自動(dòng)控制-離散系統(tǒng)

第八章線性離散控制系統(tǒng)的分析與綜合8.1離散控制系統(tǒng)概述8.2連續(xù)信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn)8.3Z變換及Z反變換8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析8.7離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析8.8數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計(jì)8.9數(shù)字控制器離散化設(shè)計(jì)8.1離散控制系統(tǒng)概述一、離散控制系統(tǒng)特點(diǎn)：從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上看，含有采樣開關(guān)；從信號(hào)傳遞上看，系統(tǒng)中某一處或數(shù)處信號(hào)是脈沖序列或數(shù)字序列傳遞。二、離散控制系統(tǒng)的二種典型結(jié)構(gòu)1、采樣控制系統(tǒng)

e﹡(t)是e(t)連續(xù)誤差信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣開關(guān)后，獲得的一系列離散的誤差信號(hào)。e*(t)作為脈沖控制器的輸入,經(jīng)控制器對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，在經(jīng)過(guò)保持器（或?yàn)V波器）恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)，對(duì)受控對(duì)象實(shí)施控制。

采樣系統(tǒng)中既有離散信號(hào)，又有連續(xù)信號(hào)。采樣開關(guān)接通時(shí)刻，系統(tǒng)處于閉環(huán)工作狀態(tài)。而在采樣開關(guān)斷開時(shí)刻，系統(tǒng)處于開環(huán)工作狀態(tài)。2、數(shù)字控制系統(tǒng)

計(jì)算機(jī)作為系統(tǒng)的控制器，其輸入和輸出只能是二進(jìn)制編碼的數(shù)字信號(hào)，即在時(shí)間上和幅值上都是離散信號(hào)，而系統(tǒng)中被控對(duì)象和測(cè)量元件的輸入和輸出是連續(xù)信號(hào)，故需要A/D,D/A實(shí)現(xiàn)兩種信號(hào)的轉(zhuǎn)換。三、離散控制系統(tǒng)的分析方法

建立在Z變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，采用脈沖傳遞函數(shù)，并利用類似連續(xù)控制系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行分析、研究。8.2連續(xù)信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn)一、連續(xù)信號(hào)的采樣、數(shù)學(xué)描述

1、采樣過(guò)程：把一連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成一串脈沖序列或數(shù)碼信號(hào)的過(guò)程，稱為

采樣過(guò)程。例如下圖中，采樣器可用一個(gè)周期性閉合的采樣開關(guān)表示，設(shè)采樣開關(guān)每隔Ts秒閉合一次（接通一次）。f(t)為輸入連續(xù)信號(hào)，則經(jīng)采樣開關(guān)后，f*(t)為定寬度等于τ的調(diào)幅脈沖序列，在采樣瞬時(shí)nTs(n=0.1.2.3…）時(shí)出現(xiàn)。由于采樣開關(guān)閉合時(shí)間τ很小，τ<<Ts，分析可認(rèn)為τ=0。采樣器的輸出f*(t)信號(hào)，等于輸入于采樣器的連續(xù)信號(hào)在采樣時(shí)刻的數(shù)值。2、數(shù)學(xué)描述為了對(duì)采樣過(guò)程和采樣信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，往往把它看成是一個(gè)幅值調(diào)制的過(guò)程，如下圖所示。

幅值調(diào)制的過(guò)程，數(shù)學(xué)上表示為兩個(gè)信號(hào)函數(shù)相乘，即f*(t)可以認(rèn)為是輸入連續(xù)信號(hào)f(t)調(diào)制在理想脈沖δT（t）上的結(jié)果。

設(shè)理想脈沖序列

則采樣脈沖序列的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

f*(t)=f(t)δT（t）=二、信號(hào)的復(fù)現(xiàn)及裝置

使采樣信號(hào)f*(t)大體上恢復(fù)連續(xù)信號(hào)f(t)的變化規(guī)律，稱信號(hào)的復(fù)現(xiàn)。怎樣才能使采樣信號(hào)f*(t)大體上反映連續(xù)信號(hào)f(t)的變化規(guī)律呢？從連續(xù)信號(hào)和其采樣后的離散信號(hào)的頻譜特性進(jìn)行分析：采樣信號(hào)的頻譜理想單位脈沖系列是一個(gè)周期函數(shù)，展成傅氏級(jí)數(shù)形式：

