第3章LTI系統(tǒng)的頻域分析

3.1緒論

3.2信號(hào)的頻譜3.3傅立葉變換的性質(zhì)3.4周期信號(hào)的傅里葉變換3.5LTI系統(tǒng)的頻域分析第三章LTI系統(tǒng)的頻域分析1教學(xué)目標(biāo)與要求掌握兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)的展開式。掌握周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)。熟練掌握非周期信號(hào)的傅里葉變換的定義及其典型信號(hào)的傅里葉變換。熟練掌握傅里葉變換的主要性質(zhì)。掌握周期信號(hào)傅里葉變換的求法及其傅里葉系數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系。熟練掌握連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析方法。了解理想低通濾波器及其傳輸特性和信號(hào)傳輸?shù)牟皇д鏃l件。23.1緒論3.1.1引言3.1.2傅里葉級(jí)數(shù)To:總目錄3

本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域分析。

3.1.1引言4從數(shù)學(xué)上來講，并不是任何周期信號(hào)都可以展開成傅立葉級(jí)數(shù)的。以

T為周期的周期信號(hào)

f(t)

，在展成傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，必須滿足下列三個(gè)條件：(1)函數(shù)f(t)在一個(gè)周期內(nèi)必須絕對(duì)可積，即(2)在一個(gè)周期內(nèi)f(t)只有有限個(gè)極大值和極小值。(3)在一個(gè)周期內(nèi)f(t)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，而且在不連續(xù)點(diǎn)處，f(t)值是有限的。上述三個(gè)條件稱為狄利克雷條件。5在滿足狄氏條件時(shí)，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)級(jí)數(shù)形式3.1.2傅里葉級(jí)數(shù)6例：將圖示的對(duì)稱方波信號(hào)展成三角形式傅立葉級(jí)數(shù)解：直接代入公式有7所以有8（2）其他形式余弦形式9關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖?？僧嫵鲱l譜圖。周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性。（4）幅度頻率特性和相位頻率特性102.指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)113.兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖12相頻特性幅頻特性幅頻特性和相頻特性13(2)兩種頻譜圖的關(guān)系單邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系●●●144.函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)15（1）偶函數(shù)信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的16（2）奇函數(shù)17（3）奇諧函數(shù)f(t)的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化：18f(t)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量（4）偶諧函數(shù)193.2.1周期信號(hào)的頻譜3.2.2非周期信號(hào)的頻譜——傅里葉變換3.2.3隨機(jī)信號(hào)分析3.2信號(hào)的頻譜To:總目錄203.2.1周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)可以分解為一系列三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)之和，即：21周期信號(hào)的頻譜雙邊幅度譜22周期信號(hào)的頻譜雙邊相位譜23周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜特點(diǎn)（1）離散性（2）諧波性（3）收斂性24舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）25,n=0,±1，±2，…Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T=4τ畫圖。零點(diǎn)為所以，m為整數(shù)。特點(diǎn)：(1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。263.2.2非周期信號(hào)的頻譜——傅里葉變換

3.2.2.1傅里葉變換

3.2.2.2典型非周期信號(hào)的頻譜函數(shù)To:總目錄27傅里葉變換式傅里葉反變換式

F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)一、傅里葉變換28二、常用函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–tε(t)，

>02.雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–t,

>0293.門函數(shù)(矩形脈沖)4.沖激函數(shù)(t)306.符號(hào)函數(shù)7.階躍函數(shù)(t)5.常數(shù)131歸納記憶：1.F變換對(duì)2.常用函數(shù)F變換對(duì)：δ(t)ε(t)e-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–|t|ε(t)112πδ(ω)323.3

傅里葉變換的性質(zhì)一、線性thenIf二、對(duì)稱性Iff(t)←→F(jω)thenF(jt

)←→2πf(–ω)33四、尺度變換性質(zhì)f(t)←→F(jω)

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)f(at–b)←→三、時(shí)移性質(zhì)

f(t)←→F(jω)34ForexampleF(jω)=?

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=‖+Ans:f

(t)=f1(t)+f2(t)35五、頻移性質(zhì)(FrequencyShiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:F[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]endForexample1f(t)=ej3t←→F(jω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)36Forexample2f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?Ans:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]Forexample3Giventhatf(t)←→F(jω)Themodulatedsignalf(t)cosω0t←→?

37六、卷積定理(ConvolutionProperty)1、Convolutionintimedomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)2、Convolutioninfrequencydomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)38Proof:UsingtimeshiftingSothat,39七、時(shí)域的微分和積分Iff(t)←→F(jω)thenf(t)=1/t2←→?40八、頻域的微分和積分Iff(t)←→F(jω)then(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)ForexampleDeterminef(t)=tε(t)←→F

(jω)=?412.無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)（1）無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的定義所謂信號(hào)無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒有波形上的變化。設(shè)輸入信號(hào)為f(t),那么經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅漭敵鲂盘?hào)應(yīng)為即輸出信號(hào)y(t)的幅度比輸入信號(hào)大K倍，而且比輸入信號(hào)延時(shí)了td秒。

42（2）無失真?zhèn)鬏數(shù)南到y(tǒng)的時(shí)域和頻域特性

時(shí)域特性43

其幅頻特性和相頻性分別為頻域特性

為使信號(hào)無失真?zhèn)鬏?，要求：在全部的頻帶內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻特性應(yīng)為一常數(shù)，而相頻特性應(yīng)為通過原點(diǎn)的直線。