高中數(shù)學(xué)空間幾何體的表面積與體積

球的體積和表面積知識導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)球心和球的半徑是球的靈魂，抓住了球心就抓住了球的位置，知道了球的半徑就可求出球的體積和表面積．．在許多有關(guān)球的問題中，要畫出實(shí)際空間圖形比較困難，但平面圖形的問題來解決．高考導(dǎo)航高考考查球的題型有：計(jì)算球的表面積或體積；求球與其他簡單幾何體的組合體的表面積或體積．常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較低，分值

分.知識點(diǎn) 球的表面積與體積公式一個關(guān)鍵掌握好球的表面積公式

＝πR，球的體積公式

V

＝πR是公式，球的體積與表面積計(jì)算的相關(guān)題目也就迎刃而解了．．兩個結(jié)論兩個球的體積之比等于這兩個球的半徑之比的立方．(2)兩個球的表面積之比等于這兩個球的半徑之比的平方．：

π：

π＝

：，解析：πr．判斷下列命題是否正確.

正確的打“√”，錯誤的打“×”兩個球的半徑之比為 ： ： 經(jīng)過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑． ☆答案☆：√ √．如果兩個球的體積之比為

：，那么兩個球的表面積之比為 A． ： B． ：． ： ． ： ∴r ：＝ ：，∴ ：＝ ：☆答案☆：．一條直線被一個半徑為

的球截得的線段長為

，則球心到直線的距離為 A． B．． ．解析：如圖所示，d＝ －＝☆答案☆：．一個長方體的各個頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為，則此球的表面積為________．解析：

長方體外接球直徑長等于長方體對角線長，即

＝＋＋＝

，所以球的表面積＝4π＝14π.☆答案☆：14π類型一 球的體積與表面積32π例

球的體積是

，則此球的表面積是 16π 64πA．12π B．16π C.

【解析】 設(shè)球的半徑為

，則由已知得π【解析】 設(shè)球的半徑為

，則由已知得π＝

，解得

設(shè)球半徑為r

，則由＋＝可得×πr＋πr×球球的半徑與圓柱的底面半徑相同如圖所示，則球的半徑是________cm. 32π＝故球的表面積

＝4π＝16π.＝πr×r，解得

r＝故球的半徑是

【☆答案☆】 ,利用球的體積公式先求半徑R，再利用球的表面積公式求解．＝π＝π中系數(shù)的特征及半徑的立方．方法歸納積公式

＝4π中系數(shù)的特征及半徑的平方．必要時需逆用表面積公式得到球的半徑關(guān)于表面積的關(guān)系式．同時還應(yīng)注意體積公式

注意：計(jì)算與球有關(guān)的組合體的表面積與體積時要恰當(dāng)?shù)胤指钆c拼接，避免重疊．,

＝

×

＝

×

.為原來的 A．

倍 B．

倍 C.

倍．

倍一個半球的表面積為，則相對應(yīng)的此球的半徑應(yīng)為 3π 3πA.3π B.

3π C.

3π

3π解析：設(shè)改變前、后球的半徑分別是

r，r′，則由條件可知4πr′＝×4πr.4πr′ 4πr∴r′＝

r，′＝

＝πr＋2πr＝，∴r＝

3π3π

.☆答案☆： 先根據(jù)球的表面積的關(guān)系，得出半徑之比，再求出體積之比．類型二 球的截面問題例

一平面截一球得到直徑為

圓面的距離是

，則該球的體積是 A．12π

cm B．36π

cm ．

π

cm．108π

cm已知球的兩平行截面的面積分別為5π

和

8π同一側(cè)，且距離為

，則這個球的表面積為________．接

，則

垂直于截面圓

.在接

，則

垂直于截面圓

.在

eq

\o\ac(△,OO)

中，

＝

，

＝

，∴球的體積

＝×π×＝36π

(cm． ∴球的半徑

＝＝ ＋

＝

，＝，則

＝在

eq

\o\ac(△,OO)

