《單調(diào)性與最大（小）值》例題解析3

《單調(diào)性與最大(小)值》例題解析研習(xí)點(diǎn)1.增函數(shù)與減函數(shù)1.增函數(shù)與減函數(shù)的概念（重點(diǎn)）一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?增函數(shù)的定義:如果對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值,當(dāng)時(shí),都有,那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)(increasingfunction).如右圖所示.減函數(shù)的定義:如果對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值,當(dāng)時(shí),都有,那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)(decreasingfunction).如右圖所示.從增函數(shù)的定義可以看出,函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的.有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上不是增函數(shù).例如函數(shù)（如右圖），當(dāng)∈[0,+)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)∈(-,0)時(shí)是減函數(shù).函數(shù)單調(diào)性的定義要特別注意定義中“定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間”“屬于”“任意”“都有”這幾個(gè)關(guān)鍵詞語.另外,在某個(gè)區(qū)間上的兩個(gè)自變量與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)增函數(shù)而言是“榮辱與共”的，而對(duì)于減函數(shù)而言,“此消彼長”的.單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)，那么（1）在是增函數(shù)；在是減函數(shù)；（2）在是減函數(shù).2．單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（難點(diǎn)）若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.在理解函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間時(shí)就注意以下幾個(gè)方面:⑴函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)函數(shù)是對(duì)整個(gè)定義域而言.有的函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，但在某個(gè)區(qū)間上可以有單調(diào)性.因此說函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)局部概念.⑵應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，忽略需要任意取值這個(gè)條件，就不能保證函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)），例如右圖中，在那樣的特定位置上，雖然使得>，但顯然此圖象表示的函數(shù)不是一個(gè)單調(diào)函數(shù)；⑶除了嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)外，還有不嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，它的定義類似上述的定義，只要將上述定義中的“<或>,”改為“或,”即可；⑷定義的內(nèi)涵與外延：內(nèi)涵:是用自變量的大小變化來刻劃函數(shù)值的變化情況；外延:①一般規(guī)律：自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時(shí)是單調(diào)遞增，自變量的變化與函數(shù)值的變化相對(duì)時(shí)是單調(diào)遞減.②幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若單調(diào)函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù).思考：函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)性是同一個(gè)概念嗎?“某個(gè)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)”與“區(qū)間D是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”這兩句話,你認(rèn)為一樣嗎?【辨析·比較】單調(diào)區(qū)間的書寫要求由于函數(shù)在其定義域內(nèi)某一點(diǎn)處的函數(shù)值是確定的,討論函數(shù)在某點(diǎn)得的單調(diào)性是沒有意義的,書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),區(qū)間的端點(diǎn)的開或閉是沒有嚴(yán)格的規(guī)定的.事實(shí)上,若函數(shù)在區(qū)間的端點(diǎn)有定義,常常寫成閉區(qū)間,當(dāng)然寫成開區(qū)間也是可以的.但是若函數(shù)在區(qū)間的端點(diǎn)處沒有定義,則必須寫成開區(qū)間.另外,若函數(shù)在其定義內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間、上都是單調(diào)增（減）函數(shù)，一般不能認(rèn)簡單地認(rèn)為在區(qū)間上是增（減）函數(shù).例如在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上也是減函數(shù)，但不能說它在定義域上是減函數(shù).事實(shí)上，若取，有，這是不符合減函數(shù)的定義的.典例1.給出下列函數(shù)的圖象,指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指明其單調(diào)性.【研析】通過圖象直觀觀察其升降來判斷其增減性,但必須注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍要合理,圖（1）中f(x)的單調(diào)區(qū)間有,(－1,0),,.其中在和上是減函數(shù),在

(－1,0)和上是增函數(shù).圖（2）中g(shù)(x)的單調(diào)區(qū)間有和,其中在和上都是減函數(shù).以上是通過觀察圖象的方法來說明函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，是一種比較粗略的方法，那么，對(duì)于任給函數(shù)，我們怎樣根據(jù)增減函數(shù)的定義來證明它的單調(diào)性呢？3．單調(diào)性的判斷與證明（難點(diǎn)）用定義法判斷或證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的方法步驟：(1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；(2)作差f(x1)－f(x2)；(3)變形（通常是因式分解和配方）；(4)定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；(5)下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）.【梳理·總結(jié)】判斷函數(shù)的單調(diào)性常用的結(jié)論（1）函數(shù)與的單調(diào)性相反；（2）當(dāng)函數(shù)恒為正或恒有負(fù)時(shí)，與函數(shù)的單調(diào)性相反；（3）函數(shù)與函數(shù)（為常數(shù)）的單調(diào)性相同；（4）當(dāng)（為常數(shù)）時(shí)，與的單調(diào)性相同；當(dāng)（為常數(shù)）時(shí)，與的單調(diào)性相反；（5）函數(shù)、都是增（減）函數(shù)，則仍是增（減）函數(shù)；（6）若且與都是增（減）函數(shù)，則也是增（減）函數(shù)；若且與都是增（減）函數(shù)，則也是減（增）函數(shù)；（7）設(shè)，若在定義域上是增函數(shù)，則、、都是增函數(shù)，而是減函數(shù).典例2.討論函數(shù)的單調(diào)性.【研析】定義域{x|1≤x≤1}在[1,1]上任取x1,x2且x1<x2則,從而==∵∴另外，恒有∴若1≤x1<x2≤0則x1+x2<0則<若x1<x2≤1則x1+x2>0則>∴在[1，0]上f(x)為增函數(shù)，在[0，1]上為減函數(shù).4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性①關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.如果函數(shù)在區(qū)間上定義,若為增函數(shù),為增函數(shù),則為增函數(shù);若為增函數(shù),為減函數(shù),則為減函數(shù);若為減函數(shù),為減函數(shù),則為增函數(shù);若為減函數(shù),為增函數(shù),則為減函數(shù).②關(guān)于分段函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),則在區(qū)間上不一定是增函數(shù),若使得在區(qū)間上一定是增函數(shù),需補(bǔ)充條件:【梳理·總結(jié)】從圖象上看出函數(shù)的單調(diào)性利用圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，如果函數(shù)在定義域內(nèi)的某一區(qū)間上圖像自左向右是上升的，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間上是增函數(shù)，這個(gè)區(qū)間就是它的單調(diào)遞增區(qū)間.如果函數(shù)在定義域內(nèi)的某一區(qū)間上圖像自左向右是下降的，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間上是減函數(shù)，這個(gè)區(qū)間就是它的單調(diào)遞減區(qū)間.典例3.已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性【研析】該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.要記住“同向增、異向減”的規(guī)則.函數(shù)的定義域?yàn)镽，分解基本函數(shù)為和.顯然在上是單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增；而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的.且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為.研習(xí)點(diǎn)2.函數(shù)的最大值與最小值最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.注意：eq\o\ac(○,1)函數(shù)最大（小）首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；eq\o\ac(○,2)函數(shù)最大（小）應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑模磳?duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）.【探究·發(fā)現(xiàn)】判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒╡q\o\ac(○,1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?；eq\o\ac(○,2)利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?eq\o\ac(○,3)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲?如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在