第6章 梁的變形

材料力學第6章梁的變形姓名：魯曉俊單位：武昌理工學院第6章梁的變形6.1梁的撓度和轉角6.2直梁撓曲線近似微分方程6.3用積分法求梁的變形6.4用疊加方法求梁的變形6.5梁的剛度條件6.1.1研究梁變形的目的6.1梁的撓度和轉角研究范圍：梁在平面彎曲時的位移（繞度和轉角）計算。研究目的：⑴對梁作剛度校核

⑵解超靜定梁（變形協(xié)調條件作為補充方程）

⑶為研究壓桿穩(wěn)定問題提供必要的理論基礎

撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向對稱面的平面曲線

對于細長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計,

因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交變彎后的梁軸，稱為撓曲軸研究彎曲變形的目的，進行梁的剛度計算，分析靜不定梁，為研究壓桿穩(wěn)定問題提供有關基礎6.1梁的撓度和轉角6.1.2撓度和轉角－撓度—轉角撓度與轉角的關系撓度－橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移－撓曲軸方程轉角－橫截面的角位移－轉角方程（rad）（小變形）正負號與坐標的正負號相同順為正，逆為負6.1梁的撓度和轉角（純彎）（推廣到非純彎）

y－彎矩引起的撓度

smax

<sp－撓曲軸微分方程6.2直梁撓曲線近似微分方程小變形時：－撓曲軸近似微分方程

小變形

坐標軸y向下應用條件：6.2直梁撓曲線近似微分方程根據(jù)撓曲線的近似微分方程：約束處位移應滿足的條件梁段交接處位移應滿足的條件－位移邊界條件－位移連續(xù)條件利用位移邊界條件與連續(xù)條件確定積分常數(shù)6.3用積分法求梁的變形例題6.1有一受均布荷載作用的簡支梁如圖所示，EI為常數(shù)。試求此梁的最大撓度ymax（通常用符號f表示）以及兩端截面的轉角qA和qB。解（1）列梁撓曲線近似微分方程彎矩方程：

即得梁的撓曲線近似微分方程支座反力：6.3用積分法求梁的變形（2）積分將上式連續(xù)積分兩次，可分別得到（3）確定積分常數(shù)邊界條件為：和

（1）

（2）

當x=0時，y=0；可得當x=l時，y=0。6.3用積分法求梁的變形轉角方程為撓度方程為(4)求ymax、qA、qB：即處撓度最大（3）（4）

（1）

（2）

正號表示ymax的方向與y軸正方向相同，即向下。6.3用積分法求梁的變形將x=0代入式（3），得代入式（3），得負號表示qB為反時針轉向。轉角方程為撓度方程為（3）（4）

正號表示為順時針轉向。6.3用積分法求梁的變形例題6.2承受集中荷載P的簡支梁如圖所示，EI為常數(shù)，試求此梁的撓度方程和轉角方程，并求最大撓度ymax（f）。解（1）求轉角方程和撓度方程AC段：CB段：6.3用積分法求梁的變形（2）確定積分常數(shù)利用邊界條件x1=0，y1=0；x2=l，y2=0變形連續(xù)條件6.3用積分法求梁的變形(3)求最大撓度設

;當x1=0時，；當時x1=a時，故在AC段內必存在的位置，即最大撓度f的位置。最大撓度6.3用積分法求梁的變形[討論]當集中力P的作用點越靠近B支座，即b值越小或時，在這種極端情況下，最大撓度位置x1為：中點的撓度當集中力P作用于跨度中點時，

6.3用積分法求梁的變形（2）積分常數(shù)的物理意義上式表明，對于等截面梁（其抗彎剛度EI=常量），積分常數(shù)C等于梁坐標原點處的轉角與抗彎剛度EI的乘積的負值。在x=0處

同理在x=0處積分式恒為零積分常數(shù)D等于梁在坐標原點處撓度與抗彎剛度EI乘積的負值。6.3用積分法求梁的變形由于坐標原點經(jīng)常取在梁左端，故當左端為固定端時，恒有對于兩端鉸支或只有右端外伸的外伸梁，恒有6.3用積分法求梁的變形分為n段，則有：關于對撓曲線近似微分方程積分，若彎矩方程(1)將坐標原點取在梁的左端，各段梁的彎矩方程均由截面左端梁段的外力列出；(2)M(x)方程所含因子（x-a）的各項沒有展開，而將（x-a）作自變量進行積分，則所得兩段的積分常數(shù)必然對應相等，C1=C2，

D1=D2。同理，若彎矩方程分為n段，則撓曲線方程也相應地分為n段，這時出現(xiàn)的2n個積分常數(shù)，也必然存在······這樣只需利用邊界條件確定兩個積分常數(shù)就可以了。6.3用積分法求梁的變形方法分解載荷分別計算位移求位移之和當梁上作用幾個載荷時，任一橫截面的總位移，等于各載荷單獨作用時在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和6.4用疊加方法求梁的變形理論依據(jù)上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合（小變形,比例極限內）（小變形）疊加法適用條件：小變形，比例極限內6.4用疊加方法求梁的變形分解梁分別計算各梁段的變形在需求位移處引起的位移求總位移在分析某梁段的變形在需求位移處引起的位移時，其余梁段視為剛體6.4用疊加方法求梁的變形例

1q(x)=q0cos(px/2l)，利用疊加法求yB=?解：()()6.4用疊加方法求梁的變形例題6-3試按疊加法求出圖所示梁中點C的撓度和支座處截面的轉角。

6.4用疊加方法求梁的變形例

2解：()()()6.4用疊加方法求梁的變形例

3圖示組合梁，EI=常數(shù)，求

yB

與qA()()解：6.4用疊加方法求梁的變形例

4圖示剛架，求截面

C的鉛垂位移解：6.4用疊加方法求梁的變形例題6-5圖所示一個二跨連續(xù)梁（超靜定梁）ABC，受均布荷載作用，試作它的剪力Q圖和彎矩M圖。變形協(xié)調條件為yB=0，建立補充方程6.4用疊加方法求梁的變形最大位移控制土建工程方面:機械制造工程方面，對主要的軸:6.5梁的剛度條件一、梁的剛度條件使用較小的截面面積

A，獲得較大慣性矩

I

的截面形狀。例如工字形與盒形等薄壁截面。橫截面形狀的合理選擇梁的抗彎剛度：EI其中：I—慣性矩6.5梁的剛度條件二、梁的合理剛度設計對比計算：例：令矩形截面寬b=20cm，h=34cm，求當工字形截面與矩形截面具有相同慣性矩時，兩者面積比。矩形：工字形：查型鋼表選56a熱軋工字鋼，則即：節(jié)省80%材料6.5梁的剛度條件對比計算：例：令矩形截面寬b=40mm，h=77mm，若當工字形截面與矩形截面面積相同，比較兩者的慣性矩。矩形：工字形：選18號熱軋工字鋼，則即：工字形截面I是矩形截面I的10.9倍6.5梁的剛度條件材料的合理選擇為提高梁的抗彎剛度，宜選用E較高的材料注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的

E

基本相同梁的抗彎剛度：EI其中：E—彈性模量6.5梁的剛度條件

梁跨度的合理選取跨度微小改變，將導致?lián)隙蕊@著改變例如:l

縮短

20％，ymax

將減少

48.8%6.5梁的剛度條件合理安排約束與加載方式q=F/l6.5梁的剛度條件例題6-6有一長度l=4m的懸臂梁，在自由端承受集中力P＝10kN（如圖），試按強度條件及剛度條件從型鋼表中選擇一工字形截面。已知，。解（1）按強度條件選擇截面選用20a號工字