2023年九年級數(shù)學中考復習《二次函數(shù)綜合壓軸題》?？碱}型專題訓練（含解析）

2022-2023學年九年級數(shù)學中考復習《二次函數(shù)綜合壓軸題》?？碱}型專題訓練（附答案）1．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC，點D為拋物線的頂點，點P是第四象限的拋物線上的一個動點（不與點D重合）．（1）則∠OBC的度數(shù)等于．（2）連接CD、BD、DP，延長DP交x軸正半軸于點E，且S△OCE＝S四邊形OCPB，求此時P點的坐標；（3）過點P作PF⊥x軸交BC于點F，求線段PF長度的最大值．2．已知：如圖，二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（1，﹣2），直線y＝kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中A點坐標為（3，0），B點在y軸上．點P為線段AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P且垂直于x軸的直線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）設點P的橫坐標為x，求線段PE的長（用含x的代數(shù)式表示）；（3）點D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，若以點P、E、D為頂點的三角形與△AOB相似，請求出P點的坐標．3．如圖，拋物線y＝ax2+x+c（a＞0）與x軸交于A（﹣2，0），B（1，0）兩點，與y軸負半軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點D是拋物線上第三象限內(nèi)的一點，連接CD，若∠ACD為銳角，且tan∠ACD＜，求點D的橫坐標xD的取值范圍；（3）如圖2，經(jīng)過定點P作一次函數(shù)y＝kx+與拋物線交于M，N兩點．試探究是否為定值？請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+?x+（m＞0）與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點，與y軸交于點C，連接BC．（1）若OC＝2OA，求拋物線對應的函數(shù)表達式；（2）在（1）的條件下，點P位于直線BC上方的拋物線上，當△PBC面積最大時，求點P的坐標；（3）設直線y＝x+b與拋物線交于B，G兩點，問是否存在點E（在拋物線上），點F（在拋物線的對稱軸上），使得以B，G，E，F(xiàn)為頂點的四邊形成為矩形？若存在，求出點E，F(xiàn)的坐標；若不存在，說明理由．5．已知，如圖，點M在x軸上，以點M為圓心，2.5長為半徑的圓交y軸于A、B兩點，交x軸于C（x1，0）、D（x2，0）兩點，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）＝（x+2）2的兩根．（1）求點C、D及點M的坐標；（2）若直線y＝kx+b切⊙M于點A，交x軸于P，求PA的長；（3）⊙M上是否存在這樣的點Q，使點Q、A、C三點構成的三角形與△AOC相似？若存在，請求出點的坐標，并求出過A、C、Q三點的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．6．如圖，拋物線y＝ax2﹣3ax﹣2交x軸于A、B（A左B右）兩點，交y軸于點C，過C作CD∥x軸，交拋物線于點D，E（﹣2，3）在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）P為第一象限拋物線上一點，過點P作PF⊥CD，垂足為F，連接PE交y軸于G，求證：FG∥DE；（3）如圖2，在（2）的條件下，過點F作FM⊥PE于M．若∠OFM＝45°，求P點坐標．7．在直角坐標平面內(nèi)，直線y＝x+2分別與x軸、y軸交于點A、C．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A與點C，且與x軸的另一個交點為點B，點D在該拋物線上，且位于直線AC的上方．（1）求拋物線的表達式；（2）連結BC、BD，且BD交AC于點E，如果△ABE的面積與△ABC的面積之比為4：5，求∠DBA的正切值；（3）過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連結CD．若△CFD與△AOC相似，求點D的坐標．8．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+2x﹣3交x軸于點A、B，交y軸于點C．（1）如圖1，連接BC，過點A作y軸的平行線交直線BC于點E，求線段BE的長；（2）如圖1，點P為第三象限內(nèi)拋物線上一點，連接AP交BC于點D，連接BP，記△BDP的面積為S1，△ABD的面積為S2，當?shù)闹底畲髸r，求出這個最大值和點P的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝x2+2x﹣3沿射線BC方向平移個單位，平移后的拋物線與原拋物線交于點G，點M為平移后的拋物線對稱軸上一點，N為平面內(nèi)一點，是否存在以點D、G、M、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點N的坐標，若不存在，則請說明理由．9．如圖所示，拋物線y＝ax2+2x+8（a＜0）交x軸負半軸于A點、交x軸正半軸于B點，與y軸交于C點，且2OB＝OC，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．