第三講 定點(diǎn)運(yùn)算(加減法)

第三講定點(diǎn)運(yùn)算（一）本講主要內(nèi)容移位運(yùn)算補(bǔ)碼加法補(bǔ)碼減法益處概念與檢測(cè)方法基本的二進(jìn)制加法/減法器一、移位運(yùn)算1.移位的意義15m=1500cm小數(shù)點(diǎn)右移2位機(jī)器用語15相對(duì)于小數(shù)點(diǎn)左移2位（小數(shù)點(diǎn)不動(dòng)）..左移絕對(duì)值擴(kuò)大右移絕對(duì)值縮小在計(jì)算機(jī)中，移位與加減配合，能夠?qū)崿F(xiàn)乘除運(yùn)算2.算術(shù)移位規(guī)則1右移添1左移添00反碼補(bǔ)碼原碼負(fù)數(shù)0原碼、補(bǔ)碼、反碼正數(shù)添補(bǔ)代碼碼制符號(hào)位不變例16設(shè)機(jī)器數(shù)字長(zhǎng)為8位（含１位符號(hào)位），寫出A=+26時(shí)，三種機(jī)器數(shù)左、右移一位和兩位后的表示形式及對(duì)應(yīng)的真值，并分析結(jié)果的正確性。解：A=+26則[A]原

=[A]補(bǔ)

=[A]反

=0,0011010

+

60,0000110

+130,0001101+1040,1101000

+

520,0110100

+260,0011010移位前[A]原=[A]補(bǔ)=[A]反對(duì)應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作=+11010左移一位左移兩位右移一位右移兩位例17設(shè)機(jī)器數(shù)字長(zhǎng)為8位（含１位符號(hào)位），寫出A=–26時(shí)，三種機(jī)器數(shù)左、右移一位和兩位后的表示形式及對(duì)應(yīng)的真值，并分析結(jié)果的正確性。解：A=–26

–61,0000110

–131,0001101–1041,1101000

–521,0110100

–261,0011010移位前對(duì)應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作原碼=–11010左移一位左移兩位右移一位右移兩位

–61,1111001

–131,1110010

–1041,0010111

–521,1001011–261,1100101移位前對(duì)應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作

–71,1111001

–131,1110011

–1041,0011000

–521,1001100–261,1100110移位前對(duì)應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作補(bǔ)碼反碼左移一位左移兩位右移一位右移兩位左移一位左移兩位右移一位右移兩位3.算術(shù)移位的硬件實(shí)現(xiàn)（a）真值為正（b）負(fù)數(shù)的原碼（c）負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼（d）負(fù)數(shù)的反碼00010丟

1丟

1出錯(cuò)影響精度出錯(cuò)影響精度正確影響精度正確正確4.算術(shù)移位和邏輯移位的區(qū)別算術(shù)移位有符號(hào)數(shù)的移位邏輯移位無符號(hào)數(shù)的移位邏輯左移邏輯右移低位添0，高位移丟高位添0，低位移丟例如

01010011邏輯左移10100110邏輯右移01011001算術(shù)左移算術(shù)右移0010011011011001（補(bǔ)碼）高位1移丟010100110Cy010100110010110010加法規(guī)則：先判符號(hào)位，若相同，絕對(duì)值相加，結(jié)果符號(hào)不變;若不同，則作減法，|大|-|小|，結(jié)果符號(hào)與|大|相同。減法規(guī)則：兩個(gè)原碼表示的數(shù)相減，首先將減數(shù)符號(hào)取反，然后將被減數(shù)與符號(hào)取反后的減數(shù)按原碼加法進(jìn)行運(yùn)算。二、補(bǔ)碼加/減法1.原碼加/減法運(yùn)算公式：[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)

=[x+y]補(bǔ)

證明：假設(shè)︱ｘ︱﹤1,︱ｙ︱﹤1,︱ｘ＋ｙ︱﹤1現(xiàn)分四種情況來證明(1)ｘ﹥0,ｙ﹥0,則ｘ＋ｙ﹥0[ｘ]補(bǔ)=x,[ｙ]補(bǔ)=y,[ｘ＋ｙ]補(bǔ)=x+y

所以等式成立.(2)ｘ﹥0,ｙ﹤0,則ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0[ｘ]補(bǔ)=x,[ｙ]補(bǔ)=2+y,[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)=x+2+y當(dāng)ｘ＋ｙ>0時(shí),2＋(ｘ＋ｙ)>2,進(jìn)位2必丟失,又因(ｘ＋ｙ)>0，故[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

當(dāng)ｘ＋ｙ<0時(shí),2＋(ｘ＋ｙ)<2,又因(ｘ＋ｙ)<0，故[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

所以上式成立2、補(bǔ)碼加法運(yùn)算(3)ｘ<0,ｙ>0,則ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0這種情況和第2種情況一樣,把ｘ和ｙ的位置對(duì)調(diào)即得證。(4)ｘ<0,ｙ<0,則ｘ＋ｙ<0相加兩數(shù)都是負(fù)數(shù),則其和也一定是負(fù)數(shù)?！遊ｘ]補(bǔ)＝2＋ｘ,

