2010年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)答案與解析

2010年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）（2010?北京）（北京卷理1）集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，則P∩M=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{x|0≤x＜3}D．{x|0≤x≤3}【考點】交集及其運算．【專題】集合．【分析】由題意集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，分別解出集合P，M，從而求出P∩M．【解答】解：∵集合P={x∈Z|0≤x＜3}，∴P={0，1，2}，∵M(jìn)={x∈Z|x2＜9}，∴M={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴P∩M={0，1，2}，故選B．【點評】此題考查簡單的集合的運算，集合在高考的考查是以基礎(chǔ)題為主，題目比較容易，復(fù)習(xí)中我們應(yīng)從基礎(chǔ)出發(fā)．2．（5分）（2010?北京）在等比數(shù)列{an}中，a1=1，公比q≠1．若am=a1a2a3a4a5，則m=（）A．9B．10C．11D．12【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】把a1和q代入am=a1a2a3a4a5，求得am=a1q10，根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得m．【解答】解：am=a1a2a3a4a5=a1qq2q3q4=a1q10，因此有m=11【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．3．（5分）（2010?北京）一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)（左）視圖分別如圖所，則該幾何體的俯視圖為（）A．B．C．D．【考點】簡單空間圖形的三視圖．【專題】立體幾何．【分析】從正視圖和側(cè)視圖上分析，去掉的長方體的位置應(yīng)該在的方位，然后判斷俯視圖的正確圖形．【解答】解：由正視圖可知去掉的長方體在正視線的方向，從側(cè)視圖可以看出去掉的長方體在原長方體的左側(cè)，由以上各視圖的描述可知其俯視圖符合C選項．故選：C．【點評】本題考查幾何體的三視圖之間的關(guān)系，要注意記憶和理解“長對正、高平齊、寬相等”的含義．4．（5分）（2010?北京）8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72【考點】排列、組合的實際應(yīng)用．【專題】排列組合．【分析】本題要求兩個教師不相鄰，用插空法來解決問題，將所有學(xué)生先排列，有A88種排法，再將兩位老師插入9個空中，共有A92種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：用插空法解決的排列組合問題，將所有學(xué)生先排列，有A88種排法，然后將兩位老師插入9個空中，共有A92種排法，∴一共有A88A92種排法．故選A．【點評】本題考查排列組合的實際應(yīng)用，考查分步計數(shù)原理，是一個典型的排列組合問題，對于不相鄰的問題，一般采用插空法來解．5．（5分）（2010?北京）極坐標(biāo)方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的圖形是（）A．兩個圓B．兩條直線C．一個圓和一條射線D．一條直線和一條射線【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】由題中條件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到兩個因式分別等于零，結(jié)合極坐標(biāo)的意義即可得到．【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0?ρ=1或θ=π，ρ=1是半徑為1的圓，θ=π是一條射線．故選C．【點評】本題考查點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．6．（5分）（2010?北京）若，是非零向量，“⊥”是“函數(shù)數(shù)”的（）為一次函A．充分而不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】簡易邏輯．【分析】先判別必要性是否成立，根據(jù)一次函數(shù)的定義，得到，則成立，再判斷充分性是否成立，由，不能推出函數(shù)為一次函數(shù)，因為時，函數(shù)是常數(shù)，而不是一次函數(shù)．【解答】解：，如，則有，如果同時有，則函數(shù)f（x）恒為0，不是一次函數(shù)，因此不充分，而如果f（x）為一次函數(shù)，則故答案為B．，因此可得，故該條件必要．【點評】此題考查必要條件、充分條件與充要條件的判別，同時考查平面向量的數(shù)量積的相關(guān)運算．7．（5分）（2010?北京）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是（）A．（1，3]B．[2，3]C．（1，2]D．[3，+∞]【考點】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域；指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先依據(jù)不等式組，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象特征，結(jié)合區(qū)域的角上的點即可解決問題．【解答】解：作出區(qū)域D的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象，由得到點C（2，9），當(dāng)圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點C（2，9）時，a可以取到最大值3，而顯然只要a大于1，圖象必然經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點．故選：A．【點評】這是一道略微靈活的線性規(guī)劃問題，本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．8．（5分）（2010?北京）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，動點E、F在棱A1B1上，動點P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），則四面體PEFQ的體積（）A．