（1）請寫出B點坐標及a的值；（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）D為CO的中點，一個動點G從D點出發(fā)，先到達x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標，并求出最短路程；（4）若點Q（x，y）是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的橫坐標x的值，若不存在，請說明理由．10．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣，交y軸于點A，交x軸于B（﹣1，0），C（5，0）兩點，拋物線的頂點為D，連接AC，CD．（1）求直線AC的函數(shù)表達式；（2）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點D的坐標；（3）過點D作x軸的垂線交AC于點G，點H為線段CD上一動點，連接GH，將△DGH沿GH翻折到△GHR（點R，點G分別位于直線CD的兩側），GR交CD于點K，當△GHK為直角三角形時．①請直接寫出線段HK的長為；②將此Rt△GHK繞點H逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜180°），得到△MHN，若直線MN分別與直線CD，直線DG交于點P，Q，當△DPQ是以PQ為腰的等腰三角形時，請直接寫出點P的縱坐標為．11．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c，經(jīng)過矩形OABC的A（3，0），C（0，2），連接OB．D為橫軸上一個動點，連接CD，以CD為直徑作⊙M，與線段OB有一個異于點O的公共點E，連接DE．過D作DF⊥DE，交⊙M于F．（1）求拋物線的解析式；（2）tan∠FDC的值；（3）①當點D在移動過程中恰使F點落在拋物線上，求此時點D的坐標；②連接BF，求點D在線段OA上移動時，BF掃過的面積．12．已知拋物線的頂點A（﹣1，﹣4），經(jīng)過點B（﹣2，﹣3），與x軸分別交于C，D兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，點M是拋物線上的一個動點，且在直線OB的下方，過點M作x軸的平行線與直線OB交于點N，當MN取最大值時，求點M的坐標；（3）如圖2，AE∥y軸交x軸于點E，點P是拋物線上A，D之間的一個動點，直線PC，PD與AE分別交于F，G，當點P運動時，①直接寫出EF+EG的值；②直接寫出tan∠ECF+tan∠EDG的值．13．如圖1，拋物線C：y＝ax2+bx經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（﹣1，3）兩點，G是其頂點，將拋物線C繞點O旋轉180°，得到新的拋物線C′．（1）求拋物線C的函數(shù)解析式及頂點G的坐標；（2）如圖2，直線l：y＝kx﹣經(jīng)過點A，D是拋物線C上的一點，設D點的橫坐標為m（m＜﹣2），連接DO并延長，交拋物線C′于點E，交直線l于點M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG、AB，在直線DE下方的拋物線C上是否存在點P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．14．拋物線y＝x2﹣2ax+1（a＞1）與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．（1）若a＝2，求A，B，C三點的坐標；（2）如圖1，若∠ACB＝45°，求a的值；（3）如圖2，過點C作CE∥AB交拋物線于另一點E，以CE為直徑作⊙P，求證：直線AD與⊙P相切．15．如圖，拋物線y＝﹣4x+6與x軸交于A，B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，連接AC，BC，點D在拋物線上一點．（1）求證：△OBC是等腰直角三角形．（2）連接DC，如圖1，若BC平分∠ACD，求點D的坐標．（3）如圖2，若點D在線段BC的下方拋物線上一點，畫DE⊥BC于點E．①求DE的最大值．②在線段CE上取點F，連OF，DF，若∠EDF＝∠ACB，且點C關于直線OF的對稱點恰好落在拋物線上，求點D的坐標（直接寫出答案）．16．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C，直線y＝x﹣2經(jīng)過B、C兩點，點P是拋物線上一動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當拋物線上的點P的在BC下方運動時，求△BCP面積的最大值；（3）連接OP，把△OCP沿著y軸翻折，使點P落在P′的位置，四邊形CPOP′能否構成菱形，若能，求出點P的坐標，如不能，請說明理由．17．如圖，直線與x軸，y軸分別交于點A，C，拋物線經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為B．（1）求的函數(shù)表達式；（2）點D為拋物線上一動點，直線BD交直線AC于點E；①當點D在直線AC上方運動時，連接BC，CD，設直線BD交線段AC于點E，△CDE，△BCE的面積分別為S1，S2，求的最大值；②若直線CD交拋物線對稱軸于點F，當EF∥BC時，直接寫出點D的橫坐標．18．如圖，已知拋物線與x軸交于點A，B；與y軸交于點C，且OC＝OB＝2OA，對稱軸為直線x＝1．（1）求拋物線的解析式．（2）若點M，N分別是線段AC，BC上的點，且MN∥AB，當MN＝2時，求點M，N的坐標．（3）D是拋物線的頂點，在拋物線上是否存在不與點D重合的點E，使得△BCE與△BCD的面積相等？