第3章線性方程組的直接解法1

第三章線性方程組的直接解法基礎(chǔ)教學部數(shù)學教研室彭曉華立體化教學資源系列——數(shù)值分析

自然科學和工程計算中的很多問題的解決常常歸結(jié)為求解線性方程組。如三次樣條插值函數(shù)問題、用最小二乘原理確定擬合曲線、求解微分方程的數(shù)值解等，最終都要轉(zhuǎn)化為求解線性方程組。求解線性方程組可采用：

1、直接法——經(jīng)有限步算術(shù)運算可求得方程組的精確解的方法（若計算過程無舍入誤差）。已知的直接解法是克萊姆法則(Gramer)。

2、迭代法——構(gòu)造某種迭代格式，用其極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法。3.1

引言解線性方程組的直接方法：

高斯(Gauss)消元法矩陣的三角分解法矩陣的條件數(shù)與方程組的性態(tài)

設(shè)線性方程組為返回或?qū)懗删仃囆问剑夯蚝唵蔚赜洖?若aii≠0,則

xi=bi/aii

,i=1,2,…,n一、對角形方程組3.2

高斯消去法3.2.1

三角形方程組的解法二、下三角方程組（返回LU）返回式3.19三、上三角方程組（返回Gauss）返回LU返回(3.20)

通過對方程組作初等變換，把一般形式的線性方程組化為等價的易于求解的三角方程組。3.2.2消去法的基本思想高斯消去法是一種古老的求解線性方程組的方法，它就是通過一系列的初等變換（消元），把線性方程組（3.1）化為等價的上三角方程組（3.5），然后通過回代方法求出原方程組的解。★高斯消去法（GaussianElimination）求解線性方程組解：例1、3.2.3高斯消元過程（即初等行變換）記方程組（3.1）為對應(yīng)的增廣矩陣為（3.6）第一步消元：利用主元素（即為消元過程中的主對角線元素）消去下面的取消元因子消元計算得到用第行減去第一行的倍（3.7）返回三角分解1其中，第二步消元：若，用第行減去第二行的倍，得（3.8）返回三角分解2其中第步消元繼續(xù)上述消元過程，假設(shè)第1步至第得到：步計算已經(jīng)完成（3.9）若，用第行減去第行的倍，得，（3.10）其中繼續(xù)上述消元過程，最后得到上三角形式階線性方程組消元過程可描述為經(jīng)過步消元化成上三角方程組.(3.11)（3.12）（上三角形式）.三、高斯消去法的算法公式總結(jié)上述消元與回代過程，得到高斯消去法的算法公式如下，若取消元因子回代公式：若消元公式：對

（3.13）（3.14）3.2.3高斯消去法算法1、輸入數(shù)據(jù)：n,A,b2、消元過程：3.回代求解4.輸出方程組的解3.2.2高斯消去法的可行性與運算量

（1）高斯消去法的可行性根據(jù)高斯消去算法公式可知，算法得以實現(xiàn)的前提條件，即為：或這是因為：令，若，則有.（2）高斯消去法的運算量步消元中，消元因子需要作次除法運算，消元需作次乘法運算，右端項需作于是完成全部消元計算的乘法總運算量：除法總運算量：.分析高斯消去法可知，第次乘法運算?；卮^程乘除法總運算量：因此，高斯消去法解階線性方程組的乘除法總運算量為：（當對比第1章例11，用克萊姆法則解方程組的運算量約為.當時，

較大時）.3060，克萊姆法則的運算量為是在每秒作1億次乘除法運算的計算機上進行的，那么高斯消去法解20階方程組約需0.00003秒，而克萊姆法則大約需307816年才能完成.由此可知克萊姆法則完全不適合在計算機上求解高維方程組.高斯消去法的運算量為.假設(shè)計算工作例2

利用高斯消去法解方程組解

1）消元計算.2）回代求解，得.3.2.3高斯變換約化【定理2】（用高斯變換約化）設(shè)（1）如果，則可以對實施高斯消元運算化為上三角形，即存在初等下，使，其中為上三角矩陣；為非奇異矩陣，則可通過帶行交換的化為上三角形.總結(jié)高斯消元過程，可以得到下述一些結(jié)果：（2）如果高斯消去法，將三角陣證明因為令，則有（為上三角形矩陣）.因此，結(jié)論（1）與（2）得證.【定理3】