(1)、對(duì)于一個(gè)有限頻譜的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，當(dāng)采樣頻率時(shí)，采樣信號(hào)才可能無(wú)失真的復(fù)現(xiàn)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。(香農(nóng)采樣定理)(2)、系統(tǒng)后半部分，有一低通濾波器。

觀察上圖，信號(hào)的復(fù)現(xiàn)需滿足兩個(gè)條件：零階保持器工程上最簡(jiǎn)單、最常用的低通濾波器是零階保持器。零階保持器10Tsδ(t)

g(t)8.3Z變換及反變換

一、Z變換

在數(shù)學(xué)上表示：對(duì)上式兩邊取拉氏變換可看出，是以復(fù)變量s表示的函數(shù)。引入一新變量z

----定義在Z平面上的一個(gè)復(fù)變量，稱為Z變換子；

----采樣周期；

S---拉氏變換算子。Z變換的定義

8.2節(jié)指出，一個(gè)連續(xù)函數(shù)經(jīng)采樣后，其采樣函數(shù)式中：

上式收斂時(shí)，被定義為采樣函數(shù)的Z變換。即注意：

1、是的Z變換式；2、只表征連續(xù)函數(shù)出現(xiàn)在采樣時(shí)刻之間的信號(hào)特性不能反映.在采樣時(shí)刻上的特性.(2)Z變換方法

Z變換方法多種，主要的有

1)級(jí)數(shù)求和法。以例說(shuō)明例求單位價(jià)躍函數(shù)1（t）的Z變換.解：因?yàn)榛蛘?，由兩邊同乘以z-1得：

兩式相減得：

例8-2

求2)部分分式法方法是，先求出連續(xù)函數(shù)的拉氏變換式，并部分分式展開。

例8-3巳知原函數(shù)的拉氏變換式為求其Z變換。解：對(duì)拉氏變換式用部分分式展開逐項(xiàng)進(jìn)行Z變換(查Z變換表)有(3)Z變換的主要性質(zhì)

1)線性性質(zhì)2)延遲定理

說(shuō)明：原函數(shù)在時(shí)域中延遲幾個(gè)采樣周期，相當(dāng)于在象函數(shù)上乘以,算子的含義可表示時(shí)域中時(shí)滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲n個(gè)周期。3)超前定理若則4）復(fù)數(shù)位移定理5）終值定理若在平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓上和圓外沒有極點(diǎn)或（z-1）,F(z)全部極點(diǎn)位于Z平面單位圓內(nèi)。則例8-6設(shè)的Z變換函數(shù)為求的終值。解：用終值定理結(jié)果是錯(cuò)的。？6)初值定理7)二、Z反變換

Z反變換是已知Z變換表達(dá)式F（Z），求離散序列f（nTs）或的過(guò)程。Z反變換的方法也有多種，主要方法有1.部分分式法（因式分解法，查表法）步驟：①先將變換式寫成，并展開成部分分式，

②兩端乘以Z。F（Z）=

③查Z變化表。=例8-8巳知，求其原函數(shù)。解寫成兩邊同乘z查z變換表

2、冪級(jí)數(shù)法（長(zhǎng)除法）

將表達(dá)式直接用長(zhǎng)除法，求按降冪排列的展開式，便可直接寫出脈沖序列的表達(dá)式。例己知求其反z變換。解可先改寫z表達(dá)式用長(zhǎng)除法，分子、分母相除有依z變換的定義，有

注：在實(shí)際應(yīng)用中，常常只需要計(jì)算有限的幾項(xiàng).

是開放形式。

8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、脈沖傳遞函數(shù)的概念定義：線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出信號(hào)的Z變換與輸入信號(hào)的Z變換之比。用式子表示為二、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求法

系統(tǒng)由串聯(lián)環(huán)節(jié)組成時(shí)，脈沖傳遞函數(shù)與采樣開關(guān)的位置和數(shù)目有關(guān)。

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)(圖a)G(Z)=G1(Z)G2(Z)2.串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)采樣開關(guān)(圖b)G(Z)=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)結(jié)論:有采樣開關(guān)斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的積；無(wú)采樣開關(guān)斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)其脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)之后的Z變換。本結(jié)論可推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)。

例：設(shè)G1(s)=1/s，G2(s)=5/(s+5),分別求上述兩種連接時(shí)的脈沖傳遞數(shù)。解：(1)二環(huán)節(jié)間有采樣器