若存在，請求點E的坐標；若不存在，請說明理由．19．如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為C（3，6），并與y軸交于點B（0，3），點A是對稱軸與x軸的交點．（1）求直線AB和拋物線的解析式；（2）如圖①，P是拋物線上的一個動點，且位于第一象限，求點P到直線AB距離的最大值；（3）如圖②，在對稱軸AC的右側作∠ACD＝30°交拋物線于點D，在y軸上是否存在點Q，使∠CQD＝60°？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C，連接BC．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點D（m，0）為線段OB上一動點（不與O，B重合），過點D作平行于y軸的直線交BC于點M，交拋物線于點N，是否存在點D使點M為線段DN的三等分點，若存在求出點D坐標，若不存在請說明理由；（3）過點O作直線l∥BC，點P，Q為第一象限內(nèi)的點，且Q在直線l上，P為l上方拋物線上的點，是否存在這樣的點P，Q，使△PQB∽△COB，若存在直接寫出P，Q坐標，若不存在請說明理由．參考答案1．解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），∴由題意得，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）．在Rt△OBC中，∵OC＝OB＝3，∴△OBC為等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°．（2）如圖1，過點D作DH⊥x軸于H，此時S四邊形OCDB＝S梯形OCDH+S△HBD，∵OH＝1，OC＝3，HD＝4，HB＝2，∴S梯形OCDH＝?（OC+HD）?OH＝，S△HBD＝?HD?HB＝4，∴S四邊形OCDB＝．∴S△OCE＝S四邊形OCDB＝＝，∴OE＝5，∴E（5，0）．設lDE：y＝kx+b，∵D（1，﹣4），E（5，0），∴，解得，∴l(xiāng)DE：y＝x﹣5．∵DE交拋物線于P，設P（x，y），∴x2﹣2x﹣3＝x﹣5，解得x＝2或x＝1（D點，舍去），∴xP＝2，代入lDE：y＝x﹣5，∴P（2，﹣3）．（3）如圖2，設lBC：y＝ax+t（a≠0），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴l(xiāng)BC：y＝x﹣3．∵F在BC上，∴yF＝xF﹣3，∵P在拋物線上，∴yP＝xP2﹣2xP﹣3，∴線段PF長度＝y(tǒng)F﹣yP＝xF﹣3﹣（xP2﹣2xP﹣3），∵xP＝xF，∴線段PF長度＝﹣xP2+3xP＝﹣（xP﹣）2+，（1＜xP＜3），∴當xP＝時，線段PF長度最大為．2．解：（1）設二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣2，∵A（3，0）在拋物線上，∴0＝a（3﹣1）2﹣2∴a＝，∴y＝（x﹣1）2﹣2，（2）拋物線與y軸交點B的坐標為（0，），設直線AB的解析式為y＝kx+m，∴，∴，∴直線AB的解析式為y＝x﹣．∵P為線段AB上的一個動點，∴P點坐標為（x，x﹣）．（0＜x＜3）由題意可知PE∥y軸，∴E點坐標為（x，x2﹣x﹣），∵0＜x＜3，∴PE＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，（3）由題意可知D點橫坐標為x＝1，又D點在直線AB上，∴D點坐標（1，﹣1）．①當∠EDP＝90°時，△AOB∽△EDP，∴．過點D作DQ⊥PE于Q，∴xQ＝xP＝x，yQ＝﹣1，∴△DQP∽△AOB∽△EDP，∴，又OA＝3，OB＝，AB＝，又DQ＝x﹣1，∴DP＝（x﹣1），∴，解得：x＝﹣1±（負值舍去）．∴P（﹣1，）（如圖中的P1點）；②當∠DEP＝90°時，△AOB∽△DEP，∴．由（2）PE＝﹣x2+x，DE＝x﹣1，∴，解得：x＝1±，（負值舍去）．∴P（1+，﹣1）（如圖中的P2點）；綜上所述，P點坐標為（﹣1，）或（1+，﹣1）．3．解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+c（a＞0）與x軸交于A（﹣2，0），B（1，0）兩點，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為y＝x2+x﹣2；（2）如圖1，過點A作AE1⊥AC，使AE1＝AC，連接AE1交拋物線于點D1，過點E1作E1F1⊥x軸于點F1，∵y＝x2+x﹣2，令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），又A（﹣2，0），∴OA＝OC＝2，∴△OAC是等腰直角三角形，∴AC＝2，∠OAC＝45°，∴AE1＝AC＝，∵∠CAE1＝90°，∴∠E1AF1＝45°，∵∠AF1E1＝90°，∴△AE1F1是等腰直角三角形，∴AF1＝E1F1＝AE1＝×＝，∴OF1＝OA﹣AF1＝2﹣＝，∴E1（﹣，），設直線CE1解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線CE1解析式為y＝﹣x﹣2，聯(lián)立方程組得，解得：（舍去），，∴D1（﹣，），同理可得：D（﹣，﹣），∵∠ACD為銳角，且tan∠ACD＜，∴﹣＜xD＜﹣，又∵點D是拋物線上第三象限內(nèi)的一點，∴﹣2＜xD＜﹣；（3）+是定值．理由如下：設M（x1，y1），N（x2，y2），由，得x2+（1﹣k）x﹣＝0，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣，∵y1＝kx1+﹣2，y2＝kx2+﹣2，∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），∴MN＝＝＝?