（用高斯變換約化）設(shè)如果，則可以實施高斯消元運算，，使其中為上梯形矩陣.所以結(jié)論是顯然的.即存在初等下三角陣因為由于每次消元時是按未知量的自然順序進行的，而順序消元不改變A

的主子式的值，因此高斯消元法可行的充分必要條件為A

的各階主子式不為零。實際上只要detA≠0，方程組就有解。

*高斯消去法的局限性3.3

高斯主元素消去法作分母會導致其它元素數(shù)量級的嚴重增長和舍入誤差的擴散。2.即使高斯消元法可行，如果很小，運算中用它1.在高斯消元過程中，我們假定了對角元素解：順序消元：

交換方程的順序：經(jīng)高斯消元：例2解方程組

精確解為：x1=1/3，x2=2/3。保留5位有效數(shù)字。（1）設(shè),其中為（2）消元過程中，即使，用小主元增長和舍入誤差的累積、擴大，最后使得計算結(jié)果不可靠.；對一般的系數(shù)矩陣，最，因此，在高斯消去法中應(yīng)引進選階非奇異矩陣，可以應(yīng)用高斯消元法求解.作除數(shù)會導致計算中間結(jié)果數(shù)量級嚴重（3）應(yīng)避免采用小主元好保持乘數(shù)主元技巧，以便減少計算過程中舍入誤差對求解的影響。【注】

第一步,

先在第1列選出絕對值最大的元素,交換第1行和第m行的所有元素，再做消元操作。高斯消元過程中的稱為主元素。

3.3.1列主元素消去法

如果在一列中選取按模最大的元素作為主元素，將其調(diào)換到主干方程位置（主元素位置）再做消元，則稱為列主元素消去法。第二步，設(shè)已經(jīng)完成第一步到第k-1步的按列選主元，交換兩行、消元計算，得到矩陣：（3.15）第k步計算如下：對于k=1,2,…,n-1(1)按列選主元，即確定ik使(2)若，則A為奇異矩陣或接近奇異陣，停止計算。(3)若，則交換[A,b]的第ik行與第k行元素。(4)消元計算：(5)回代計算：（3.15）（3.16）例

用列主元素消去法解方程解

回代求解，得：對于用具有舍入的3位浮點數(shù)進行運算，這是一個很好的計算結(jié)果.本方程組直接用高斯消元法得不到可靠解。行主元素消去法即是每次選主元時，僅依次按行選取絕對值最大的元素作為主元素，且僅交換兩列，再進行消元計算.步運算，得到3.3.2行主元素消去法

假設(shè)已經(jīng)完成第1步到第第步計算選主元素的范圍為選行主元素，即在第行確定使具體算法步驟類似于列主元消去法.3.3.3全主元素消去法

如果在系數(shù)矩陣中選取模最大的元素作為主元素，將其調(diào)換到主干方程位置（主元素位置）再做消元，則稱為全主元消去法。

每一步都在系數(shù)矩陣余下的部分選取模最大的元素作為主元素進行消元。完全主元素消去法的步驟：設(shè)已經(jīng)完成第1步到第步的選主元、交換行和列、消元計算，得到矩陣.第步計算選主元素的范圍為即確定使，第步計算如下：對于（1）選主元素，即確定使（2）如果，則方程組解不唯一，或者接近奇異矩陣，停止運算；，則交換第行與第行元素；如果，則交換第列與第列元素；（3）如果（4）消元計算：（5）回代求解.【注】完全主元消去法是解低階稠密矩陣方程組的有效方法，但完全主元消去法解方程組，在選主元素時要化費較多的計算機時間，行主元消去法與列主元消去法運算量大體相同，實際計算時，用列主元消去法即可滿足一定的精度要求.

對同一數(shù)值問題，用不同的計算方法，所得結(jié)果的精度大不一樣.對于一個算法來說，如果計算過程中舍入誤差能得到控制，對計算結(jié)果影響較小，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的；否則，如果計算過程中舍入誤差增長迅速，計算結(jié)果受舍入誤差影響較大，則稱此算法為數(shù)值不穩(wěn)定的.因此，我們解數(shù)值問題時，應(yīng)選擇和使用數(shù)值穩(wěn)定的算法，否則如果使用數(shù)值不穩(wěn)定的算法，就可能導致計算失敗.一、高斯消元法：將系數(shù)矩陣化為上三角矩陣，再進行回代求解；3.3.4列主元高斯-約當消元法二、高斯-約當消元法：把系數(shù)矩陣化為單位對角矩陣，直接進行求解，不必回代過程。列主元高斯—約當消去法的步驟：設(shè)已經(jīng)完成第1步到第步，得到矩陣第步計算過程如下：設(shè),返回46頁（1）按列選主元，即確定使（2）如果，則方程組解不唯一，或者接近奇異矩陣，停止運算；，則交換第行與第行元素；（3）如果（4）消元計算：時，當上述過程完成后，則有因此，計算解為當時，例4