G(Z)=G1(Z)G2(Z)=Z[1/s]Z[1/(s+1)]=(2)二環(huán)節(jié)間無(wú)采樣器(3)串聯(lián)有零階保持器P198例8-10求圖8-13系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)三、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

由于采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中可以有多種配置的可能性，故閉環(huán)離散系統(tǒng)沒有唯一的結(jié)構(gòu)形式，通常須采用列出方程式，再消去中間信號(hào)變量求出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。

例求下圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖轉(zhuǎn)遞函數(shù)解由圖取Z變換有又由圖有由以上三式，消去中間變量可得該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：

b(t)注：1、典型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或輸出表達(dá)式見表8.1;2、元部件相同但采樣開關(guān)的位置或個(gè)數(shù)不同，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不同；

3、有些結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)只有輸出表達(dá)式但求不出閉環(huán)傳遞函數(shù)。8.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、S平面與Z平面的對(duì)應(yīng)(映射)關(guān)系S平面Z平面左半平面單位園內(nèi)虛軸單位園上右半平面單位園外注：S平面上的左半平面，相當(dāng)于Z平面上的單位園內(nèi)；S平面的虛軸，相當(dāng)于Z平面上的單位園上；S平面上的右半平面，相當(dāng)于Z平面上的單位園外。由下列關(guān)系式得出上述結(jié)果

二、離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件

離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件是:系統(tǒng)的特征方程的根全部位于Z平面以原點(diǎn)為園心的單位園內(nèi)。例8-11某離散控制系統(tǒng)如右圖所示，采樣周期為1s，系統(tǒng)能否穩(wěn)定工作？解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為特征方程=0特征方程根(e-1=0.368)由于，在Z平面的單位園外，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定。三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)勞斯判據(jù)。具體方法、步驟：

1、求出特征方程式，

2、Z–W變換：令特征方程式中的，得到

3、用第三章勞斯判據(jù)的方法判穩(wěn)。例8-12(p202)設(shè)某離散控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析離散系統(tǒng)中誤差信號(hào)是指采樣時(shí)刻的誤差，其穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定后誤差脈沖序列。由于離散系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)圖形式，故不能給出一般的誤差脈沖傳遞函數(shù)的計(jì)算公式,其穩(wěn)態(tài)誤差需要針對(duì)不同形式的離散系統(tǒng)來(lái)求取。離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析、計(jì)算與連續(xù)系統(tǒng)的相類似，計(jì)算方法主要兩種。1）用終值定理計(jì)算2）誤差系數(shù)法一、用Z變換的終值定理計(jì)算

若系統(tǒng)穩(wěn)定,即全部極點(diǎn)位于z平面單位圖內(nèi),則可用z變換終值定理求出采樣瞬時(shí)終值誤差。方法、步驟如下：1、求出誤差傳遞函數(shù)

2、求出誤差Z變換式3、終值定理計(jì)算

二、誤差系數(shù)方法

設(shè)單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為其中含有的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)N，表征系統(tǒng)的無(wú)差度。N=00型系統(tǒng)；N=1一型系統(tǒng)；N=2二型系統(tǒng)

稱為位置誤差系數(shù)。且有（1）階躍輸入時(shí)

由終值定理有N=0,

N=0,

N=0,

N=0,

N=0N>1(2)斜坡輸入

，速度誤差系數(shù)當(dāng)N=0時(shí)，當(dāng)N=1時(shí)，有限值，當(dāng)N=2時(shí)，(3)加速度輸入有，稱為加速度誤差系數(shù)。N=0、1時(shí)，N=2時(shí)，

r(t)y(t)例8-13求下列系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)穩(wěn)定誤差系數(shù)8.7離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析

一、閉環(huán)極點(diǎn)（根的位置）與時(shí)間響應(yīng)的關(guān)系

在連續(xù)系統(tǒng)里，如已知系統(tǒng)的極點(diǎn)位置，可估計(jì)出它的對(duì)應(yīng)瞬態(tài)形狀。離散系統(tǒng)中，若己知閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在z平面上單位圓內(nèi)的分布與系統(tǒng)響應(yīng)之間關(guān)系，這對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)、分析會(huì)有重要意義。分析：設(shè)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為)r(t當(dāng))=1(t),離散系統(tǒng)輸出的z變換C(z)=Φ(z)R(z)=

