《電磁場(chǎng)與電磁波》(第四版)習(xí)題集：第4章 時(shí)變電磁場(chǎng)

第4章時(shí)變電磁場(chǎng)在時(shí)變的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互激勵(lì)，在空間形成電磁波，時(shí)變電磁場(chǎng)的能量以電磁波的形式進(jìn)行傳播。電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程描述了電磁場(chǎng)的波動(dòng)性，本章首先對(duì)電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程進(jìn)行討論。在時(shí)變電磁場(chǎng)的情況下，也可以引入輔助位函數(shù)來描述電磁場(chǎng)，使一些復(fù)雜問題的分析求解過程得以簡(jiǎn)化。本章對(duì)時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)及其微分方程進(jìn)行了討論。電磁能量一如其它能量服從能量守恒原理，本章將討論電磁場(chǎng)的能流和表征電磁場(chǎng)能量守恒關(guān)系的坡印廷定理。本章在最后討論了隨時(shí)間按正弦函數(shù)變化的時(shí)變電磁場(chǎng)，這種時(shí)變電磁場(chǎng)稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。4.1波動(dòng)方程由麥克斯韋方程可以建立電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程，揭示了時(shí)變電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即電磁場(chǎng)的波動(dòng)性。下面建立無源空間中電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程。在無源空間中，電流密度和電荷密度處處為零，即和滿足的麥克斯韋方程為、。在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中，（4.1.1）（4.1.2）（4.1.3）（4.1.4）對(duì)式（4.1.2）兩邊取旋度，有將式（4.1.1）代入上式，得到利用矢量恒等式和式（4.1.4），可得到（4.1.5）此式即為無源區(qū)域中電場(chǎng)強(qiáng)度矢量滿足的波動(dòng)方程。同理可得到無源區(qū)域中磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量滿足的波動(dòng)方程為（4.1.6）無源區(qū)域中的或可以通過求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波動(dòng)方程得到。在直角坐標(biāo)系中，波動(dòng)方程可以分解為三個(gè)標(biāo)量方程，每個(gè)方程中只含有一個(gè)場(chǎng)分量。例如，式（4.1.5）可以分解為（4.1.7）（4.1.8）（4.1.9）在其它坐標(biāo)系中分解得到的三個(gè)標(biāo)量方程都具有復(fù)雜的形式。波動(dòng)方程的解是在空間中沿一個(gè)特定方向傳播的電磁波。研究電磁波的傳播問題都可歸結(jié)為在給定的邊界條件和初始條件下求波動(dòng)方程的解。當(dāng)然，除最簡(jiǎn)單的情況外，求解波動(dòng)方程常常是很復(fù)雜的。4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)在靜態(tài)場(chǎng)中引入了標(biāo)量電位來描述電場(chǎng)，引入了矢量磁位和標(biāo)量磁位來描述磁場(chǎng)，使對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的分析得到很大程度的簡(jiǎn)化。對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，也可以引入位函數(shù)來描述，使一些問題的分析得到簡(jiǎn)化。4.2.1矢量位和標(biāo)量位由于磁場(chǎng)的散度恒定于零，即（4.2.1）式中的矢量函數(shù)稱為電磁場(chǎng)的矢量位，單位是將式（4.2.1）代入方程，因此可以將磁場(chǎng)表示為一個(gè)矢量函數(shù)的旋度，即。，有即這表明是無旋的，可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，即（4.2.2）式中的標(biāo)量函數(shù)稱為電磁場(chǎng)的標(biāo)量位，單位是。由式（4.2.2）可將電場(chǎng)強(qiáng)度矢量用矢量位和標(biāo)量位表示為（4.2.3）由式（4.2.1）和式（4.2.3）定義的矢量位和標(biāo)量位并不是惟一的，也就是說，對(duì)于同樣的和，除了可用一組和來表示外，還存在另外的和，使得為任意標(biāo)量函數(shù)，令和。實(shí)際上，設(shè)（4.2.4）則有由于為任意標(biāo)量函數(shù)，所以由式（4.2.4）定義的和有無窮多組。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因在于確定一個(gè)矢量場(chǎng)需要同時(shí)規(guī)定該矢量場(chǎng)的散度和旋度，而式（4.2.1）只規(guī)定了矢量位的旋度，沒有規(guī)定矢量位的散度。因此，通過適當(dāng)?shù)匾?guī)定矢量位的散度，不僅可以得到惟一的和，而且還可以使問題的求解得以簡(jiǎn)化。在電磁場(chǎng)工程中，通常規(guī)定矢量位的散度為（4.2.5）此式稱為洛侖茲條件。4.2.2達(dá)朗貝爾方程在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中，將利用矢量恒等式和代入方程，則有，可得到（4.2.6）同樣，將代入，可得到（4.2.7）和得一組耦合微分方程，可通過適當(dāng)?shù)匾?guī)定矢量位的散度來加以式（4.2.6）和式（4.2.7）是關(guān)于簡(jiǎn)化。利用洛侖茲條件（4.2.5），由式（4.2.6）和式（4.2.7）可得到（4.2.8）（4.2.9）式（4.2.8）和式（4.2.9）就是在洛侖茲條件下，矢量位和標(biāo)量位所滿足的微分方程，稱為達(dá)朗貝爾方程。由式（4.2.8）和式（4.2.9）可知，采用洛侖茲條件使矢量位和標(biāo)量位分離在兩個(gè)獨(dú)立的方程中，且矢量位僅與電流密度有關(guān)，而標(biāo)量位僅與電荷密度有關(guān)，這對(duì)方程的求解是有利的。如果不采用洛侖茲條件，而選擇另外的，得到的和的方程將不同于式（4.2.8）和式（4.2.9），其解也不相同，但最終由和求出的和是相同的。4.3電磁能量守恒定律電場(chǎng)和磁場(chǎng)都具有能量，在線性、各向同性的媒質(zhì)中，電場(chǎng)能量密度分別為與磁場(chǎng)能量密度能量密度(4.3.1)(4.3.2)在時(shí)變電磁場(chǎng)中，電磁場(chǎng)能量密度等于電場(chǎng)能量密度(4.3.3)與磁場(chǎng)能量密度之和，即當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間改變，從而引起電磁