用列主元高斯—約當消去法解方程組解

所以，方程組的解為3.4

矩陣的三角分解用矩陣相乘來解釋高斯消元過程，取n=4。記矩陣(3.6)化為矩陣(3.7)的過程，即等價于L1A=A(1),L1b=b(1),即矩陣(3.7)化為矩陣(3.8)的過程記等價于L2A(1)

=A(2),L2b(1)=b(2),即

記因此其中，單位下三角矩陣上三角矩陣

由上述對系數(shù)矩陣A左乘一系列的三角初等矩陣知，A可以分解為一個單位下三角矩陣L和一個上三角矩陣U。這個過程派生出解線性方程組的直接分解法。

一旦實現(xiàn)A=LU，則Ax=b

可以化為LUx=b。令Ux=y，則Ly=b。由Ly=b（即(3.4)）解出y；再由Ux=y（即(3.5)）解出x。如果A的各階主子式不為零，則可以實現(xiàn)：杜利特爾(Doolittle)分解：如果L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣；克勞特(Courant)分解：如果L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣。3.4.1

杜利特爾（Doolittle）分解法設(shè)A

的各階主子式不為零，A分解為A=LU，即先計算U的元素，后計算L的元素：U的第1行：L的第1列：再計算U的第2行元素；計算L的第2列元素；……計算U的第k行元素：計算L的第k列元素：

實現(xiàn)A=LU，則Ax=b可以化為LUx=b。令Ux=y，則Ly=b。由Ly=b（即(3.4)）解出yi:

再由Ux=y（即(3.5)）解出xi:

便于記憶的LU分解方法（杜利特爾）注：（1）該公式的特點：U的元素按行求,L的元素按列求;先求U的第k行,再求L的第k列,U和L一行一列交叉計算.計算量與Gauss消去法同.（2）計算方法：①舊元素減去左邊行與頂上列向量的點積②計算行不用除法③計算列要除主對角元例4用杜利特爾分解求解方程組：解設(shè)A=LU，即解下三角方程組Ly=b，即解上三角方程組Ux=y，即

先計算L的第一列，再計算U的第一行，其余類此。類似于杜利特爾分解法，得到：對k=1，2，…，n返回(6.26)3.4.2克勞特(Crout)分解法

實現(xiàn)A=LU，則Ax=b可以化為LUx=b。令Ux=y，則Ly=b。由Ly=b解出yi:

再由Ux=y解出xi:

例5用克勞特分解求解方程組：解設(shè)A=LU，即解下三角方程組Ly=b，即解(單位)上三角方程組Ux=y，即3.4.2列主元三角分解法分解法解方程組時，由第步分解計算公式可知當用當時，計算將中斷；或者當可能引起舍入誤差的累積、擴大.

很小時，但如果A非奇異，我們可通過交換A的行實現(xiàn)矩陣PA的LU分解.因此，可采用與列主元消去法類似方法，將直接三角分解法修改為列主元三角分解法（與列主元消去法在理論上是等價的），它通過交換A的行實現(xiàn)三角分解PA=LU，其中P為初等置換陣.設(shè)第1步至r-1步分解計算己完成，則有第絕對值很小的數(shù)作除數(shù)，引進中間量：步計算：為了避免用則有：（1）選列主元，即確定（2）交換兩行：當時，交換A的第r行與第行元素（相當于先交換原始矩陣A第r行與第再進行分解計算得到的結(jié)果，且）.行元素后，（3）進行第r步分解計算.即為求解方程組三角方程組.經(jīng)過帶行交換的列主元LU分解后，矩陣PA=LU，則解方程組，轉(zhuǎn)化為解兩個例6