展成部分分式為了方便討論，假設(shè)無(wú)重極點(diǎn)

A=式中反Z變換根據(jù)Pj在單位圓的位置，可以確定C*(t)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式(1)單極點(diǎn)位于Z平面實(shí)軸上①Pj>1閉環(huán)極點(diǎn)位于Z平面單位圓外的正實(shí)軸上，脈沖響應(yīng)單調(diào)發(fā)散②Pj=1單位圓上，動(dòng)態(tài)響應(yīng)為等幅（常值）脈沖序列。③0<Pj<1單位圓正實(shí)軸單調(diào)遞減。④-1<Pj<0

單位圓內(nèi)負(fù)實(shí)軸，正負(fù)交替遞減脈沖序列，⑤Pj=-1正負(fù)交替的等幅脈沖序列⑥Pj<

-1正負(fù)交替發(fā)散脈沖序列用圖表示(2)極點(diǎn)（共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）位于Z平面復(fù)平面上①|(zhì)Pj|>1,振蕩發(fā)散序列。|Pj|越大，發(fā)散越快；

②|Pj|=1，等幅振蕩脈沖序列；

③|Pj|<1，收斂振蕩，|Pj|越小，收斂越快。二、離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能估算離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能計(jì)算復(fù)雜。P203頁(yè)提供式(8-39)、(8-39)作為離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能估算公式。

閉環(huán)極點(diǎn)最好是分布在單位園內(nèi)右半部上并靠近原點(diǎn)的地方。8.8數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計(jì)

一、設(shè)計(jì)原理先把數(shù)字調(diào)節(jié)器的脈沖傳遞函數(shù)看成為模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)，把離散系統(tǒng)視為一連續(xù)系統(tǒng)，再按連續(xù)系統(tǒng)的校正方法求出校正網(wǎng)絡(luò)，最后對(duì)求出的模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)進(jìn)行數(shù)字化。二、模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)進(jìn)行數(shù)字化常用方法：

1、直接差分法

2、雙線性變換法三、數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計(jì)方法的步驟：

1、求出帶零階保持器的被控對(duì)象傳遞函數(shù)；

2、根據(jù)性能要求，用第六章開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的博德圖法，求出校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)；

3、選擇采樣頻率；

4、校正網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的離散化處理；

5、求出差分方程，計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)。四、例題(P212；例題8-17)

某計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)如圖所示。設(shè)計(jì)數(shù)字控制器，使系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率大于或等于15，相位裕度大于或等于45度，開環(huán)增益(控制精度)大于或等于30。解

(1)設(shè)計(jì)模似校正裝置根據(jù)靜態(tài)性能要求，取開環(huán)放大系數(shù)為30；把零階保持器近似為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)設(shè)取采樣周期為0.01秒，于是未校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為校正前系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖中實(shí)線所示計(jì)算截止頻率與超前校正設(shè)計(jì)：開環(huán)截止頻率約等于10(1/s)，相位裕度約等于13.8度。相位裕度也可以通過(guò)下式計(jì)算：不滿足性能指標(biāo)。設(shè)計(jì)超前校正若串聯(lián)校正取為

采用串聯(lián)校正后，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性如圖中虛線所示。由圖有開環(huán)截止頻率等于19，相位裕度等于60度，開環(huán)增益(控制精度)大于或等于30。滿足性能要求值。(2)選取采樣頻率采樣周期值己選為0.01秒。(3)模擬校正裝置的離散化采用雙線性變換的離散化方法:于是，數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為(4)化數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為差分方程代入各時(shí)間常數(shù)的值，有

為了避免運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)溢出，因此將控制量中誤差項(xiàng)的傳遞系數(shù)縮小20倍，其增益的補(bǔ)償將由系統(tǒng)中的功放實(shí)現(xiàn)。于是數(shù)字調(diào)節(jié)器的輸入輸出表達(dá)式為根據(jù)上式編制計(jì)算機(jī)控制算法程序。8.9數(shù)字控制器的離散化設(shè)計(jì)

數(shù)字控制器的離散化設(shè)計(jì)方法有Z平面的根跡法、W平面的博德圖法、解析法（最少拍）等。這里只介紹W平面的博德圖法。最少拍在<微機(jī)控制>課程中都有介紹。一、原理系統(tǒng)中的各環(huán)節(jié)都具有離散模型的型式下，通過(guò)