＝?＝?＝1+k2，∵點P是直線y＝kx+﹣2上一定點，∴P（﹣，﹣2），∴PM＝＝＝?，PN＝＝＝?，∴PM?PN＝（1+k2）＝（1+k2）＝（1+k2）＝（1+k2）＝MN，∴+＝＝＝4，故+是定值．4．解：（1）∵A的坐標為（﹣1，0），∴OA＝1，∵OC＝2OA，∴OC＝2，∴C的坐標為（0，2），將點C代入拋物線y＝﹣x2+?x+（m＞0），得＝2，即m＝4，∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+x+2；（2）如圖，過P作PH∥y軸，交BC于H，由（1）知，拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+x+2，m＝4，∴B、C坐標分別為B（4，0）、C（0，2），設直線BC解析式為y＝kx+n，則，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2，設點P的坐標為（m，﹣m2+m+2）（0＜m＜4），則H（m，﹣m+2），∴PH＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m2﹣4m）＝﹣（m﹣2）2+2，∵S△PBC＝S△CPH+S△BPH，∴S△PBC＝PH?|xB﹣xC|＝[﹣（m﹣2）2+2]×4＝﹣（m﹣2）2+4，∴當m＝2時，△PBC的面積最大，此時點P（2，3）；（3）存在，理由如下：∵直線y＝x+b與拋物線交于B（m，0），∴直線BG的解析式為y＝x﹣m①，∵拋物線的表達式為y＝﹣x2+?x+②，聯(lián)立①②解得，或，∴G的坐標為（﹣2，﹣m﹣1），∵拋物線y＝﹣x2+?x+的對稱軸為直線x＝，∴點F的橫坐標為，①若BG為邊，不妨設E在x軸上方，如圖，過點E作EH⊥x軸于H，設E的坐標為（t，﹣t2+?t+），∵∠GBE＝90°，∴∠OBG＝∠BEH，∴tan∠OBG＝tan∠BEH＝＝，∴＝，解得：t＝3或m（舍），∴E的坐標為（3，2m﹣6），由平移性質(zhì)，得：B的橫坐標向左平移m+2個單位得到G的橫坐標，∵EF∥BG且EF＝BG，∴E橫坐標向左平移m+2個單位，得：到F的橫坐標為3﹣（m+2）＝﹣m+1，∴＝﹣m+1，解得m＝1，∴E（3，﹣4），F(xiàn)（0，﹣），這說明E不在x軸上方，而在x軸下方；②若BG為對角線，設BG的中點為M，由中點坐標公式得，，∴M的坐標為（，），∵矩形對角線BG、EF互相平分，∴M也是EF的中點，∴E的橫坐標為，∴E的坐標為（，），∵∠BEG＝90°，∴EM＝，∴＝，整理得：16+（m2+4m+1）2＝20（m+2）2，變形得：16+[（m+2）2﹣3]2＝20（m+2）2，換元，令t＝（m+2）2，得：t2﹣26t+25＝0，解得：t＝1或25，∴（m+2）2＝1或25，∵m＞0，∴m＝3，即E的坐標為（0，），F(xiàn)的坐標為（1，﹣4），綜上，即E的坐標為（0，），F(xiàn)的坐標為（1，﹣4）或E（3，﹣4），F(xiàn)（0，﹣）．5．解：（1）x（2x+1）＝（x+2）2整理得，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴點C、D的坐標是C（﹣1，0），D（4，0），＝1.5，∴點M的坐標是（1.5，0），故答案為：C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；（2）如圖，連接AM，則AM＝2.5，在Rt△AOM中，AO＝＝＝2，∴點A的坐標是（0，2），∵PA與⊙M相切，∴AM⊥PA，∴∠MAO+∠PAO＝90°，又∵∠AMO+∠MAO，∴∠AMO＝∠PAO，在△AOM與△POA中，，∴△AOM∽△POA，∴＝，即＝，解得PA＝；（3）存在．如圖，連接AC、AD，∴∠CAD＝90°，在△ACO與△DCA中，，∴△ACO∽△DCA，∴存在點Q，與點D重合時，點Q、A、C三點構成的三角形與△AOC相似，此時，設過點A、C、Q的拋物線是y＝ax2+bx+c，則，解得，∴過A、C、Q三點的拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+2．如圖，連接AM并延長交⊙M于Q，連接CQ，∴∠AQC＝∠ADC，∵∠ADC＝∠CAO，∵AD'是⊙M直徑，∴∠ACQ＝90°＝∠AOC，∴△AOC∽△QCA，∵A（0，2），M（1.5，0），∴Q（3，﹣2），同上的方法，過A、C、Q三點的拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+2．6．解：（1）∵E（﹣2，3）在拋物線y＝ax2﹣3ax﹣2上，∴4a+6a﹣2＝3，解得：a＝，∴拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2．（2）證明：∵y＝x2﹣x﹣2＝0時，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），∵x＝0時，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵點D在拋物線上，且CD∥x軸，∴D（3，﹣2），設直線DE解析式為y＝kx+b∴解得：，∴直線DE：y＝﹣x+1，∵點P為第一象限拋物線上一點，∴設點P坐標為（t，t2﹣t﹣2）（t＞4），設直線PE解析式為y＝cx+d，∴解得：，∴直線PE：y＝x+t﹣2，直線PE與y軸交點G（0，t﹣2），∵PF⊥CD于點F，∴F（t，﹣2），設直線FG解析式為y＝ex+t﹣2，把點F代入得：te+t﹣2＝﹣2，解得：e＝﹣1，∴FG∥DE，（3）延長FO、PE相交于點N，過點M作MG′⊥PF于點G′，過點N作NH⊥MG′交G′M的延長線于點H，∴∠FG′M＝∠MHN＝90°，∵FM⊥PE于M，∴∠FMN＝90°，∴∠FMG′+∠NMH＝∠MNH+∠NMH＝90°，∴∠FMG′＝∠MNH，∵∠OFM＝45°，∴∠MNF＝180°﹣∠FMN﹣∠OFM＝45°，∴FM＝MN，在△FG′M與△MHN中，∴△FG′M≌△MHN（AAS），∴FG′＝MH，MG′＝NH，∵F（t，﹣2），∴直線OF：y＝﹣x，∵點M在直線PE：y＝x+t﹣2上，∴設M（m，m+t﹣2），∴MG′＝t﹣m，F(xiàn)G′＝m+t﹣2﹣（﹣2）＝m+t，∵解得：，∴N（，），∴MH＝m﹣，NH＝m+t﹣2﹣，∴，解得：（舍去），∴yP＝×36﹣×6﹣2＝7，∴點P坐標為（6，7）．