結構力學 位移計算

§4.3靜定結構的位移計算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures結構的位移(DisplacementofStructures)AFP線位移，角位移，相對線位移、角位移等統(tǒng)稱廣義位移線位移角位移相對線位移CDFP相對角位移制造誤差等鐵路工程技術規(guī)范規(guī)定:計算位移的目的引起結構位移的原因(1)剛度要求如：載荷、溫度改變

T、支座移動c、在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。（3）理想聯(lián)結(IdealConstraint)。位移計算的假定

(2)超靜定、動力和穩(wěn)定計算(3）施工要求疊加原理適用（principleofsuperposition)(1)線彈性(LinearElastic),(2)小變形(SmallDeformation),一、位移計算的一般公式

(GeneralFormulaofDisplacements)下面從虛功方程入手，討論桿系結構位移計算的一般公式。設待求的實際廣義位移為ΔK實際位移狀態(tài)PABC虛設的力狀態(tài)PKABC

，與ΔK對應的廣義力為P。設僅在水平力PK作用下，與之平衡的軸力、剪力和彎矩分別為若結構有已知支座位移為ci實際位移狀態(tài)PABC虛設的力狀態(tài)PKABCdλ、dη和dθRc

，與其對應的由廣義力PK

引起的支座反力為R又設與內力

對應的微段實際變形分別為dλ、dη和dθ。外力虛功W外虛=ΣRi

Ci+PKΔK由虛功方程位移計算的一般公式內力虛功令PK=1W外虛=W內虛則結構虛功方程改寫為由單位載荷Pk=1引起的內力和反力實際狀態(tài)中的微段變形、支座位移實際狀態(tài)中擬求的位移單位載荷法——馬克斯威爾-莫爾（Maxwell-Mohr）法計算結果為正，所求的位移與單位力指向一致，否則相反公式的普遍性表現(xiàn)在：2.結構類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結構；靜定和超靜定結構；1.位移原因：載荷、溫度改變、支座移動等；3.材料性質：線性、非線性；4.

變形類型：彎曲、拉(壓)、剪切變形；5.位移種類：線位移、角位移；相對線位移和相對角位移。BA(b)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。A(a)PK=1PK=1PK=1ABCd(c)ABC(d)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。1.、載荷作用下的位移計算對于由線彈性直桿組成的結構，由材料力學有：二、靜定結構的位移計算結構在載荷作用下實際狀態(tài)中微段的內力式中：E

彈性模量；G

剪切模量；A

橫截面積；I

截面慣性矩；K

截面形狀系數(shù)。如：對矩形截面k=6/5;圓形截面k=10/9。軸向剪切彎曲內力的正負號規(guī)定如下：軸力以拉力為正；剪力使微段順時針轉動者為正；彎矩只規(guī)定乘積的正負號。使桿件同側纖維受拉時，其乘積取為正。幾點討論（只有荷載作用）：一般來說，剪切變形影響很小，通常忽略不計。1.對梁和剛架：2.對桁架：3.對組合結構：Pl/2l/2EIABx1x2求圖示等截面梁B端轉角。解：1）虛擬單位荷載m=12）MP須分段寫例：求剛架A點的豎向位移。解：構造虛設狀態(tài)（實際狀態(tài)）分別列出實際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)中各桿的內力方程（或畫出內力圖）（虛擬狀態(tài)）qxxqlqlx載荷內力圖xxlx11單位內力圖將內力方程代入公式，有：例2：求曲梁B點的豎向位移和水平位移。(EI、EA、GA已知)ROBAFP解：構造虛設的力狀態(tài)如圖示FP=1RθFP

=1RθFPRθ同理有：將內力方程代入位移計算公式,可得三鉸拱的分析同此類似，但一般要考慮軸力對位移的貢獻，也即例3：求對稱桁架D點的豎向位移。圖中右半部各括號內數(shù)值為桿件的截面積A