利用列主元LU分解法解方程組解：

對系數(shù)矩陣作列主元LU分解得到PA=LU，過程如下解：

對系數(shù)矩陣作列主元LU分解得到PA=LU，其中，，解，得解，得注：

在工程技術(shù)問題中，例如用有限元方法解結(jié)構(gòu)力學中問題時，常常需要求解具有對稱正定矩陣的方程組，對于這種具有特殊性質(zhì)系數(shù)的矩陣，利用矩陣的三角分解法求解就得到解對稱正定矩陣方程組的平方根法.3.4.3Cholesky方法(平方根法)回顧：對稱正定陣A的幾個重要性質(zhì)（1）A1

亦對稱正定，且aii>0（2）A

的順序主子陣

Ak

亦對稱正定（3）A

的特征值i

>0

（4）A

的全部順序主子式

det(Ak

)>0一、平方根法（喬萊斯基方法）階方程組，是對稱正定矩陣，則有三角分解設(shè)再將分解為則.（1）對稱正定矩陣有唯一的分解證明：，，且對稱陣，則有再利用三角分解的唯一性，得因此，對稱正定矩陣有唯一的分解（2）是正定對角陣（即由于對稱正定的充要條件是對稱正定，是階可逆方陣.取就推知對角陣.的對角元素，其中則因此），其中記，是正定（3）喬萊斯基（Cholesky）分解記為，則利用Cholesky直接分解公式，推導將稱為稱為Cholesky方法或平方根法.Cholesky分解.方程組方法，出的解（4）解方程組的平方根法（Cholesky方法）利用矩陣乘法，逐步確定的第行元素.由Cholesky分解，有（3.10）由（當時，有分解公式：對于），將對稱正定矩陣作Cholesky分解后，則解方程組就轉(zhuǎn)化為解兩個三角方程組【注】

（1）平方根算法是一個數(shù)值穩(wěn)定的方法.這是因為，由分解公式（3.11）可得，于是，這說明在不選主元的平方根法中，矩陣或者說在分解過程中產(chǎn)生的元素(即消元乘數(shù))的數(shù)量級不會增長，且.元素有界，（2）平方根分解算法的計算量

次乘除法，大約為分解計算量的一半；分解法的一半.存貯量也大約為約為例7

用Cholesky方法解方程組解對系數(shù)矩陣作Cholesky分解得到解，得解得平方根法的優(yōu)點：(1)乘除法運算量比一般LU分解要小得多；不選主元的平方根法是數(shù)值穩(wěn)定的。平方根法的缺點：有n個開方運算。二、改進的平方根法為避開開方運算，也適合對稱且順序主子式全不為零的情況.改進的平方根法，該算法既適合（1）分解算法即因為對稱正定矩陣有唯一的分解我們將平方根法改進得到對稱正定，由矩陣乘法所以求的元素和的元素公式為：（2）簡化的分解算法，則得到簡化的分解算法：對于

為避免重復計算，令即：（3）改進的平方根法（方程組的分解算法）作分解后，則解方程組就轉(zhuǎn)化為解兩個三角方程組和，從而得到求解方程組的算法公式.，即再解，即將對稱正定矩陣先解例8

解方程組解由分解算法，得，解，得解，得.（1）改進的平方根分解算法的計算量約為次乘除法，但沒有開方運算.（2）平方根法或改進的平方根法是目前計算機上解對稱正定線性方程組的一個有效方法，比用消去法優(yōu)越.其計算量和存貯量都比用消去法大約節(jié)省一半左右，且數(shù)值穩(wěn)定、不需要選主元，能求得較高精度的計算解.【注】在許多實際問題中，如，常微分方程兩點邊值問題、三次樣條插值方法等，往往遇到線性方程組的求解，其中稱具有公式（3.13）形式的系數(shù)矩陣稱相應(yīng)的線性方程組為三對角方程組（TridiagonalLinearSystems).

（3.13）為三對角陣,3.4.4追趕法

解三對角方程組的追趕法定理：若A

為對角占優(yōu)的三對角陣，且滿足則方程組有唯一的LU分解。第一步

:對A作Doolittle分解追趕法公式的推導：（以四階為例）該過程稱為“追”的過程。該過程稱為“趕”的過程。一般情形的三對角方程組計算公式：計算次序為：最好牢記直接比較等式兩邊的元素，可得到計算公式：第一步:對A作Crout

分解：注:

也可通過對A作Crout

分解進行求解第二步:追—即解：第三步:趕—即解：【注】

追趕法的優(yōu)點：存貯單元少，計算量小，且舍入誤差不增長，算法數(shù)值穩(wěn)定.，如果有某或則三對角方程組可化為兩個低階方程組，例如當時，則于是，解化為解兩個方程組和.追趕法有條件例9