解法二：過點G作GH⊥PF于H，交FM于N，連接ON，設P（a，a2﹣a﹣2），設NH＝b，由△GHP≌△FHN，推出NH＝PH＝b，證明ON＝OC+NH＝b+2，在Rt△OGN中，則有（b+2）2＝（a﹣2）2+（a﹣b）2，∴b＝，又b＝PH＝a（a﹣5），∴＝，∴a2﹣5a﹣6＝0，∴a＝6或﹣1（舍棄），∴P（6，7）．7．解：（1）令y＝x+2中x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝﹣4，故A（﹣4，0），C（0，2）．把A、C兩點坐標代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，則得：，解得：．所以拋物線的表達式為y＝．（2）如圖1，過點E作EH⊥AB于H，當y＝0時，＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，故點B坐標為（1，0），A（﹣4，0），∴S△ABC＝＝5，∵△ABE的面積與△ABC的面積之比為4：5，∴S△ABE＝4．設點E坐標為（x，），∴＝4，解得：x＝．故點E坐標為（，）．∴BH＝1+＝．在Rt△BHE中，tan∠EBH＝＝＝．即∠DBA的正切值為．（3）∵∠AOC＝∠DFC＝90°，∴分兩種情況討論：①若∠DCF＝∠ACO，則△DCF∽△ACO，如圖2，過點D作DG⊥y軸于點G，過點C作CQ⊥DC交x軸于點Q．∴∠DCF+∠ACQ＝90°，∴∠ACO+∠ACQ＝90°，又∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠ACQ＝∠CAO．∴AQ＝CQ．設點Q坐標為（m，0），則m+4＝，解得：m＝．∴點Q坐標為（，0）．∵∠QCO+∠DCG＝90°，∠QCO+∠CQO＝90°，∴∠DCG＝∠CQO．又∵∠DGC＝∠QOC＝90°，∴△DCG∽△CQO．∴，即＝＝．設DG＝4t，GC＝3t，則點D的坐標為（﹣4t，3t+2），將D點坐標代入y＝，得：﹣8t2+6t+2＝3t+2，解得：t1＝0（舍去），t2＝．故點D坐標為（﹣，）．②若∠DCF＝∠CAO，則△DCF∽△CAO，如圖3，則CD∥AO，∴點D的縱坐標為2，把y＝2代入y＝，得：＝2，解得：x1＝﹣3，x2＝0（舍去）．∴點D的坐標為（﹣3，2）．綜上所述，點D坐標為（﹣，）或（﹣3，2）．8．解：（1）如答圖1所示，作AE∥y軸交BC的延長線于點E．令y＝x2+2x﹣3中y＝0，得方程x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；令y＝x2+2x﹣3中x＝0，得y＝﹣3，則得點A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．∴BO＝OC＝3，OA＝1．∵∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝．又OC∥AE，∴，即，解得：CE＝，故線段BE＝BC+CE＝＝．（2）如答圖2，在答圖1基礎上，作PF∥AE交BC于F．設直線BC的解析式為y＝kx+b，代入B（﹣3，0）、C（0，﹣3），，解得：．則直線BC的解析式為y＝﹣x﹣3．設點P坐標為（a，a2+2a﹣3），點F坐標為（a，﹣a﹣3），點E坐標為（1，﹣4），則PF＝﹣a﹣3﹣（a2+2a﹣3）＝﹣a2﹣3a，AE＝4．由PF∥AE，可得△DFP∽△DEA，∴＝＝．又△BDP與△ABD的底可分別看成是DP、DA，而高相等，故＝．∵，∴當a＝時，有最大值，最大值為，此時點P坐標為（，）．（3）存在以點D、G、M、N為頂點的四邊形是菱形，理由如下：在（2）的條件下，點P坐標為（，）．設直線AP表達式為y＝mx+n，代入A、P坐標，得：，解得：．則直線AP表達式為y＝．聯(lián)立，解得：，即點D坐標為（，）．∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，又將拋物線y＝x2+2x﹣3沿射線BC方向平移個單位，實際上等同于將該拋物線向右平移1個單位，再向下平移1個單位，則新拋物線的解析式為y＝x2﹣5．聯(lián)立，解得．即點G坐標為（﹣1，﹣4）．（為了便于觀察，現(xiàn)將圖象簡化，略去平移前的函數(shù)圖象，只保留平移后的圖象）．平移后的二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣5，則對稱軸為x＝0，故點M坐標可設為（0，m），點N坐標（a，b）．當DG為菱形的邊時：①以點D為圓心，DG為半徑畫圓交y軸于點M1、M2，作DH⊥y軸于點H，如答圖3．此時，DG＝DM1＝DM2＝＝，DH＝，∴M1H＝＝＝M2H．故可得點M1（0，）、M2（0，）．由菱形對角線性質(zhì)和中點坐標公式可得：，即，解得：；或，解得：．∴點N1（，），N2（，）．②以點G為圓心，DG為半徑畫圓交y軸于點M3、M4，作GI⊥y軸于點I，如答圖4．此時，GD＝GM3＝GM4＝，GI＝1，∴IM4＝＝＝＝．故可得點M3（0，）、M4（0，）．由菱形對角線性質(zhì)和中點坐標公式可得：，即，解得：；或，解得：．