與x，y，z都有關(guān)B．與x有關(guān)，與y，z無關(guān)C．與y有關(guān)，與x，z無關(guān)D．與z有關(guān)，與x，y無關(guān)【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】立體幾何．【分析】四面體PEFQ的體積，找出三角形△EFQ面積是不變量，P到平面的距離是變化的，從而確定選項．【解答】解：從圖中可以分析出，△EFQ的面積永遠(yuǎn)不變，為面A1B1CD面積的，而當(dāng)P點變化時，它到面A1B1CD的距離是變化的，因此會導(dǎo)致四面體體積的變化．故選D．【點評】本題考查棱錐的體積，在變化中尋找不變量，是中檔題．二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9．（5分）（2010?北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（﹣1，1）．【分析】首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分子和分母進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運算，得到最簡形式即復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，寫出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)．【解答】解：∵，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（﹣1，1）故答案為：（﹣1，1）【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)，要寫點的坐標(biāo)，需要把復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式，實部做橫標(biāo)，虛部做縱標(biāo)，得到點的坐標(biāo)．10．（5分）（2010?北京）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=【考點】三角形中的幾何計算．，則a=1．【專題】解三角形．【分析】先根據(jù)b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，進(jìn)而求得B，再根據(jù)正弦定理求得a．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sinB=，∵b＜c，故B=，則A=由正弦定理得∴a==1故答案為：1【點評】本題考查了應(yīng)用正弦定理求解三角形問題．屬基礎(chǔ)題．11．（5分）（2010?北京）從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué)，將他們身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．由圖中數(shù)據(jù)可知a=0.03．若要從身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為3．【考點】頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】欲求a，可根據(jù)直方圖中各個矩形的面積之和為1，列得一元一次方程，解出a，欲求選取的人數(shù)，可先由直方圖找出三個區(qū)域內(nèi)的學(xué)生總數(shù)，及其中身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的特點，代入其公式求解．【解答】解：∵直方圖中各個矩形的面積之和為1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方圖可知三個區(qū)域內(nèi)的學(xué)生總數(shù)為100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為10人，所以身高在[140，150]范圍內(nèi)抽取的學(xué)生人數(shù)為×10=3人．故答案為：0.03，3．【點評】本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識．直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率，所以各個矩形面積之和為1．同時也考查了分層抽樣的特點，即每個層次中抽取的個體的概率都是相等的，都等于．12．（5分）（2010?北京）如圖，⊙O的弦ED，CB的延長線交于點A．若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，則DE=5；CE=．【考點】圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定．【專題】立體幾何．【分析】首先根據(jù)題中圓的切線條件再依據(jù)割線定理求得一個線段AE的長，再根據(jù)勾股定理的線段的關(guān)系可求得CE的長度即可．【解答】解：首先由割線定理不難知道AB?AC=AD?AE，于是AE=8，DE=5，又BD⊥AE，故BE為直徑，因此∠C=90°，由勾股定理可知CE2=AE2﹣AC2=28，故CE=．故填：5；．【點評】本題考查與圓有關(guān)的比例線段、平面幾何的切割線定理，屬容易題．13．（5分）（2010?北京）已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標(biāo)為（4，0），（﹣4，0）；漸近線方程為y=【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)；橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．x．【分析】先根據(jù)橢圓的方程求出焦點坐標(biāo)，得到雙曲線的c值，再由離心率求出a的值，最后根據(jù)b=得到b的值，可得到漸近線的方程．【解答】解：∵橢圓的焦點為（4，0）（﹣4，0），故雙曲線中的c=4，且滿足=2，故a=2，b=，所以雙曲線的漸近線方程為y=±=±x故答案為：（4，0），（﹣4，0）；y=x【點評】本題主要考查圓錐曲線的基本元素之間的關(guān)系問題，同時雙曲線、橢圓的相應(yīng)知識也進(jìn)行了綜合性考查．14．（5分）（2010?北京）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動．設(shè)頂點P（x，y）的軌跡方程是y=f（x），則f（x）的最小正周期為4；y=f（x）在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為π+1．