＝，則

＝在

eq

\o\ac(△,OO)

中，＝，

＝，

＝r

，則

r＝－，∴πr在

eq

\o\ac(△,OO)

中，＝，

＝＋，

＝r

，則

r＝－＋，∴πr＝π[－＋＝5π，即

－＋＝

②.以

r

為半徑，

為圓心的截面圓的面積為

8π，球的半徑為

， ＝π(－＝8π，即

－＝ ①. 由①②得

＝，＝∴球的表面積為

＝4π＝4π×＝36π.【☆答案☆】 (2)36π作經(jīng)過球心和截面圓圓心的軸截面；作截面圖時，注意兩個截面在圓心的同一側(cè)，構(gòu)成兩個直角三角形，再求解．方法歸納球的截面問題的解題方法 在 在

△

中，∠＝，＝

，＝

＝

×＝ ，＝，由勾股定理得

＋＝，解得

＝

化為平面中圓的有關(guān)問題解決．球的半徑，球心到截面的距離

d，截面圓的半徑

r

d＝－r，可知二求一．跟蹤訓(xùn)練

球面上有三個點(diǎn)

，，，其中＝，＝，＝，且球心到平面

的距離為球半徑的一半，那么這個球的半徑為 A． B． ．

．

解析：平面

截球所得的截面是一個圓面，，，

三點(diǎn)在這個圓面的圓上，∵＝，＝，＝，∴＝＋，∴

為這個圓的直徑．設(shè)

的中點(diǎn)為

M

，球的半徑為，則M

為截面圓的圓心，

為其半徑， ☆答案☆：先證明三角形

ABC

是直角三角形，AC

AC

的中點(diǎn)為，則

為截面圓的圓心，

為其半徑，求出，找到

與球半徑的關(guān)系，利用勾股定理求出球半徑即可．,類型三 內(nèi)切球與外接球問題例

已知

，

是球

的球面上兩點(diǎn)，∠＝，

為該球面上的動點(diǎn)．若三棱錐

－

體積的最大值為

，則球

的表面積為 A．36π B．64π ．144π．256π【解析】 如圖，設(shè)球的半徑為

，因?yàn)椤希?，＝?

eq

\o\ac(△,，而)eq

\o\ac(△,，而)

面積為定值，＝

最大，最大為××＝，所以當(dāng)點(diǎn)

到平面

的距離最大時，所以當(dāng)

為與球的大圓面

垂直的直徑的端點(diǎn)時，體積

所以

＝所以球

的表面積

＝4π＝4π×＝144π.故選

C.【☆答案☆】 解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)、接點(diǎn)的位置，作出合適的輔助圖形，確定有關(guān)元素間的位置和數(shù)量關(guān)系．方法歸納處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問題時，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系．一般情況下，由于球的對稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比如中心、對角線的中點(diǎn)等．解決此類問題的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑“切點(diǎn)”或“接點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為平面問題來計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練

已知圓柱的高為

，它的兩個底面的圓周在直徑為

的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為 3π π πA．π B.

解析：如圖所示，由題可知球心在圓柱的中心處，球的半徑

＝－

＝

，，圓柱的高－

＝

，

則圓柱的體積

則圓柱的體積

＝πr＝ .故選

B.☆答案☆：B先確定圓柱上、下底面圓的半徑，然后再求該圓柱的體積.解析：設(shè)兩球的半徑分別為r

，r

，表面積分別為

解析：設(shè)兩球的半徑分別為r

，r

，表面積分別為

，

，一、選擇題每小題

分，共

分．已知兩個球的半徑之比為 ：，那么這兩個球的表面積之比為 A． ： B． ：． ： ． ： ∵r ：r＝ ：，∴

：

＝4πr

：4πr＝r

：r＝

：故選

A.☆答案☆：A．

安徽省合肥市檢測平面

α

截球

所得截面圓的半徑為，球心

到平面

α

的距離為

，則此球的體積為 ＋

＝

＋

＝

，所以球的體積

＝

．

π D．

π解析：

球的半徑

＝

π＋πr＝12π，解析：π＋πr＝12π，解析：設(shè)大球半徑為r，所以r＝

，所以

－r＝－＝☆答案☆：B．兩球的體積之和是

12π，它們的大圓周長之和是

6π，則大球與小球的半徑之差是 A． B．． ． 2π＋2πr＝6π，＝得☆答案☆：A．已知一個正方體的體積是

，則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是 A．8π B．6π．4π D．π解析：設(shè)該正方體的棱長為