∴點N3（，），N4（，），當DG為菱形的對角線時，則MN為另一對角線，如答圖5．則有M5D＝M5G，亦即M5D2＝M5G2．∴＝（﹣1﹣0）2+（﹣4﹣m）2，解得：m＝．即點M5（0，），由菱形對角線性質(zhì)和中點坐標公式可得：，解得：，則點N5坐標為（，﹣3）．綜上所述，點N的坐標為（，）或（，）或（，）或（，）或（，﹣3）．9．解：（1）令x＝0，則y＝8．∴OC＝8．又∵2OB＝OC，∴OB＝4．∴點B的坐標為（4，0），將B（4，0）代入y＝ax2+2x+8，得0＝16a+8+8解得a＝﹣1；（2）存在，理由：由（1）知，拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+8．當∠CP′M為直角時，則以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似時，則P′C∥x軸，則點P′的坐標為（1，8）；當∠PCM為直角時，在Rt△OBC中，設∠CBO＝α，則tan∠CBO＝＝2＝tanα，則sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，則BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由點B、C的坐標得，BC＝＝4，則CM＝BC﹣MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，則PM＝＝＝，則PN＝MN+PM＝6+＝，故點P的坐標為（1，），故點P的坐標為（1，8）或（1，）；（3）∵D為CO的中點，則點D（0，4），作點C關于函數(shù)對稱軸的對稱點C′（2，8），作點D關于x軸的對稱點D′（0，﹣4），連接C′D′交x軸于點E，交函數(shù)的對稱軸于點F，則點E、F為所求點，理由：G走過的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′為最短，由點C′、D′的坐標得，直線C′D′的表達式為y＝6x﹣4，對于y＝6x﹣4，當y＝6x﹣4＝0時，解得x＝，當x＝1時，y＝2，故點E、F的坐標分別為（，0）、（1，2）；G走過的最短路程為C′D′＝＝2；（4）存在，理由：①當點Q在y軸的右側時，設點Q的坐標為（x，﹣x2+2x+8），故點Q作y軸的平行線交x軸于點N，交過點C與x軸的平行線于點M，∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC（AAS），∴QN＝CM，即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合題意的值已舍去），故點Q的坐標為（，）．②當點Q在y軸的左側時，同理可得，點Q的坐標為（，）．綜上，點Q的坐標為（，）或（，）．10．解：（1）設直線AC的函數(shù)表達式為：y＝kx+c，∵拋物線y＝ax2+bx﹣，交y軸于點A，∴A（0，﹣），將A（0，﹣），C（5，0）分別代入y＝kx+c，得：，解得：，∴直線AC的函數(shù)表達式為：y＝x﹣，（2）∵拋物線y＝ax2+bx﹣經(jīng)過B（﹣1，0），C（5，0）兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣2）2﹣4，∴頂點D的坐標為（2，﹣4）；（3）①如圖1，∵△GHK為直角三角形，且點R，點G分別位于直線CD的兩側，∴∠GHK＝90°或∠HGK＝90°或∠GKH＝90°，當∠GHK＝90°時，∠GHD＝90°，點R落在直線DC上，不符合題意，當∠HGK＝90°時，∠DGH＝∠HGK＝90°，點R，點G位于直線CD的同側，不符合題意，當∠GKH＝90°時，點R，點G分別位于直線CD的兩側，符合題意，∴∠GKH＝90°，∠DGH＝∠RGH，過點H作HL⊥DG于點L，則HL＝HK，∵D（2，﹣4），DG⊥x軸，∴G（2，﹣），F(xiàn)（2，0），∴DG＝﹣﹣（﹣4）＝，CF＝5﹣2＝3，DF＝4，∴CD＝＝＝5，∵∠DFC＝∠GKH＝90°，∠GDK＝∠CDF，∴△GDK∽△CDF，∴＝＝，即＝＝，∴GK＝，DK＝，∵S△GKH+S△GDH＝S△GDK，∴××HK+××HL＝××，故答案為：；②∵△DPQ是以PQ為腰的等腰三角形，∴PQ＝DQ或PQ＝DP，當PQ＝DQ時，如圖2，由旋轉知：點H到PQ、DQ的距離相等，∴QH⊥DP，DH＝HP，由①知HL＝HK＝，∵HL∥CF，∴＝，即＝，∴DL＝，∴L的縱坐標為﹣4＝﹣，即H的縱坐標為﹣，∵H為D、P的中點，∴P的縱坐標為﹣，當PQ＝DP時，如圖3，點P為DQ的垂直平分線與CD的交點，∵H（，﹣），∴經(jīng)過點H平行MN的直線為y＝﹣x+，∵點H到直線MN的距離為，∴直線MN的解析式為y＝﹣x﹣，∵直線CD的解析式為y＝x﹣，∴P（，﹣）；綜上所述，點P的縱坐標為﹣或﹣．11．解：（1）將點A、C的坐標代入拋物線的表達式得：，解得：，故拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+2①；（2）如圖1，連接CE、CF、FO，∵CD是直徑，∴∠CED＝90°，即CE⊥DE，又∵DF⊥DE，∴∠FDC＝∠ECD＝∠EOD＝∠BOA，∴tan∠FDC＝tan∠BOA＝；（3）①如圖2，連接FO，則∠FOG＝∠FCD，∵CD是直徑，∴∠CFD＝90°，∵DF⊥DE，∴∠FDE＝90°∴FC∥DE，∴∠FCD＝∠CDE＝∠COE，∴∠FOG＝∠FCD＝∠CDE＝∠COE，∴tan∠FOG＝tan∠COE＝tan∠COB＝，故直線OF的表達式為：y＝﹣x②，聯(lián)立①②并解得：，故點F（﹣1，）；過點F作y軸的平行線GH，交x軸于點G，交過點C與x軸的平行線于點H，∴FG＝，CH＝1，HF＝2﹣＝，∵∠HFC+∠GFD＝90°，∠HFC+∠HCF＝90°，∴∠HCF＝∠GFD，又∠CHF＝∠FGD＝90°，∴△CHF∽△FGD，∴，即，解得：GD＝，∴OD＝1﹣＝，故點D的坐標為：（﹣，0）；②如圖3，當點D、O重合時，連接CF、BF，則BF掃過的面積為△BOF的面積，∠CFO＝90°，過點F作y軸的平行線HG，交x軸于點G，交過點C與x軸的平行線于點H，由①同理可得：△CHF∽△FGO，則，由①知tan∠FOG＝，設FG＝3a，則OG＝2a＝HC，HF＝2﹣GF＝2﹣3a，∴，解得：a＝；在Rt△FOG中，F(xiàn)O＝＝a＝，同理在Rt△AOB中，OB＝，∵OF⊥OE，BF掃過的面積＝S△BOF＝×BO×FO＝×＝3，故BF掃過的面積為3．