【考點】函數(shù)的圖象與圖象變化．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動．沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．類似地，正方形PABC可以沿x軸負(fù)方向滾動．【解答】解：從某一個頂點（比如A）落在x軸上的時候開始計算，到下一次A點落在x軸上，這個過程中四個頂點依次落在了x軸上，而每兩個頂點間距離為正方形的邊長1，因此該函數(shù)的周期為4．下面考察P點的運動軌跡，不妨考察正方形向右滾動，P點從x軸上開始運動的時候，首先是圍繞A點運動個圓，該圓半徑為1，然后以B點為中心，滾動到C點落地，其間是以BP為半徑，旋轉(zhuǎn)90°，然后以C為圓心，再旋轉(zhuǎn)90°，這時候以CP為半徑，因此最終構(gòu)成圖象如下：故其與x軸所圍成的圖形面積為．故答案為：4，π+1【點評】本題考查的知識點是函數(shù)圖象的變化，其中根據(jù)已知畫出正方形轉(zhuǎn)動過程中的一個周期內(nèi)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想對本題進(jìn)行分析是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（共6小題，滿分80分）15．（13分）（2010?北京）已知函數(shù)f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．【考點】三角函數(shù)的最值；二倍角的余弦．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】（Ⅰ）把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函數(shù)值求出即可；（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系把sin2x變?yōu)?﹣cos2x，然后利用二倍角的余弦函數(shù)公式把cos2x變?yōu)?cos2x﹣1，得到f（x）是關(guān)于cosx的二次函數(shù)，利用配方法把f（x）變成二次函數(shù)的頂點式，根據(jù)cosx的值域，利用二次函數(shù)求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）=；（Ⅱ）f（x）=2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx=3cos2x﹣4cosx﹣1=，因為cosx∈[﹣1，1]，所以當(dāng)cosx=﹣1時，f（x）取最大值6；當(dāng)時，取最小值﹣．【點評】考查學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的余弦函數(shù)公式化間求值，此題以三角函數(shù)為平臺，考查二次函數(shù)求最值的方法．16．（14分）（2010?北京）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）設(shè)AC與BD交于點G，則在平面BDE中，可以先證明四邊形AGEF為平行四邊形?EG∥AF，就可證：AF∥平面BDE；（Ⅱ）先以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．把對應(yīng)各點坐標(biāo)求出來，可以推出=0，就可以得到CF⊥平面BDE?=0和?（Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到=（，，1），是平面BDE的一個法向量，再利用平面ABE的法向量?=0和?=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角A﹣BE﹣D的大?。窘獯稹拷猓鹤C明：（I）設(shè)AC與BD交于點G，因為EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四邊形AGEF為平行四邊形．所以AF∥EG．因為EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE．（II）因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如圖，以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．則C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F(xiàn)（，，1）．所以所以=（，，1），=（0，﹣，1），=（﹣，0，1）．=﹣1+0+1=0．?=0﹣1+1=0，?所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一個法向量，設(shè)平面ABE的法向量=（x，y，z），則?=0，?=0．即所以x=0，且z=y．令y=1，則z=．所以n=（），從而cos（，）=因為二面角A﹣BE﹣D為銳角，所以二面角A﹣BE﹣D為．【點評】本題綜合考查直線和平面垂直的判定和性質(zhì)和線面平行的推導(dǎo)以及二面角的求法．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線．當(dāng)然也可以用面面平行來推導(dǎo)線面平行．17．（13分）（2010?北京）某同學(xué)參加3門課程的考試．假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q（p＞q），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立．記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為ξp01a2d3（Ⅰ）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；（Ⅱ）求數(shù)學(xué)期望Eξ．【考點】離散型隨機變量的期望與方差；互斥事件與對立事件；相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（I）由題意知事件該生至少有一門課程取得優(yōu)異成績與事件“ξ=0”是對立的，要求該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績的概率，需要先知道該生沒有一門課程優(yōu)秀，根據(jù)對立事件的概率求出結(jié)果．（II）由題意可知，需要先求出分布列中的概率a和b的值，根據(jù)互斥事件的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，得到這兩個值，求出概率之后，問題就變?yōu)榍笃谕窘獯稹拷猓菏录嗀表示“該生第i門課程取得優(yōu)異成績”，i=1，2，3．