r

＝，∴＝，∴正方體的內(nèi)切球直徑為

，r＝，∴內(nèi)切球的表面積

＝4πr＝4π.☆答案☆：

．半徑為 π

的球的體積與一個長、寬分別為

的長方體的體積相等，則長方體的表面積為 A． B．． ．，故球的體積為π，故球的體積為π＝π·

π

π＝，則長方體的高為

48÷6÷4＝，故長方體的表面積為

××＋×＋×＝＝

π×

＋＝

π×

＋

π×

＋解析：設(shè)大鐵球的半徑為

，由ππ×

，得

＝，得

＝☆答案☆：二、填空題每小題

分，共

分．已知三棱錐

P－

中，⊥底面

，＝，底面

是邊長為

的正三角形，三棱錐P－

的體積為________．解析：依題意有，三棱錐P－

的體積 ＝·|＝×

××＝

☆答案☆：

．把直徑分別為

的三個鐵球熔成一個大鐵球，則這個大鐵球的半徑為________

☆答案☆：．湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為

，深為

的空穴，則該球半徑是________

，表面積是________

.解析：設(shè)球心為

，

是與冰面垂直的一條球半徑，冰面截球得到的小圓圓心為

，

為小圓

的一條直徑，設(shè)球的半徑為

，則

＝－

，則－＋＝，解之得

＝

，所以該球表面積為＝4π＝4π×＝100π(cm．☆答案☆： 100π三、解答題每小題

分，共

分．若三個球的表面積之比為

：

：，求這三個球的體積解析：設(shè)三個球的半徑分別為解析：設(shè)三個球的半徑分別為

，

，

， ∵三個球的表面積之比為 ：

：， ∴4π ：4π ：4π＝ ： ：，即

： ： ：，

：

：

＝ ： ：，

：

：

＝：

＝π：π ：π＝

：

：

：＝

：

：．已知球心

到過球面上三點(diǎn)

，，

的截面的距離等于球半徑的一半，且

＝＝＝

，求球的體積．且

′＝

＝

設(shè)球的半徑為

，則

′且

′＝

＝

設(shè)球的半徑為

，則

′＝.

，′，因?yàn)?/p>

＝＝＝

，所以

′為正三角形

的中心，由球的截面性質(zhì)，知 eq

\o\ac(△,OO)′

為直角三角形，－＝

，所以

＝－＝

，所以

＝

所以

＝π＝π

(cm．能力提升

分鐘，

分．已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在直徑為

的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為 3πA．π B.

π π 解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為

，且

＝，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，

及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．－

－

＝

.

∴圓柱的體積為

∴圓柱的體積為

＝πr＝

π×＝

4.故選

B.☆答案☆：B．長方體的共頂點(diǎn)的三個側(cè)面面積分別為

、

、

，則它的外接球的表面積為________．解析：設(shè)長方體的有公共頂點(diǎn)的三條棱的長分別為

、、，則＝由已知得

＝＝

，，，

＝

，解得

＝，＝

所以球的半徑

＝＋＋＋＝所以

＝4π＝9π.解析：設(shè)正方體棱長為，三個球的半徑依次為

，

，

，則有

＝，

＝，

＝

，

＝

，

＝

，

＝

，所以☆答案☆：9π．有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體的六個面，第二個球與這個球的表面積之比．

：

：

：

＝ ：

：

：

：

所以

：

＝

：＝

：

：即這三個球的表面積之比為 ： ：

的圓錐內(nèi)接于一個體積