用追趕法解三對角方程組解系數(shù)矩陣分解得到解，得解，得

引言：為了討論線性方程組近似解的誤差估計與研究解方程組迭代法的收斂性，需要在（或）中引進向量序列（或矩陣序列）極限概念。這就需要對向量空間或矩陣空間）元素的大小引進某種度量即向量范數(shù)（或矩陣范數(shù)）概念。中向量范數(shù)是在數(shù)值分析中起著重要作用.3.5向量和矩陣的范數(shù)中向量長度概念的推廣，

3.5.1向量序列的極限維向量空間（或）中，設(shè)為向量序列，及如果個數(shù)列極限存在，且則稱收斂于，且記為.【定義1】(向量序列的極限)

在記為例10

向量空間，設(shè)向量序列則由于時，，，因此有向量序列的極限.例11設(shè)中，注意到和，所以（單位矩陣）.3.5.2向量的范數(shù)，（或?qū)崝?shù)（或復數(shù)稱為向量與的內(nèi)積（或數(shù)量積）.稱為向量的長度，即向量將向量長度概念推廣，得到向量范數(shù)定義.【定義2】（向量的內(nèi)積）設(shè)）.非負實數(shù)的歐氏范數(shù).這里稱為的共軛轉(zhuǎn)置矩陣）【定義3】（向量的范數(shù)）（或），都有一個與之對應(yīng)且滿足：，當且僅當（2）齊次性：，（或（3）三角不等式：，對任意向量（或）.為（或）上的一個向量范數(shù).如果對于任意的向量實值函數(shù)（1）非負性：）；則稱下面是一些常用的向量范數(shù).（2）向量的2-范數(shù)：（3）向量的-范數(shù)（最大范數(shù)）：（4）向量的-范數(shù)：.（1）向量的1-范數(shù)：例12驗證符合向量范數(shù)定義.，而，即，也即2）齊次性：對于，，總有3）三角不等式：因此，由范數(shù)定義，是中的向量范數(shù).解

1）非負性：由定義3，顯然由已知范數(shù)可以構(gòu)造新的范數(shù).是的一種范數(shù)，是階非奇異矩陣，則仍是的一種范數(shù).1）非負性：對非零向量，則，從而2）齊次性：，3）三角不等式：當時，因此，是上的范數(shù).例13設(shè)定義證明驗證符合范數(shù)定義.一個向量的不同范數(shù)一般是不相等的.時，則有這就給我們提出問題：范數(shù)是用來度量逼近程度的尺度，而范數(shù)的計算又不唯一，那么哪一種范數(shù)才能反映出真正的逼近性態(tài)呢？反映不同范數(shù)之間的聯(lián)系定理如下.例如，【定理4】（范數(shù)的連續(xù)性）設(shè)是中向量

的范數(shù)，則它是的元連續(xù)函數(shù).上定義的任何兩種范數(shù)與是等價的，即存在正數(shù)使對一切，成立不等式【定理5】（范數(shù)的等價性）

（3.17）

范數(shù)的等價關(guān)系（3.17）說明了：任何兩種范數(shù)作為逼近度量的尺度，逼近性態(tài)是一樣的.即，如果（或），則（或可以證得，常用的向量范數(shù)等價關(guān)系如下：.）.3.5.3矩陣的范數(shù)是階方陣全體的

，的某個非負的實值函數(shù)滿足：（1）非負性：，而（2）齊次性：（或（3）三角不等式：，對任意的（4）相容性：，對任意的則稱是上的一個矩陣范數(shù).【定義4】

