第七講：平面立體的投影及其截切

第五章平面立體平面立體的投影；平面立體的表面定點和取線。平面立體的截切2/1/202315.1平面立體的投影及面上取點、取線基本立體組合體底面為多邊形棱柱棱錐錐頂平行四邊形由一個底面和幾個棱面組成。由兩個底面和幾個棱面組成。2/1/20232平面立體的放置同一物體因其擺放位置的不同，可繪制出不同的投影圖。2/1/20233直棱柱的投影特性:

一個投影為多邊形，另外兩個投影輪廓線為矩形。繪制平面立體中所有輪廓線（棱線及邊）的投影,不可見的線用虛線表示。長對正寬相等高平齊VHW——物體的投影規(guī)律每一個投影圖中，均包含立體的所有幾何元素。2/1/20234棱錐的投影特性:

一個投影為多邊形，另外兩個投影輪廓線為三角形。2/1/20235點的可見性規(guī)定：若點所在的平面的投影可見，點的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。

由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取點、取線與在平面上取點、取線的方法相同。一、棱柱1、棱柱的三面投影圖的繪制2、棱柱面上取點、取線

aa

a

(b)b

b在圖示位置時，六棱柱的兩底面為水平面，在水平投影中反映實形。前后兩棱面是正平面，其余四個棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，與六邊形的邊重合。2/1/20236(

)

s

s二、棱錐1、棱錐的三面正投影圖的繪制2、在棱錐面上取點、取線

kk

k

b

a

cabc

a(c)bsn

n

n同樣采用平面上取點法。棱錐處于圖示位置時，其底面ABC是水平面，在水平投影上反映實形。側(cè)棱面SAC為側(cè)垂面，另兩個側(cè)棱面為一般位置平面。SABC2/1/202371、由點的已知投影及其可見性確定點所在位置;2、利用積聚性或平面上取點的方法求另一投影;3、根據(jù)兩已知投影求第三投影，并判斷可見性。棱柱或棱錐面上取點的步驟:2/1/20238三、棱臺特點：底面——多邊形，且對應邊互相平行；棱線——互不平行，但延長后交于一點；棱面——梯形。2/1/20239四棱臺的投影如下圖示2/1/202310基本概念截切：是指用一個或多個平面與立體相交。截平面

——用以截切立體的平面。截交線

——截平面與立體表面的交線。截（斷）面——由截交線圍成的平面圖形。5.2平面立體的截切截平面截交線截面截交線截交線的性質(zhì)：截交線是由直線組成的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與立體表面（棱面或底面）的交線，其邊數(shù)是截平面截到的表面的個數(shù)。其形狀取決于平面體的形狀及截平面對平面體的截切位置。2/1/2023111.單一平面截切平面立體,截交線在一個截平面內(nèi)；2.多個平面截切平面立體,截交線在多個截平面內(nèi)，這時相鄰截平面之間還有交線，應準確求出。一、平面截切的基本形式截交線的每條邊是截平面與立體表面的交線。求截交線的實質(zhì)是求兩平面的交線重點討論的問題：截交線的分析和投影作圖

。2/1/202312確定截交線的形狀二、平面截切體的畫圖⒈

求截交線的方法：關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。⒉求截交線的作圖步驟：☆截平面與立體的相對位置☆截平面與投影面的相對位置確定截交線的投影特性★空間及投影分析★畫出截交線的投影分別求出各棱線與截平面的交點，并連接成多邊形?；蚍謩e求出截平面與棱面的交線?！锴蟾骼饩€與截平面的交點→棱線法?！锴蟾骼饷媾c截平面的交線→棱面法。2/1/202313例1:求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。321(4)1●2●4●3●1●2●4●★空間分析交線的形狀？3●★投影分析★求截交線★分析棱線的投影★檢查尤其注意檢查截交線投影的類似性。截平面與體的幾個棱面相交？截交線水平、側(cè)面投影上的形狀？單一平面截切平面立體2/1/202314我們采用的是哪種解題方法？棱線法！例1：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。2/1/202315