12．解：（1）∵拋物線頂點坐標為（﹣1，﹣4），∴可設拋物線解析式為y＝a（x+1）2﹣4，∵拋物線經(jīng)過B（﹣2，﹣3），∴﹣3＝a﹣4，解得a＝1，∴拋物線為y＝x2+2x﹣3；（2）設直線OB解析式為y＝kx，由題意可得﹣3＝﹣2k，解得k＝，∴直線OB解析式為y＝x，設M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，則N的橫坐標為（t﹣s），縱坐標為（t﹣s）．∵MN∥x軸，∴t2+2t﹣3＝（t﹣s），得s＝﹣t2﹣t+2＝﹣（t+）2+．∴當t＝﹣時，MN有最大值，最大值為，此時點M的坐標是（﹣，﹣）；（3）EF+EG＝8．理由如下：如圖2，過點P作PQ∥y軸交x軸于Q，在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0可得0＝x2+2x﹣3，解得x＝﹣3或x＝1．∴C（﹣3，0），D（1，0）．設P（t，t2+2t﹣3），則PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t．∵PQ∥EF，∴△CEF∽△CQP．∴＝．∴EF＝?PQ＝×（﹣t2﹣2t+3）．同理△EGD∽△QPD得＝．∴EG＝?PQ＝?（﹣t2﹣2t+3），∴EF+EG＝（﹣t2﹣2t+3）+?（﹣t2﹣2t+3）＝2（﹣t2﹣2t+3）（+）＝2（﹣t2﹣2t+3）×＝8，∴當點P運動時，EF+EG為定值8；②由①知，EF+EG＝8，則tan∠ECF+tan∠EDG＝＝4．13．解：（1）將A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴拋物線C解析式為：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴頂點為：G（﹣2，4）；（2）∵拋物線C繞點O旋轉180°，得到新的拋物線C′．∴新拋物線C′的頂點為：G′（2，﹣4），二次項系數(shù)為：a′＝1∴新拋物線C′的解析式為：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x將A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，∴直線l解析式為y＝x﹣，設D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E關于原點O對稱，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，過點D作DF⊥x軸于F，過M作MR⊥x軸于R，∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴＝＝＝2∴OR＝2OF，RM＝2DF∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m＝?（﹣2m）﹣，解得：m1＝﹣3，m2＝，∵m＜﹣2∴m的值為：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，如圖3，連接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x軸下方過點O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，過點E作ET⊥y軸于T，連接EH交拋物線C于點P，點P即為所求的點；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），設直線EH解析式為y＝px+q，則，解得∴直線EH解析式為y＝﹣x，解方程組，∴x＝或，∴點P的橫坐標為：或．14．（1）解：當a＝2時，y＝x2﹣4x+1，當x＝0時，y＝2，∴C（0，1），當y＝0時，x2﹣4x+1＝0，解得：x1＝2+，x2＝2﹣，∴A（2﹣，0），B（2+，0）；（2）解：當y＝0時，x2﹣2ax+1＝0，解得：x1＝a+，x2＝a﹣，∴A（a﹣，0），B（a+，0），∴OA＝a﹣，如圖1，過點A作AF⊥AC于A，過點F作FG⊥x軸于G，∵∠ACB＝45°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴AC＝AF，∵∠CAF＝∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠CAO＝∠CAO+∠FAG＝90°，∴∠FAG＝∠ACO，∵∠COA＝∠AGF＝90°，∴△COA≌△AGF（AAS），∴AG＝OC＝1，F(xiàn)G＝OA＝a﹣，∴F（a+1﹣，a﹣），∵C（0，1），∴設直線BC的解析式為：y＝kx+1，∵B（a+，0），∴（a+）k+1＝0，∴k＝﹣，∴BC的解析式為：y＝﹣+1，∵點F在直線BC上，∴a﹣＝﹣+1，∵a＞1，∴a＝；（3）證明：y＝x2﹣2ax+1＝（x﹣a）2+1﹣a2，∴D（a，1﹣a2），如圖2，連接PA，PD，∵CE∥AB，CE是⊙P的直徑，∴P（a，1），⊙P的半徑是a，由勾股定理得：AP＝＝a，∴點A在⊙P上，∵AD2＝（a﹣﹣a）2+（1﹣a2）2＝a4﹣a2，PD2＝（1﹣a2﹣1）2＝a4，∴AD2+AP2＝a4﹣a2+a2＝a4，∴AD2+AP2＝PD2，∴△APD是直角三角形，且∠PAD＝90°，∴PA⊥AD，∴直線AD與⊙P相切．