數(shù)分期中考題-第一學(xué)期

航空航天大學(xué)班 學(xué) 成績 —二三四五六七 20131127—（8題，每540n nn10,N1,則nN0n(n 211n n1計算極限lim(1x2ex)1cosx1ln(1x2ex) ln(1x2ex)lim 1

limx2exx0解：原式lim

ex01cos

xarctan dyd2yln(1

, 解

dx

111

d2y

(dy)d

21

2(1t2 dx 1f(x

x2

2x

的nf(n3f(x

x22x

) x x4

(x(x3)n1

cosx

2.cosx1

x2x4 o(x) e21

)

(

)2o(x4 1

o(x4

(11)x4o(x4cosx2lim cosx2 x x yy x

的微分 x x x x x x x x f(x

xxx

0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性解

f(x)lim

0,

f(x)limax2

f(x)

f(x0f(0),f(xx=0處連續(xù)

f(0x)f

f(0)

f(0)

f(0x)f

f(0f(0f(xx=0處不可導(dǎo)求證:x3+1cosx2

0有且只有一個實根f(xx3

1cosxf(x在(2

f(x),

f(x)又因為在(f(x11sinx0,f(x嚴(yán)格單調(diào)遞增,

0有且只有一個實根（1）ln(1+x)<x(x>n（2）x10,xn1=ln(1+xnn12limx0n

1

10,(t（2）x10則xn 且（1）的結(jié)論，xn1ln(1xn)xn(n1,2,...),即數(shù)列{xnn單調(diào)遞減，由單調(diào)有界必有極限xn}收斂，假設(shè)limxAxn1ln(1xnnAln(1AAn(3)因為limx0,STOLZn 111 lim lim1

n1

xn=limxn1ln(1xn1n n nn(n xn

xn1ln(1xn1而 x0x ln(1x)

1

12 所以 ,即limnxnn nanan1 設(shè)數(shù)列bna2anan1

且{bn}有界，證明：數(shù)列{an}{bn}證明：（1）因為{bn}是遞增有界數(shù)列，有單調(diào)有界定理，數(shù)列{bn}收斂，|bnpbn|

N,nNp,anpanp1anp2anp3Lan1an

anpan|anpanp1anp1anp2Lan1an|anpanp1||anp1anp2|

|an1an ，四（本題10分）假設(shè)y=arctanx,x(-，證明：（1）因為y ,y- 1 （1x2x0y0,那么函數(shù)在[0,)x0y0,那么函數(shù)在[0,

（2）根據(jù)中值定理，x1x2x1x2在[x1x2（，）上arctanx2arctanx1 (xx)，(x1,x)1 由于0 1

arctanx1

x20,當(dāng)

x2 時,nx2nx1假設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上存在二階導(dǎo)數(shù)，且有f(0) f f(x)M(0x求證f(x)2

(0x,f(1)fx()fx()(x1 2

x1介于0xf(f(0)f(x)f(x)(x) 2

x2介于0x之間 f()x2f()(1f(x) 2

f(x)2

(0x 量時,得到n次試驗數(shù)據(jù)a1,a2才能使它與這n個數(shù)之差的平方和為最小

x與n個數(shù)之差的平方和為S(x)=(x-a)2x-a)2+L+(x-a)2 S(x)2(xa1)+2(xa2) 2(xan

x=a1+a2+...+an