[ｙ]補(bǔ)＝2＋ｙ

∴[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝2＋ｘ＋2＋ｙ＝2＋(2＋ｘ＋ｙ)上式右邊分為”2”和(2＋ｘ＋ｙ)兩部分.既然(ｘ＋ｙ)是負(fù)數(shù),而其絕對(duì)值又小于1,那么(2＋ｘ＋ｙ)就一定是小于2而大于1的數(shù),進(jìn)位”2”必丟失.又因(ｘ＋ｙ)<0,所以

[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

連同符號(hào)位一起相加，符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位自然丟掉

至此證明了在模2意義下，任意兩數(shù)的補(bǔ)碼之和等于該兩數(shù)之和的補(bǔ)碼。

其結(jié)論也適用于定點(diǎn)整數(shù)。補(bǔ)碼加法的特點(diǎn)：

（1）符號(hào)位要作為數(shù)的一部分一起參加運(yùn)算；（2）在模2的意義下相加，即大于2的進(jìn)位要丟掉。結(jié)論：3、補(bǔ)碼減法運(yùn)算連同符號(hào)位一起相加，符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位自然丟掉公式：

[x-y]補(bǔ)=

[x]補(bǔ)+[-y]補(bǔ)

舉例解：[A]補(bǔ)[B]補(bǔ)[A]補(bǔ)

+[B]補(bǔ)+=0.1011=1.1011=10.0110=[A+B]補(bǔ)驗(yàn)證例18設(shè)A=0.1011，B=–

0.0101求[A+B]補(bǔ)0.1011–0.01010.0110∴A+B

=0.0110[A]補(bǔ)[B]補(bǔ)[A]補(bǔ)

+[B]補(bǔ)+=1,0111=1,1011=11,0010=[A+B]補(bǔ)驗(yàn)證–1001–1110–0101+例19設(shè)A=–9，B=–5求[A+B]補(bǔ)解：∴A+B

=–1110例20設(shè)機(jī)器數(shù)字長(zhǎng)為8位（含1位符號(hào)位）且A=15，B=24，用補(bǔ)碼求A

–B解：A=15=0001111B=24=0011000[A]補(bǔ)

+[–

B]補(bǔ)+[A]補(bǔ)=0,0001111[–

B]補(bǔ)=1,1101000=1,1110111=[A

–

B]補(bǔ)[B]補(bǔ)

=0,0011000練習(xí)1設(shè)x=y=，用補(bǔ)碼求x+y9161116x+y=–0.1100=1216–練習(xí)2設(shè)機(jī)器數(shù)字長(zhǎng)為8位（含1位符號(hào)位）且A=–97，B=+41，用補(bǔ)碼求A

–

BA

–B=+1110110=+118∴A

–B=–1001=–9錯(cuò)錯(cuò)4、溢出概念與檢測(cè)方法引入：可能產(chǎn)生溢出的情況：

兩正數(shù)加，變負(fù)數(shù)，正溢（大于機(jī)器所能表示的最大數(shù)）

兩負(fù)數(shù)加，變正數(shù)，負(fù)溢（小于機(jī)器所能表示的最小數(shù)）

溢出判斷方法(1)一位符號(hào)位判溢出參加操作的兩個(gè)數(shù)（減法時(shí)即為被減數(shù)和“求補(bǔ)”以后的減數(shù)）符號(hào)相同，其結(jié)果的符號(hào)與原操作數(shù)的符號(hào)不同，即為溢出單符號(hào)位法的硬件實(shí)現(xiàn)Cf

C0

00正確（正數(shù)）

01上溢

10下溢

11正確（負(fù)數(shù)）V=Cf⊕C0

其中Cf為符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位,C0為最高有效位產(chǎn)生V=1有溢出V=0無溢出(2)兩位符號(hào)位判溢出[x]補(bǔ)'

=

x1＞x≥0

4+x0＞x≥–1（mod4）[x]補(bǔ)'+[y]補(bǔ)'=[x+y]補(bǔ)'

（mod4）[x

–y]補(bǔ)'=[x]補(bǔ)'+[–

y]補(bǔ)'

（mod4）結(jié)果的雙符號(hào)位相同

未溢出結(jié)果的雙符號(hào)位不同

溢出最高符號(hào)位代表其真正的符號(hào)00.×××××11.×××××10.×××××01.×××××00,×××××11,×××××10,×××××01,×××××舉例例

x=+01100,y=+01000求x+y

例

x=-1100,y=-1000求x+y

從上面例中看到：當(dāng)最高有效位有進(jìn)位而符號(hào)位無進(jìn)位時(shí),產(chǎn)生上溢；當(dāng)最高有效位無進(jìn)位而符號(hào)位有進(jìn)位時(shí),產(chǎn)生下溢。

（簡(jiǎn)單地說是正數(shù)相加為負(fù)數(shù)或負(fù)數(shù)相加為正數(shù)則產(chǎn)生溢出）故溢出邏輯表達(dá)式為：V＝Cf⊕Co

其中Cf為符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位,Co為最高有效位產(chǎn)生的進(jìn)位。此邏輯表達(dá)式也可用異或門實(shí)現(xiàn)。(3)利用進(jìn)位值的判別法

[x]補(bǔ)

00.1100+[y]補(bǔ)

00.1000

01.1000

[x]補(bǔ)

11.0100+[y]補(bǔ)

11.1000

10.1100FAVz0y0x0判斷電路

(1)單符號(hào)位法判斷電路FAFAz1z0Vc1c0y1x1y0x