15．（1）證明：令x＝0，可得，令y＝0，可得，解得x1＝2，x2＝6，∴A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OA＝2，OC＝6，∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，∴△BOC為等腰直角三角形；（2）解：過點A作AE⊥BC交BC于點E，交CD于F，連接BF，如圖，∵△BOC為等腰直角三角形，AO＝2，∴AB＝6﹣2＝4，∠ABE＝45°，∵AE⊥BC，∴△AEB是等腰直角三角形，∴，∵BC平分∠ACD，∴∠ACB＝∠FCB，即根據(jù)“三線合一”可知：，即，∴，∴AF2＝AB2+BF2，∴△AFB是等腰直角三角形，即BF⊥OB，∴F（6，4），∴利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析式為：，聯(lián)立，解得（舍去），，∴；（3）解：∵B（6，0），C（0，6），∴利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式為：y＝﹣x+6，①設過點D的坐標為，過點D與直線BC平行的直線解析式為y＝﹣x+b，過D點作y軸的平行線交BC于點P，如圖，聯(lián)立，可得，∵，∴，∴解得x1＝x2＝3，即點D的坐標為，根據(jù)DP∥CD可得P點橫坐標為3，即可得P（3，3），∴當DE有最大值時，點D的坐標為，P（3，3），即：，當x＝3時，，∵DP∥OC，∴∠DPE＝∠OCB＝45°，∵DE⊥BC，∴△PDE為等腰直角三角形，∴，∴此時DE的最大值為；②設點C關于OF的對稱點為點T（且點T在拋物線上），則有OF垂直平分線段CT，即TO＝OC＝6，由圖可知拋物線上除點C、點B外，再無其他點到原點的距離為6，∴點T與點B重合，此時對稱軸OF即為Rt△BOC斜邊的中線，即點F為BC中點，過A點作AG⊥BC于G點，連接FA，∵A（2，0），B（6，0），C（0，6），△BOC為等腰直角三角形，∴OB＝6，OA＝2，OC＝6，且可得△AGB為等腰直角三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴tan∠GAF＝tan∠ACB，∴∠GAF＝∠ACB，此時若D點與A點重合，則E點與G點重合，滿足∠EDF＝∠ACB，此時D點坐標為：（2，0）；若D點不與A點重合：點F為定點（BC中點），且F點在線段AE上，即：CE＞CF，第一種情況：當D點從A點往C點靠近時，E點也會逼近F點，此時形成的角∠EDF會越來越小，∴即不存在∠EDF＝∠ACB的情況；第二種情況：當D點從A點往B點靠近時，DF與BF的夾角∠DFB將越來越小，則在Rt△DFB的另一個銳角∠EDF會越來越大，∴即不存在∠EDF＝∠ACB的情況；綜上：D點與A點重合滿足要求，即D（2，0）．16．解：（1）對于直線y＝x﹣2，令x＝0，則y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y＝0，則0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），將點B，C坐標代入拋物線y＝x2+bx+c中，得，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）過點P作PG∥y軸交BC于點G，設P（t，t2﹣t﹣2，則G（t，t﹣2），∴PG＝t﹣2﹣t2+t+2＝﹣t2+2t，∴S△BCP＝×4（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，∴當t＝2時，S△BCP的值最大，最大值為4；（3）如圖，由翻折得，點P、P'關于y軸對稱，∴OC垂直平分PP′，當PP′垂直平分OC時，四邊形CPOP'能構成菱形，∴點P的縱坐標為﹣1，當y＝﹣1時，﹣1＝x2﹣x﹣2，∴x＝，∴四邊形CPOP'能構成菱形，點P的坐標為（，﹣1）或（，﹣1）．17．解：（1）令，得x＝﹣4，令x＝0，得y＝2，∴C（0，2），A（﹣4，0），∵拋物線經(jīng)過A、C兩點，∴，∴，∴拋物線的解析式為：；（2）①如圖所示，過B作BN⊥x軸交AC于N，過D作DM⊥x軸交AC于M，∴BN∥DM，∴△BNE∽△DME，∴，∵△CDE與△CBE分別以DE、BE為底，高相同，∴S1：S2＝DE：BE＝DM：BN，令，解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴B（1，0），設，∴，∵B（1，0），∴，∴；∴當a＝﹣2時，的最大值是；②解：如圖，當D在對稱軸的左側時，過B作BN⊥x軸交AC于N，過點D作DM⊥x軸交AC于M，∵，∴對稱軸為直線，設，∴，∵BC∥EF，∴，由①可得，∴，即，整理得，0＝3a2+2a﹣15，解得：（舍）或，如圖，當D在拋物線對稱軸的右側時，同理可得，即，整理得，3a2+2a﹣15＝0，解得：或（舍），綜上所述，當EF∥BC時，直接寫出點D的橫坐標＝．18．解：（1）設OA＝m，則OB＝OC＝2m，∴A（﹣m，0），B（2m，0），C（0，2m），∵對稱軸為直線x＝1，∴＝1，解得m＝2，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），設拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣4），把C（0，4）代入得：4＝﹣8a，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4