（矩陣范數(shù)）集合，如果）；Frobenius范數(shù)：如果把中的方陣理解為維向量，則由向量2-范數(shù)的定義，可以得到中

（3.18）的Frobenius范數(shù)（簡稱范數(shù)）.范數(shù)顯然滿足矩陣范數(shù)定義.矩陣的一種范數(shù)稱為

由于在大多數(shù)與估計有關(guān)的問題中，矩陣和向量會同時參與討論，所以希望引進一種矩陣的算子范數(shù)，它是和向量范數(shù)相聯(lián)系而且和向量范數(shù)相容的，即對任何向量及，總有下面構(gòu)造矩陣的算子范數(shù).利用公式（3.19）可得令，則是單位向量，在閉球：內(nèi)（定理4），因此，它能達到最大值，即.（3.19）是變量的連續(xù)函數(shù)【定義5】(矩陣的算子范數(shù))是上的任一向量范數(shù)，則為可以驗證公式（3.20）符合矩陣范數(shù)的定義.（3.20）上的一個矩陣范數(shù)，稱為矩陣的算子范數(shù).常用的算子范數(shù)是從屬于向量范數(shù)的算子范數(shù)：（1）列范數(shù)：（2）2-范數(shù)：其中是方陣的最大特征值；（3）行范數(shù)：.證明（1）設(shè)，則（1）列范數(shù)：設(shè)時，則?。ǖ趥€分量為1）時，（2）2-范數(shù)：其中是方陣的最大特征值；證明：因為，但是而顯然是對稱、正定的.設(shè)為的特征值，而為對應(yīng)的標準正交向量組.為單位向量，則有（3.22）且由于當時，所以例14

設(shè)，求范數(shù)解

由于所以因此3.6矩陣的條件數(shù)與直接法的誤差分析階線性方程組，其中為非奇異矩陣.（或在第一種情況下（或）常帶有某些觀測誤差，在后（或）又包含有舍入誤差.因此我們處理的（或），下面我們來研究數(shù)據(jù)（或）的微小誤差對解的影響.首先考慮一個例子.解線性方程組的直接法產(chǎn)生誤差的主要原因：1）不同的算法及舍入誤差的影響；2）方程組本身固有的問題（病態(tài)或良態(tài)）.前面我們分析了方程組直接法的不同算法，本節(jié)我們將分析方程組的狀態(tài)并估計算法的誤差，即原始數(shù)據(jù)擾動對解的影響.考慮由于）的數(shù)值是測量得到的，或者是計算的結(jié)果，一種情況實際矩陣是例15

設(shè)方程組，即它的精確解為現(xiàn)在考慮系數(shù)矩陣和右端項的微小變化對方程組解的影響，即考察方程組其解變?yōu)閿_動后方程組的解面目全非了，真所謂“差之毫厘，失之千里”，這種現(xiàn)象的出現(xiàn)是完全由方程組的性態(tài)決定的.【定義6】如果矩陣或常數(shù)項的微小變化，解的巨大變化，則稱此方程組稱為病態(tài)矩陣（相對于我們需要一種能刻劃矩陣和方程組“病態(tài)”程度的標準.引起方程組為病態(tài)方程組，矩陣稱為良態(tài)矩陣.方程組而言），否則稱方程組為良態(tài)方程組，矩陣3.6.1線性方程組的誤差分析其中，，且非奇異.為精確解，為解的誤差，記.設(shè)線性方程組為（3.24）設(shè)為的誤差，為的誤差.下面分別討論與，一、b有誤差而A無誤差情形將帶有誤差的右端項和帶誤差的解向量代入方程組，則由于，而得到，從而另一方面，由(3.24)式取范數(shù)，有，即因此可得解的相對誤差估計式（3.25）.的關(guān)系.【定理6】設(shè)是非奇異矩陣，，且，則有誤差估計式,其中稱為方陣A的條件數(shù).【注】

（1）解的相對誤差是右端項（2）如果條件數(shù)越大，則解的相對誤差就可能越大；（3）條件數(shù)成了刻劃矩陣的病態(tài)程度和方程組解對或（3.25）擾動的敏感程度.的相對誤差的cond(A)倍；【定義7】稱條件數(shù)很大的矩陣為“病態(tài)”矩陣；稱病態(tài)矩陣對應(yīng)的方程組為病態(tài)方程組.反之，則稱矩陣為良態(tài)矩陣，對應(yīng)的方程組為良態(tài)方程組.二、A及b都有誤差的情形，為非奇異矩陣，及都有誤差，若的誤差非常小，使，則.(3.26)【定理7】設(shè)方程組有誤差估計式證明

帶有誤差的方程組為由于，代入上式整理得將上式兩端取范數(shù)，利用向量范數(shù)的三角不等式及矩陣和向量范數(shù)的相容條件，則有整理可得.若足夠小，使得，則從而由，有【注】

