北師版八下第一章-三角形的證明復習

第一章三角形的證明ACB有兩邊相等的三角形叫等腰三角形.

腰腰底邊底角底角頂角等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.一、等腰三角形的概念

證明:∴∠1＝∠2D12在△ABD和△ACD中作頂角∠BAC的平分線AD.AB＝AC

（已知）

∠1＝∠2

（已證）

AD＝AD

（公共邊）

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）

∴

∠B＝

∠C

（全等三角形對應角相等）

求證：等腰三角形的兩底角相等.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABC等腰三角形的性質:ACB

性質1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫“等邊對等角”)在△ABC中∵AB=AC∴∠B＝∠C

(等邊對等角)注意：在一個三角形中,等邊對等角.ABCD12作頂角的平分線AD

△ABD≌△ACD證到了

除了得到∠B=∠C外

還可以得到：

BD=CD

即AD是BC邊上的中線

即AD是BC邊上的高

∠ADB=∠ADC=90°

等腰三角形

（1）性質：①等腰三角形的

兩底角

相等。（“等邊對等角”）②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線

互相重合

（三線合一）。

在△ABC中（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠___=∠___，____=____；（2）∵AB=AC，AD是中線，∴∠＿=∠＿，____⊥____；（3）∵AB=AC，AD是角平分線，∴____⊥____，____=____.

CAB12D等腰三角形“三線合一”的性質用符號語言表示為：12BＤCＤ12ADBCADBCBDCD1．已知等腰三角形的一個底角為80°，則這個等腰三角形的頂角為(

)A．20°B．40°

C．50°D．80°考點1等腰三角形的性質2.等腰三角形的兩條邊長分別為5cm和6cm，則它的周長是_______________．考點1等腰三角形的性質3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底邊BC＝12cm，

則△ABC的角平分線AD的長是________cm.考點1等腰三角形的性質如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，圖中一共有幾個等腰三角形？找出其中的一個等腰三角形給予證明．ABCD已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，

AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．

等腰三角形

（2）判定：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形.②有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）.

2.如圖,在△ABD中,C是BD上的一點，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求證：△ABD是等腰三角形;（2）求∠BAD的度數(shù).已知：如圖，在△ABC中,AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.21EDCBA求證：BD=CE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.43EDCBA求證：BD=CE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB，∴∠3=∠4．

在△ABD和△ACE中，∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的高．證明:等腰三角形兩腰上的高相等.求證：BD=CE．EDCBA

分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個三角形的全等．大膽嘗試，練一練！已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的中線．2.證明:等腰三角形兩腰上的中線相等.求證：BD=CE．EDCBA

分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個三角形的全等．

等邊三角形

（1）定義：

三條邊都相等

的三角形是等邊三角形。

（2）性質：①三個內角都等于60度，三條邊都相等②具有等腰三角形的一切性質。

等邊三角形

（3）判定：①三個角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形。1．邊長為6cm的等邊三角形中，其一邊上高的長度為________．考點2等邊三角形的性質2．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝________度．考點2等邊三角形的性質

直角三角形

（1）性質:直角三角形的兩銳角互余。(2)定理：直角三角形中，如果一個銳角是30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。(3)定理：在直角三角中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

直角三角形

（3）判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB邊上的中線，則CD的長是(

)A．20B．10C．5D.考點3

直角三角形2．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交AC于點D，若AD＝6，則CD＝_____．考點3直角三角形3．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是(

)A．3.5B．4.2C．5.8D．7考點3直角三角形2．下列每一組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)值分別為三角形的三邊長，不能構成直角三角形的是(

)A．3，4，5B．6，8，10C.，2，D．5，12，13考點4勾股定理及其逆定理2.一架長5米的梯子AB，斜立在一豎直的墻上，這時梯子底端距墻底3米．如果梯子的頂端沿墻下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動1米嗎？用所學知識，論證你的結論．考點4勾股定理及其逆定理

【歸納總結】

勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個

三角形是直角三角形。1、

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，若CD＝4，則點D到AB的距離是________．考點梳理

考點5角平分線的性質和判定2．如圖1－2，點D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，則線段AD是△ABC的(

)A．垂直平分線B．角平分線C．高D．中線考點梳理

考點5角平分線的性質和判定

【歸納總結】

角平分線

（1）角平分線上的點到這個叫的兩邊的距離相等。（2）在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。2、如圖，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E，∠BAE=20°，則∠C=

_________．考點6垂直平分線的性質和判定2、如圖，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D．若ED=5，則CE的長為（）A.10B.8C.5D2.5考點6垂直平分線的性質和判定

【歸納總結】

線段的垂直平分線

（1）線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等

（2）到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上1、下列命題的逆命題是真命題的是（）A．如果a＞0，b＞0,則a+b＞0B．直角都相等C．兩直線平行,同位角相等D．若a=6,則|a|=|b|考點7命題及逆命題

【歸納總結】

命題和逆命題：

命題：由條件和結論組成

逆命題：由結論和條件組成1、用反證法證明命題“三角形中必有一個內角小于或等于60°”時，首先應假設這個三角形中

___．考點7反證法

【歸納總結】

反證法：

先假設命題的結論不成立，然后推導出與已知條件相矛盾的結果1.如圖,△ABC,△CDE是等邊三角形(1)求證:AE=BD(2)若BD和AC交于點M,AE和CD交于點N,求證:CM=CN(3)連結MN,猜想MN與BE的位置關系.并加以證明考點8三角形的全等ABCDEMN2、