運動學基本計算

運動學1例1已知點的運動方程為x=2sin4tm,y=2cos4tm,z=4tm.

求點運動軌跡的曲率半徑。解：點的速度和加速度沿x,y,z軸的投影分別為點的速度和全加速度大小為點的切向加速度法向加速度曲率半徑大小為smaaaannt/32222==+=m5.2=rvan802==rrvat0==&2222/32smzyxa=++=&&&&&&222/80smzyxv=++=&&&2例題2.半徑為r的輪子沿直線軌道無滑動滾動(稱為純滾動)，設輪子轉角=t(為常值)，如圖所示。求用直角坐標和弧坐標表示的輪緣上任一點M的運動方程，并求該點的速度、切向加速度及法向加速度。CMO13解:取點M與直線軌道的接觸點O為原點。OC=MC=r=rtx=OC-O1Msin（1800-）=r(t-sint)y=O1C+O1Mcos（1800-）=r(1-cost)直角坐標法(0t2)OyxCMO14用自然坐標表示運動方程(0t2)5例題3.圖示機構中滑塊A套在搖桿O2B上,并與曲柄O1A以銷子連接.當O1A轉動時通過滑塊A帶動O2B

左右擺動.設O1A長r,以勻角速1轉動.試求該瞬時桿O2B的角速度2.2lO1O2AB162lO1O2AB1解:取套筒A為動點.建立靜系O2—xy和動系O2—x′y′xyx′y′A的絕對運動—以O1為中心

r為半徑的園運動.A的相對運動—沿x′軸的直線運動.牽連運動—動系隨O2B桿的擺動.va=ve

+vr牽連點—O2B桿上被滑塊A蓋住的A′點且隨O2B桿擺動.vavevrva

=r1

ve

=l2解得:ve

=r

1sin

(A′)7例題4.半徑為r偏心距為e的凸輪,以勻角速度繞O軸轉動,AB桿長l,A端置于凸輪上,B端用鉸鏈支承.在圖示瞬時AB桿處于水平位置.試求該瞬時AB桿角速度AB和角加速度AB

.BAreOClAB8BAreOClAB解:取AB桿的A點為動點.建立靜系O—xy和動系O—x′y′A的絕對運動—以B為中心l為半徑的園運動.A的相對運動—沿凸輪O邊緣的曲線運動.牽連運動—動系隨凸輪O且角速度為的定軸轉動.牽連點—凸輪O上被AB桿的A端蓋住的A′點且隨凸輪

O作角速度為的定軸轉動.va=ve

+vrva

=l

AB

xyx′y′vavevr(A′)ve

=rsin解得:AB

vr=r9BAreOClABaa

=ae+ar

+ak

(1)aaaenaraanarn

akaa

=aan+aaaa=l

ABar

=arn+arae

=aen+aearn=r2aen=r2sinae=0ak=2r2把(1)式向AC方向投影得:-aancos-aasin=aensin+arn

-ak

解得:10例題5.

具有園弧形滑道的曲柄滑道機構,用來使滑道

BC獲得間歇的往復運動.已知曲柄以勻角速度=10rad/s

繞O軸轉動,OA=10cm,園弧道的半徑r=7.5cm.當曲柄轉到圖示位置sin=0.6

時,求滑道BC的速度和加速度.OABCr11OABCr解:取滑塊A為動點.

建立靜系O—xy和動系C—x′y′

A的絕對運動—以O為中心OA為半徑的園運動.A的相對運動—沿弧形滑道的曲線運動.牽連運動—動系沿x軸的直線平動.va=ve

+vr

(1)xyx′y′vavevrDrsin=OAsinva

=OA

ve=vBC把(1)式向AD方向投影得:vacos[90o-(+)]=vecos(90o-)ve=vBC=1.6m/svr=2.2m/s12OABCr取滑塊A為動點.aanaeararnaa

=ae+ar

(2)aa

=aan+aaaa=0aan=OA2=10m/s2ae=aBC把(2)式向AD方向投影得:ar

=arn+araancos[180o-(+)]=aecos+arnae=aBC=-123.5m/s2D13例題6.橢圓規(guī)的構造如圖所示.滑塊A和

B分別可在相互垂直的直槽中滑動,并用長

l=20cm的連桿AB連接設已知vA

=20cm/s方向如圖示.求=30時滑塊

B和連桿中點

C的速度.ABCvA14ABCvA解:(1)取A為基點B為動點.vB=vA

+vBA

(1)把(1)式向AB方向投影得:vBsin=vAcosvB=vA

ctg=34.64cm/s把(1)式向vA方向投影得:0=vA-vBAsinvBA=40cm/s=2rad/svAvBvBA15ABCvAvAvBvBA取A為基點C為動點.vC=vA+vCA

(2)vCAvCvAvCA

=(CA)=20cm/s

對(2)式應用余弦定理得:vA

=20cm/s16ABCvA(2)直接建立點的運動方程.Oxy由vA

=20cm/s,=30

vB=l

cos=34.64cm/svA=-l

sinxA

=lcosyB

=lsin

xC

=0.5lcosyC

=0.5lsin得:vC

=20cm/s得:=2rad/s17例題7.在圖示機構中,平衡桿O1A繞O1軸轉動,并借與齒輪Ⅱ固結的連桿AB帶動曲柄OB,而曲柄OB活動地裝置在O軸上,在O軸上裝有齒輪Ⅰ齒輪Ⅱ的軸安裝在連桿AB的B端.已知r1=r2=52cm,O1A=75cm,AB=150cm,O1=6rad/s,=60桿OB水平AB鉛垂.求桿OB及齒輪Ⅰ的角速度.ⅠⅡOABO1O1r1r218ⅠⅡOABO1O1r1r2解:AB作平面運動C為瞬心.CvA

=(O1A)O1vB=(OB)OB

AB=CA

cosAB=1.5rad/sOB=3.75rad/sD取兩輪的切點D為研究對象.vD=(OD)OO=6rad/sOBO=(CA)AB=(CB)AB=(CD)AB19例題8.圖示為一平面連桿機構，等邊三角形構件ABC的邊長為a三個頂點A、

B和C分別與套筒A、桿O1B和O2C鉸接，套筒又可沿著桿OD滑動。設桿O1B長為a并以角速度轉動，求機構處于圖示位置時桿OD的角速度OD

。OABCO1O260D20OABCO1O260D解:等邊三角形構件ABC作

平面運動C1為其瞬心。C1vBvB=(O1B)=avAvAcos30=vBcos60vrveODvA

vB向AB投影2122例題9、圖示機構，套筒E可沿AB桿滑動，并與豎桿鉸接。已知BC=AD=2m，BC桿以勻角速度ω=2rad/s繞C軸轉動。試求圖示位置套筒E的速度及加速度。23解：動點：套筒E，動系：AB桿絕對運動：豎直桿件的上下平動牽連運動：AB桿的平動

相對運動：套筒E在桿上的直線運動速度合成關系圖加速度合成關系圖AB桿平動，例題10.圖示瞬時滑塊A以勻速度vA=12cm/s

沿水平直槽向左運動，并通過連桿AB帶動輪B沿園弧軌道作無滑動的滾動。已知輪B的半徑為r=2cm，園弧軌道的半徑為R=5cm滑塊A離園弧軌道中心

O的距離為l=4cm。求該瞬時連桿AB的角加速度。

sin=0.6

rROBlAvA24rROBlAvA解:輪B作平面運動C為瞬心。AB

=0vB=v