僅或有誤差是(3.26)式中或的特例.例16

已知方程組中若解

由于由式，比右端項的相對誤差擴大了2015倍.時，估計解的相對誤差.（3.25）有誤差估計例17

設(shè)在例15方程組中，有擾動=(0，0.00001)T

，，并說明對解向量的影響.求得，則，這說明右端項向量其分量的萬分之一的變化，可能引起有600%的變化，如果我們事先不作分析，其解是嚴重病態(tài)矩陣，相應(yīng)的方程組試計算解由解向量就難以置信了.因此，是病態(tài)方程組.3.6.2矩陣的條件數(shù)及其性質(zhì)，，分別稱為矩陣的-條件數(shù)、1-條件數(shù)和常用的條件數(shù)有2-條件數(shù).條件數(shù)的性質(zhì)時，（2）當對稱正定時，，其中，和分別是矩陣的按模最大和按模最小存在，則有（4）若為正交矩陣，即，則，.（1）當；的特征值.（3）若；

判別一個矩陣是否病態(tài)是件極其重要的事情.MATLAB提供了cond(X,p)函數(shù)求矩陣X的p條件數(shù)，例如，cond(X,1)：X的1條件數(shù)；cond(X,2)：X的2條件數(shù)；

cond(X,inf)：X的cond(X,'fro')：X的Frobenius條件數(shù).p缺省情況表示2條件數(shù)，即cond(X)=cond(X,2).條件數(shù)；例18

下列希爾伯特（Hilbert）矩陣是一族著名的病態(tài)矩陣.用MATLAB函數(shù)計算條件數(shù)forn=3:8cond(hilb(n))end得到3至8階希爾伯特矩陣的條件數(shù)分別為：524.05681.5514e+0044.7661e+0051.4951e+0074.7537e+0081.5258e+010由此可見，隨著的增加，的病態(tài)可能越嚴重.常出現(xiàn)在數(shù)據(jù)擬合和函數(shù)逼近中..輸入例19

用MATLAB求解線性方程組，其中，顯然，這個方程組的精確解為下面用MATLAB求解，討論（1）當n=5;H=hilb(n);b=H*ones(n,1);x=H\b;x'得到x=1.00001.0000

1.0000

1.0000

1.0000其解沒有什么問題.n=10;H=hilb(n);b=H*ones(n,1);x=H\b;x'得到x=1.00001.0000

1.0000

1.00000.99991.00020.99961.00040.99981.0000其解有誤差，但誤差不大，可以接受.為不同值的情況.時，輸入（2）當時，輸入（3）當n=20;H=hilb(n);b=H*ones(n,1);x=H\b;x'得到x=1.00001.00000.99971.00390.97941.01261.3920-1.14436.6138-7.869011.9311-15.235526.1941-24.907216.5064-10.456419.5516-18.490210.8570-0.9390此時方程組的解已經(jīng)面目全非了，基本上看不出解的各個分量為1.時，輸入5102060cond(hilb(n))4.7661×1051.6025×10131.9084×10182.3191×10192.6733×10-126.1431×10-4106.15916.3902×103方程組的解與精確值之間的誤差如表3-1所示.表3-1列出的誤差大得超過我們的想像.原因在于Hilbert計算的舍入誤差很小，但由于巨大的條件數(shù)，還會產(chǎn)生很大的計算誤差.對于病態(tài)方程組，通常的方法無法得到它的準確解，需要采用一些特殊的處理方法.系數(shù)矩陣當時，條件數(shù)已達到1018，盡管計算機表3-1Hilbert系數(shù)矩陣方程組的解的誤差3.6.3病態(tài)方程組的處理

對于病態(tài)方程組，可采用高精度的算術(shù)運算，如雙精度或擴充精度，以改善或減輕方程組的病態(tài)程度.如果用無限精度運算即不存在舍入誤差的話，即使條件數(shù)很大，也沒有病態(tài)可言.我們也可對病態(tài)方程組作預(yù)處理，使改善方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù).例20

設(shè)方程組，即試驗證其為病態(tài)方程組，且對其作預(yù)處理，使解（1）用MATLAB函數(shù)計算系數(shù)矩陣的條件數(shù)，得，顯然方程組為病態(tài)方程組.，使，其中則有:顯然，經(jīng)過預(yù)處理后的方程組是良態(tài)的.（2）令奇異值分解（Singular-ValueDecomposition）簡稱SVD，對于階矩陣，必存在正交矩陣，和對角陣，使得有奇異值分解有關(guān)奇異值分解的理論知識省略.在MATLAB中，函數(shù)svd()表示矩陣的奇異值分解，其命令格式為[U,S,V]=svd(A)