注意：1、要逐個截平面分析和繪制截交線。2、當平面體只有局部被截切時，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。例2：求四棱錐被截切后的水平和側(cè)面投影。121(2)2●1●Ⅰ、Ⅱ兩點分別同時位于三個面上。三面共點：補畫棱線兩個平面截切平面立體2/1/202316例2：求四棱錐被截切后的水平和側(cè)面投影。我們采用的是哪種解題方法？棱面法！2/1/202317練習

求立體切割后的投影。23

541116654326ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4（5）2（3）兩個平面截切平面立體2/1/202318類似形類似形ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ23

541166543262（3）4（5）練習

求立體切割后的投影。2/1/202319例3:求八棱柱被平面P截切后的水平投影。Pv截交線的形狀？ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ15432876截交線的投影特性？2≡3≡6≡71≡84≡5求截交線154763281、補畫棱柱未截切時的水平投影；2、求棱線與截平面的交點；3、判斷可見性，順序連接各點。分析棱線的投影檢查截交線的投影單一平面截切平面立體加深圖線。2/1/202320例3:求八棱柱被平面P截切后的水平投影。作圖步驟:1、畫出棱柱未截切時的投影；2、求棱線與截平面的交點；3、判斷可見性,順序連接各點；4、確定截切后各棱線的長度；5、用投影的對應關(guān)系檢查截交線的投影；6、加深圖線。2/1/202321多個平面截切平面立體空間分析

1、三個平面截切棱臺，分別為水平面和兩側(cè)平面。2、多個平面截切立體時，截平面之間在立體內(nèi)部產(chǎn)生交線。作圖1、先假想水平面將棱臺完全截開，求得水平投影，再在其上確定真正截到的部分。(c")d"(b")a"2、補出側(cè)面投影，求出側(cè)面投影的截交線。3、補全并加深所有棱線。abdc例4：補全水平投影，作出側(cè)面投影。2/1/202322(c")d"(b")a"abdc多個平面截切平面立體空間分析

1、三個平面截切棱臺，分別為水平面和兩側(cè)平面。2、多個平面截切立體時，截平面之間在立體內(nèi)部產(chǎn)生交線。作圖1、先假想水平面將棱臺完全截開，求得水平投影，再在其上確定真正截到的部分。2、補出側(cè)面投影，求出側(cè)面投影的截交線。3、補全并加深所有棱線。例4：補全水平投影，作出側(cè)面投影。2/1/202323

例:求立體截割后的投影。87

111"2"10"5"96

1（3）

2（4）

10

5ⅠⅪⅡⅨⅩⅣⅢ7"11"8"

4"3"6"9"三個截平面截切平面立體

1'（2'）8'3'（4'）

10'（5'）9'

11'（6'）（7'）2/1/202324例：求立體截割后的投影。2/1/202325平面立體的投影圖畫法及面上找點、取線的方法。（畫平面立體的投影圖就是畫平面立體中所有棱線的投影,不可見的棱線用虛線表示.平面立體表面找點，利用平面上找點的方法。）棱柱的投影特性、投影圖畫法及其面上取點、取線的方法；棱錐的投影特性、投影圖畫法及其面上取點、取線的方法。本講小結(jié):重點掌握以下內(nèi)容2/1/202326注意分析平面體的棱線的投影。⑵分析截平面與被截立體對投影面的相對位置，以確定截交線的投影特性。⒉求截交線求截交線的解題方法與步驟⒈空間及投影分析⑴分析截平面與被截立體的相對位置，以

確定截交線的形狀。注意:當立體被多個截平面截切時，要逐個截平面進行截交線的分析與作圖。當只有局部被截切時，先按整體被截切求出截交線，然后再取局部。

最后分析、整理平面體的棱線的投影。截交線的有關(guān)概念、性質(zhì)等。（截交線是由直線組成的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與棱面的交線，其邊數(shù)是截平面截到的棱面的個數(shù)。）求截交線的方法：棱線法、棱面法2/1/202327例5:求立體切割后的投影。431265ⅠⅥⅤⅣⅢⅡ114565234（6）（2）（3）單一平面截切平面立體2/1/202328例5:求立體切割后的投影。4312114565234（6）（2）（3）ⅠⅥⅤⅣⅢⅡ類似形類似形652/1/202329例: