(jīng)歷上的平均差距來解釋。虛擬變量可用于政策分析，虛擬變量取值為0的一組稱為控制組或?qū)φ战M（controlgroup），取值為1的一組稱為實驗組（experimentalgroup）或處理組（treatmentgroup）。例題7.3：課本P2273.因變量為log(y)時，對虛擬變量系數(shù)的解釋當log(y)是一個存在虛擬變量作為自變量模型的因變量時，將虛擬變量的系數(shù)乘上100，可解釋為y在保持所有其他因素不變的情況下的百分比差異。事實上，精確的百分比差異是。例題7.4、7.5：課本P2283.虛擬變量陷阱如果定性信息（例如性別）有2種狀態(tài)，只設(shè)1個虛擬變量即可。例如在性別工資差異的模型中，如果在我們的模型中既包括虛擬變量female，也包括虛擬變量male。由于male+female=1，將導(dǎo)致完全共線性。由此可見，當使用過多的虛擬變量來描述一定組數(shù)的數(shù)據(jù)時，就會掉進虛擬變量陷阱因此，如果有n種分類，為了避免完全共線性，則回歸時只能引入n-1個虛擬變量，未引入的即為對照組。例如在我們分析性別工資差異的模型中，我們選擇男性為基組(basegroup)或?qū)φ战M，模型中只包含一個虛擬變量female。二、自變量中包含多個虛擬變量自變量中包含多個虛擬變量可分為三種情況每個虛擬變量代表不同的分類若干個虛擬變量代表同一種分類，且這種分類是定類的若干個虛擬變量代表同一種分類，且這種分類是定序的例題7.6：性別和婚姻狀況對工資的影響（課本P229,）引入性別和婚姻狀況兩個虛擬變量1.每個虛擬變量代表不同的分類上述結(jié)果表明，性別對工資有顯著影響，但婚姻狀況沒有顯著影響。這一模型可能存在問題，即假定婚姻狀況的影響對于男性和女性是相同的。進一步的分析應(yīng)考慮婚姻狀況的影響存在性別差異。例7.6：性別和婚姻狀況對工資的影響（課本P229,例7.6）虛擬變量的定義下面是以單身男性為對照組的回歸結(jié)果：lwageCoef.Std.Err.tP>t[95%Conf.Interval]mm0.21270.05543.84000.00000.10390.3214sf-0.11040.0557-1.98000.0480-0.2199-0.0008mf-0.19830.0578-3.43000.0010-0.3119-0.0846…………………根據(jù)研究關(guān)注問題的不同，可以選擇不同的對照組。下面是以已婚女性為對照組的回歸結(jié)果：lwageCoef.Std.Err.tP>t[95%Conf.Interval]sm0.19830.05783.43000.00100.08460.3119mm0.41090.04588.98000.00000.32100.5009sf0.08790.05231.68000.0940-0.01490.1908…………………不同性別和婚姻狀況個體的樣本回歸方程2.若干虛擬變量代表同一分類，且這種分類是定類的例：工資的地區(qū)差異northcen=1表示中北部地區(qū)；west=1表示西部地區(qū)south=1表示南部地區(qū)；

other_region=1表示其他地區(qū)同樣地，如果有n種分類，回歸時只能引入n-1個虛擬變量！以其他地區(qū)為對照組lwageCoef.Std.Err.tP>tnorthcen-0.07830.0563-1.390.1650south-0.10480.0527-1.990.0470west0.02180.06240.350.7270educ0.08900.007511.860.0000lwageCoef.Std.Err.tP>tnorthcen0.02650.05120.520.6040west0.12660.05742.210.0280other_region0.10480.05271.990.0470educ0.08900.007511.860.0000exper0.04180.00528.000.0000expersq-0.00070.0001-6.250.0000_cons0.08700.10720.810.4170以南部地區(qū)為對照組

顯然，在以其他地區(qū)作為對照組時，只有南部地區(qū)的系數(shù)是稍微顯著的，在以南部地區(qū)為對照組時，西部地區(qū)的系數(shù)顯著性提高，說明西部地區(qū)的工資水平要顯著高于南部地區(qū)。3.若干虛擬變量代表同一分類，且這種分類是定序的例題7.8：法學院排名對起薪的影響（P233）排名前10top10=1排名11-25r11_25=1排名26-40r26_40=1排名41-60r41_60=1排名61-100r61_100=1排名100以后bottom=1例題7.8：下面是以排名在100名以后的為對照組的回歸結(jié)果lsalaryCoef.Std.Err.tP>ttop100.69960.053513.080.0000r11_250.59350.039415.050.0000r26_400.37510.034111.010.0000r41_600.26280.02809.400.0000r61_1000.13160.02106.250.0000LSAT0.00570.00311.860.0660GPA0.01370.07420.190.8540llibvol0.03640.02601.400.1650lcost0.00080.02510.030.9730_cons9.16530.411422.280.0000

