計(jì)算方法第六章

近似計(jì)算§1Newton-Cotes公式思路利用插值多項(xiàng)式

則積分易算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多項(xiàng)式，即得到Ak由決定，與無關(guān)。節(jié)點(diǎn)

f(x)插值型積分公式/*interpolatory

quadrature*/誤差第六章數(shù)值積分利用數(shù)值方法計(jì)算積分的近似值1若某個(gè)求積公式所對(duì)應(yīng)的誤差R[f]滿足：R[Pk

]=0對(duì)任意

k

n階的多項(xiàng)式成立，且R[Pn+1

]0對(duì)某個(gè)

n+1階多項(xiàng)式成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為

n

。定義例：對(duì)于[a,b]上1次插值，有f(x)abf(a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次檢查公式是否精確成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代數(shù)精度=1考察其代數(shù)精度。2例如，有積分公式:求該積分公式的代數(shù)精確度。對(duì)于任意一個(gè)一次多項(xiàng)式，求積公式都是精確成立的；至少存在一個(gè)二次多項(xiàng)式使求積公式不精確成立；故該求積公式的代數(shù)精確度為1。解：取f(x)=1，取f(x)=x，取f(x)=x2

，==3用直線代替y=f(x)精度不高，若用拋物線代替，即采用二次插值多項(xiàng)式來代替被積函數(shù)，并等分[a,b]區(qū)間，使h=x2-x1=x1-x0=(b-a)/2，其中，a=x0,b=x2，得到：考察其精度。解：逐次檢查公式是否精確成立代入P0=1：代入P1=x：代入P2=x2：===4形如的求積公式至少有n

次代數(shù)精度

該公式為插值型（即：）代入P3=x3：=代入P4=x4：代數(shù)精度=3從某種意義上說，代數(shù)精度越高，求積分公式就越精確。為了提高代數(shù)精度，可以提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)。小結(jié)：1、2、5當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)：令Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n

和i，與f(x)及區(qū)間[a,b]均無關(guān)。6n=1:梯形公式代數(shù)精度=1注：梯形公式是用直線代替y=f(x)，然后再求積分而得，并且梯形公式只對(duì)線性函數(shù)積分精確。7n=2:辛普森公式代數(shù)精度=3注：辛普森公式使用拋物線代替y=f(x)，即采用二次插值多項(xiàng)式來代替被積函數(shù)，并且辛普森公式對(duì)不高于三次的多項(xiàng)式積分是精確的。8n=3:n=4:第二辛普森公式代數(shù)精度=3科茨公式代數(shù)精度=5注：第二辛普森公式雖然比辛普森公式的計(jì)算量大，但是代數(shù)精度并沒有提高。當(dāng)n為偶數(shù)的時(shí)候，相對(duì)來說代數(shù)精度還是比較高的。9科茨系數(shù)表10誤差公式n為偶數(shù)（奇數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)）n為奇數(shù)（偶數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)）注：從誤差公式可知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求積公式有n+1次代數(shù)精度，而n為奇數(shù)時(shí)，求積公式只有n次代數(shù)精度。11例：用辛普森公式求積分，并估計(jì)誤差。解：12例：已知函數(shù)表，試用牛頓-科茨公式計(jì)算積分。x1.82.02.22.42.6f(x)3.120144.425696.042418.0301410.46675解：根據(jù)已知條件可得：代入函數(shù)表中的數(shù)據(jù)可得：13牛頓-科茨公式的討論：科茨系數(shù)僅與插值次數(shù)n及k有關(guān)，與f(x)無關(guān)。令f(x)=1，由于積分公式至少有n次代數(shù)精度，對(duì)1積分總是精確的，即因此，如果f(xk)的近似值為fk，舍入誤差不超過ε，有14當(dāng)均為正數(shù)時(shí)，即可見，積分公式是穩(wěn)定的。但當(dāng)n≥8時(shí)，中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，使無法控制在較小的范圍內(nèi)，積分公式不穩(wěn)定，因此，高次積分至多用到7次。15高次插值有Runge現(xiàn)象，故采用分段低次插值分段低次合成Newton-Cotes

復(fù)合求積公式。復(fù)合梯形公式：在每個(gè)上用梯形公式：=

Tn§2復(fù)合求積中值定理16復(fù)化Simpson公式：44444=

Sn注：為方便編程，可采用另一記法：令n’=2n為偶數(shù)，這時(shí)，有17xi

f(xi)0

1

1/8 0.9973978671/4 0.9896158373/8 0.9767267441/2 0.9588510775/8 0.9361556373/4 0.908851687/8 0.8771925741 0.841470985精確解：0.946083118若一個(gè)積分公式的誤差滿足且C0，則稱該公式是p

階收斂的。定義收斂速度與誤差估計(jì)：例：計(jì)算解：其中=3.138988494其中=3.141592502運(yùn)算量基本相同可見，當(dāng)h趨近于0的時(shí)候，Sn比Tn的收斂速度要快！19Q:給定精度，如何取n?例如：要求，如何判斷n=？?上例中若要求，則即：取n=409通常采取將區(qū)間不斷對(duì)分的方法，即取n=2k上例中2k

409k=9

時(shí)，T512=3.14159202S4=3.141592502根據(jù)定積分的幾何意義：20例：用復(fù)合梯形公式求