，設

E=210GPa。FN解：構造虛擬狀態(tài)并求出實際和虛擬狀態(tài)中各桿的內力代入公式得：N2.支座移動時的結構位移計算(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbySupportMovement)K實際位移狀態(tài)虛擬力狀態(tài)1K靜定結構由于支座移動并不產生內力，材料（桿件）也不產生變形，只發(fā)生剛體位移。（該位移也可由幾何關系求得）。例1：求CBAFP=1虛擬力狀態(tài)解：構造虛設力狀態(tài)實際位移狀態(tài)CBAll解：構造虛設力狀態(tài)RAyRAx例2：已知l=12m,h=8m,

,求()?=D-D--=-=rad

0075.0)211(BxByiiAhlcRj3.制造誤差引起的位移制造誤差

4.靜定結構溫度變化時的位移計算

(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbyTemperatureChanges)一般公式圖示結構，設外側溫度升高，內側溫度升高，求K點的豎向位移。設溫度沿桿件截面厚度為線性分布，桿軸溫度與上、下邊緣的溫差為：另外，溫度變化時，桿件不引起剪應變，微段軸向伸長和截面轉角為：線膨脹系數(shù)FP=1NN

圖面積對等截面直桿

圖面積將溫度引起的變形代入公式，可得上式中的正、負號：若溫度以升高為正，則軸力以拉為正；若和使桿件的同一邊產生拉伸變形，其乘積為正。

對梁和剛架：對桁架：幾種情況：溫度引起的軸向變形影響不能少。例：剛架施工時溫度為20，試求冬季外側溫度為-30，內側溫度為-20時A點的豎向位移。已知l=4m,,各桿均為矩形截面桿，高度h=0.4m實際狀態(tài)解：構造虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)單位荷載內力圖為：圖圖等于0溫度支座多種因素下的位移計算一般公式例3：求實際位移狀態(tài)CBAllP解：構造虛設力狀態(tài)CBA虛擬力狀態(tài)Pk=1同時考慮載荷、溫度和支座位移的影響已有基礎：1.靜定結構的內力計算；2.利用位移計算公式求靜定結構的位移；3.桿件結構在荷載作用下的位移計算公式,即:圖乘法及其應用

(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)梁、剛架結構一、圖乘法必須注意適用條件圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當時為莫斯科鐵路運輸學院的學生。二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法頂點指曲線切線與桿軸重合或平行Ch三、注意事項：1.圖乘法的應用條件：（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個M圖中應有一個是直線；（3）應取自直線圖中。2.若與在桿件的同側，取正值；反之，取負值。3.如圖形較復雜，可分解為簡單圖形.(1)曲-折組合例如(2)梯-梯同側組合(3)梯-梯異側組合ABCDabcd圖圖bc取負值(4)階梯形截面桿四、應用舉例例1.設EI

為常數(shù)，求和。解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖BAq圖CABFP=1圖對嗎？應分段！CAB圖1（

）BAq圖Pl/2l/2C例：求圖示梁C點的撓度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？例2.已知EI

為常數(shù)，求剛架C、D兩點距離的改變。解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖2p117例3.已知EI為常數(shù)，求剛架A點的豎向位移，并繪出剛架的變形曲線。FP解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖在圖求面積，在圖取豎標，有：圖EI2EI圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4繪制變形圖時，應根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點的利用。如：圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP例4.已知：

E、I、A為常數(shù)，求。ABCFPaD解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖請對計算結果進行適當討論！ABCFPaDABC1aD討論:如果B支座處為剛度k的彈簧，該如何計算？ABCkFP=1ABCFPk顯然，按彈簧剛度定義，荷載下彈簧變形為

。因此，彈簧對位移的貢獻為。由此可得有彈簧支座的一般情況位移公式為例5.已知EI

為常數(shù)，求。ABCq解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖ABC圖A1圖一種算法：ABC結果正確否？?解法一、AqAABC圖qABC解法二、A1圖A例6.已知CD、BD桿的和AC桿的

為常數(shù)，求。FPABCDaaa+11aFP+FPFPa解：作荷載和單位荷載的內力圖例7.已知EI

為常數(shù)，求。解：作荷載和單位荷載的內力圖MPM分解P=111ly1y2y323=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=????è?++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2M