由題意可知（I）由于事件“該生至少有一門課程取得優(yōu)異成績”與事件“ξ=0”是對立的，∴該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1﹣P（ξ=0）=1﹣（II）由題意可知，P（ξ=0）=P（ξ=3）=，整理得p=．∵a=P（ξ=1）===d=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=∴Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=【點評】本題課程互斥事件的概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率，離散型隨機變量的分布列和期望，是一道綜合題，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題．18．（13分）（2010?北京）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）當(dāng)k=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，然后求出切點坐標(biāo)，再用點斜式寫出直線方程，最后化簡成一般式即可；（II）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），討論k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四種情形，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．【解答】解：（I）當(dāng)K=2時，由于所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0﹣1+kx（x＞﹣1）（II）f'（x）=當(dāng)k=0時，因此在區(qū)間（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)0＜k＜1時，，得；因此，在區(qū)間（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在區(qū)間上，f'（x）＜0；即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣1，0）和，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）；當(dāng)k=1時，．f（x）的遞增區(qū)間為（﹣1，+∞）當(dāng)k＞1時，由因此，在區(qū)間，得；和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在區(qū)間上，f'（x）＜0；即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為．【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．19．（14分）（2010?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B與點A（﹣1，1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于﹣．（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【考點】軌跡方程；三角形中的幾何計算；點到直線的距離公式．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），先分別求出直線AP與BP的斜率，再利用直線AP與BP的斜率之間的關(guān)系即可得到關(guān)系式，化簡后即為動點P的軌跡方程；（Ⅱ）對于存在性問題可先假設(shè)存在，由面積公式得：．根據(jù)角相等消去三角函數(shù)得比例式，最后得到關(guān)于點P的縱坐標(biāo)的方程，解之即得．【解答】解：（Ⅰ）因為點B與A（﹣1，1）關(guān)于原點O對稱，所以點B得坐標(biāo)為（1，﹣1）．設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y）化簡得x2+3y2=4（x≠±1）．故動點P軌跡方程為x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x0，y0）則．因為sin∠APB=sin∠MPN，所以所以=即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因為x02+3y02=4，所以故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時點P的坐標(biāo)為．【點評】本題主要考查了軌跡方程、三角形中的幾何計算等知識，屬于中檔題．20．（13分）（2010?北京）已知集合Sn={X|X=（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）對于A=（a1，a2，…an，），B=（b1，b2，…bn，）∈Sn，定義A與B的差為A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…|an﹣bn|）；A與B之間的距離為（Ⅰ）證明：?A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）；（Ⅱ）證明：?A，B，C∈Sn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)（Ⅲ）設(shè)P?Sn，P中有m（m≥2）個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為．證明：≤．【考點】進(jìn)行簡單的合情推理．【專題】壓軸題；推理和證明．【分析】（Ⅰ）因為每個數(shù)位上都是0或者1，取差的絕對值仍然是0或者1，符合Sn的要求．然后是減去C的數(shù)位，不管減去的是0還是1，每一個a和每一個b都是同時減去的，因此不影響他們原先的差．（Ⅱ）先比較A和B有幾個不同（因為距離就是不同的有幾個），然后比較A和C有幾個不同，這兩者重復(fù)的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么這一位上B和C就相同）去掉兩次（因為在前兩次比較中各計算了一次），剩下的就是B和C的不同數(shù)目，很容易得到這樣的關(guān)系式：h=k+l﹣2i，從而三者不可能同為奇數(shù)．（Ⅲ）首先理解P中會出現(xiàn)Cm2個距離，所以平均距離就是距離總和再除以Cm2，而距離的總和仍然可以分解到每個數(shù)位上，第一位一共產(chǎn)生了多少個不同，第二位一共產(chǎn)生了多少個不同，如此下去，直到第n位．然后思考，第一位一共m個數(shù)，只有0