顯然，排名的系數(shù)均顯著異于零，其他變量的系數(shù)均不顯著，也就是說，法學院的排名是影響畢業(yè)生起薪的重要原因。排名變量系數(shù)高出的百分點精確的百分數(shù)差異排名前10top10=10.6996***69.96%101.3%排名11-25r11_25=10.5935***59.35%81.03%排名26-40r26_40=10.3751***37.51%45.51%排名41-60r41_60=10.2628***26.28%30.06%排名61-100r61_100=10.1316***13.16%14.07%排名100以后bottom=1------------排名對畢業(yè)生薪水的影響（回歸結(jié)果的計算）以排名在100名以后的法學院為對照組以排名在26-60名的為對照組lsalaryCoef.Std.Err.tP>ttop100.37330.04378.550.0000r11_250.27660.03238.560.0000r61_100-0.17320.0240-7.220.0000bottom-0.29940.0269-11.140.0000LSAT0.00490.00321.530.1290GPA0.05960.07590.780.4340llibvol0.04360.02701.620.1090lcost0.01030.02600.390.6940_cons9.32140.440221.180.0000三、自變量中涉及虛擬變量的交互作用例如：性別和婚姻狀況對工資的影響femalemarriedfemale_married單身男性000已婚男性010單身女性100已婚女性1111.含有虛擬變量之間的交互作用以單身男性為對照組因此有：2.含有虛擬變量與定距變量的交互作用考慮模型：該模型假定男性和女性工資方程的截距不同，但受教育年限的斜率系數(shù)對于男性和女性都是相同的femalelwagemaleeduc該模型及圖的意思是，各種受教育程度的女人的工資都比同等教育程度的男人少，但教育的邊際對男、女而言是相同的?？紤]模型：該模型假定男性和女性工資方程的截距不同，而且受教育年限的斜率系數(shù)對于男性和女性也不同。femalelwageeducmale該模型和圖的意思是，女人在受教育程度很低時工資比男人少，但隨受教育程度的提高，這種差距逐步縮小，并最終會超過同等受教育程度男人的工資。對于模型：要檢驗?zāi)信芙逃貓笫欠裣嗤胻檢驗，H0:δ1=0要檢驗受教育水平相等的男女平均工資是否相同，用F檢驗，H0:δ0=δ1=0例題7.10：教育收益率的性別差異（P236）值得注意的是，回歸的結(jié)果表明，female和female與education的交互項均不顯著，是否就意味著男女工資并不存在明顯差異，而且男女受教育的邊際收益也不存在明顯差異？比較之前不含交互項的回歸：顯然，female的系數(shù)是非常顯著的，也就是說男女工資的確存在明顯差異。

在加入交互項之后，female的系數(shù)變得不顯著，可能是因為加入的交互項和在樣本中高度相關(guān)，從而使得female系數(shù)的標準誤差顯著提高，降低了該變量的顯著性。由此可見的，單純依據(jù)這兩個變量本身的t統(tǒng)計量，就斷定二者都不顯著是不合理的，必須運用F統(tǒng)計量檢驗二者是否同時為零，帶約束條件的回歸結(jié)果如下：依據(jù)聯(lián)合檢驗的方法，得到F統(tǒng)計量為：由此，可以斷定，男女工資存在顯著差異，但教育的邊際回報不存在顯著差異。因此，應(yīng)該選擇不含交互項的回歸方程。利用虛擬變量和其它變量的交互項可以用來檢驗兩組之間是否有相同的回歸系數(shù)例：大學運動員成績的影響因素P238~239H0意味著三類因素對男女運動員成績的影響是相同的回歸結(jié)果：檢驗兩組回歸方程是否完全相同的假設(shè)檢驗通常被稱為鄒檢驗（Chowtest），同學們不用刻意去記它，只要知道它是一種特殊的F檢驗就可以了也可以只對斜率的組間差異進行檢驗，即考察三個解釋變量對不同性別大學運動員成績的影響是否存在顯著差異因此，最終的模型可設(shè)定為：第三節(jié)因變量為虛擬變量一、線性概率模型（linearprobabilitymodel,LPM）例：婦女的勞動力市場參與（P243）例7.12：拘捕率的一個線性概率模型（P245）二、

Logit模型和Probit模型當因變量為虛擬變量時，更為常用的方法是使用logit模型或probit模型。與線性概率模型相比，這兩個模型的概率估計值嚴格介于0到1之間，而且自變量的變化對因變量的邊際影響不是常數(shù)。通過logit模型和probit模型得到的系數(shù)的符號及其顯著性與線性概率模型相同，但對系數(shù)的解釋有所不同。另外，logit模型和probit模型采用的是極大似然估計法。本課程對logit模型和probit模型不做要求，但這兩個模型應(yīng)用很廣，有興趣的同學可參看課本17.1節(jié)，P564-575當因變量為多分類變量時，可使用mlogit或mprobit模型當因變量為定序變量時，可使用ologit或oprobit模型推廣：