能量法精簡版

能量法第三章（11）

概述

應變能余能

卡氏定理

用能量法解超靜定問題返回鳥巢濟南奧體中心游泳館濟南奧體中心體育場能量方法：利用功能原理Ve=W來求解可變形固體的位移、變形和內力等的方法。

§3-1概述可變形固體在受外力作用而變形時，外力和內力均將作功。對于彈性體，外力在相應位移上作的功，在數(shù)值上就等于積蓄在物體內的應變能。

Ve=W1.線彈性條件下，通過外力功求應變能§3-2應變能?余能常力作功：常力F

沿其方向線位移上所作的功

一、應變能變力作功：在線彈性范圍內，外力F

與位移間呈線性關系。(靜荷載為變力）軸向拉（壓）桿外力作功FoFP基本變形在彈性范圍內變形量與外力(內力)均呈線性關系彎曲扭轉軸向拉，壓（FN為軸力）（

為相對扭轉角，T

為扭矩）（

為轉角，M

為彎矩）由Ve=W,可得以下變形能表達式（2）扭轉桿內的變形能（1）軸向拉壓桿內的變形能（3）彎曲梁內的變形能（略去剪力的影響）（3）組合變形的變形能2、非線性彈性體，通過比能求應變能Fo1F1拉桿的材料是非線性彈性體，當外力由0

逐漸增大到F1

時，桿端位移就由0

逐漸增到1。FdF外力作功為FFo1F1從拉桿中取出一個各邊為單位長的單元體，l=1=作用在單元體上，下兩表面的力為F=11=其伸長量FFF11該單元體上外力作功為l=F=FF單位體積的應變能即比能為11FF若取單元體的邊長為dx

、dy、dz，則該單元體的應變能為dVe=ve

dx

dy

dz令dx

dy

dz=dV則整個拉桿內的應變能為拉桿整個體積內各點的ve為常量，故有扭轉桿

拉壓桿

在線彈性

范圍內例題：已知：圖示抗彎剛度為EI的簡支梁，受均布荷載q作用。求：應變能qABly解：[法1]運用功能原理求應變能撓曲線方程xdxqABlywxdxqABlyw[法2]運用彎曲變形能公式qABlyx例題：

水平桿系如圖所示，兩桿的長度均為l,橫截面面積

為A，彈性模量為E，且均為線彈性。試計算在F作用下的應變能。llaAaF解：外力作用下，兩桿件伸長，沿F

方向下移，則llaAaF對嗎？由A點平衡得

llaAaFFNFNFFNFNF略去高階微量llaAaFF

與成非線性關系FNFNFllaAaF該問題屬于幾何非線性彈性問題由于F

與的非線性關系,求能量需用積分。二.余能1、非線性彈性材料（拉桿）F余功公式=矩形面積+FdF余能公式單位體積的余能2、線彈性材料的幾何線性問題

dFF注意：(1)計算外力作功時，注意變力作功與常力作功的區(qū)別。(2)應變能Ve

只與外力的最終值有關，而與加載過程和加載次序無關?！?4-3卡式定理設梁上有n個荷載F1，F(xiàn)2，，F(xiàn)n（簡單加載）與之相應的位移為1，2，，

n一、卡式第一定理

梁內應變能在數(shù)值上就等于外力功外力作總功等于每個集中力在加載過程中所作功的總和上式表示梁內應變能Ve

是其上所有荷載相應的最后位移i

的函數(shù)假設與第i個荷載相應的位移有一微小的增量di梁內應變能的變化為為應變能對于位移i

的變化率只有與Fi

相應的位移有一微小增量，而與其余各荷載相應的位移保持不變。只有Fi

在微小位移di

上作了外力功梁外力功的變化為外力功在數(shù)值上等于應變能得到即卡氏第一定理一個力一個力偶一對力一對力偶一個線位移一個角位移相對線位移相對角位移i

為Fi

的作用點相應于Fi

的位移。Fi

為廣義力，i為與Fi

相應的廣義位移。例題：已知圖示懸臂梁，抗彎剛度EI，自由端轉角θ

求：自由端力偶m。

解：梁內任一點的線應變?yōu)橛蓤D可得m梁內任一點的比能為梁的應變能為mm梁的應變能為例題：已知平面桁架受力如圖。兩桿的橫截面面積均為A，兩桿的E相同，且均處于線彈性范圍內。求：B點水平位移與鉛垂位移。若B只發(fā)生水平位移1解：若B只發(fā)生鉛垂位移2桁架的應變能當水平位移與鉛垂位移同時發(fā)生時由卡式第一定理二、卡氏第二定理設梁上有n個荷載F1，F(xiàn)2，，F(xiàn)n（簡單加載）與之相應的位移為1，2，，

n梁內余能為外力的總余功等與每個集中荷載余功之和每個集中荷載余能假設第i

個荷載有一微小增量dFi

，其余荷載及所有荷載的位移均維持常量不變，外力總余功的相應改變量為由于Fi

改變了dFi

，梁內余能的改變量為外力余功在數(shù)值上等于彈性桿的余能則有——式為余能定理線彈性桿件或桿系中，應變能與余能在數(shù)值上相等則有上式為卡氏第二定理(1)卡氏第一定理與余能定理兩定理均適用于線性或非線性彈性桿件及桿系。說明(2)卡氏第二定理與余能定理

卡氏第二定理只適用于線性彈性體。

(3)Fi

為廣義力，i為相應的位移。一個力一個力偶一對力一對力偶一個線位移一個角位移相對線位移相對角位移(4)卡氏第二定理的應用

軸向拉、壓扭轉

彎曲

平面桁架組合變形

例題：

已知：如圖所示懸臂梁受力情況，抗彎剛度EI

求：自由端的撓度（用卡氏第二定理）解：因自由端沒有與所求位移對應的集中力，需加一虛設外力P

由卡氏第二定理例題：外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI。梁材料為線彈性體。求梁C截面的撓度和A截面的轉角。ABCPmla解：x1x2ABCPmlaAB：BC：x1x2ABCPmlaAB：BC：x1x2ABCPmlaAB：()BC：

例題：外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI。梁材料為線彈性體。求梁C截面和D截面的撓度。解：ABCPaPDaa法一:AC：CB：BD：ABCPaPDaaAC：CB：BD：ABCPaPDaa法二:AC：ABCPaPDaaCB：ABCPaPDaaBD：ABCPaPDaaABCPaPDaaABCPaPDaa第二種方法是正確的ABCPaPDaa例題：已知開口圓環(huán)受力如圖，材料為線彈性，抗彎剛度EI

求：圓環(huán)的張開位移△（不計剪力及軸力的影響）。例14-12

使曲率減小為正解：由卡氏第二定理qABCll例題：抗彎剛度均為EI的靜定組合梁ABC，受力如圖所示。梁材料為線彈性體，不計剪應變對梁變形的影響。用卡氏第二定理求梁中間鉸B兩側截面的相對轉角。qABCllqABCll解：在B

兩側虛設一對外力偶。約束反力如圖所示qABCllxxAB：BC:AB:BC:()例題：剛架結構如圖所示。彈性模量EI已知。材料為線彈性。不考慮軸力和剪力的影響，計算C截面的轉角和D截面的水平位移。ABCDaa2am解在C截面虛設一力偶mc,

在D截面虛設一水平力P。mcPRHVABCDaa2ammcPRHVxCD:ABCDaa2ammcPRHVxCB:ABCDaa2ammcPRHVxAB:M(x)=PxCD:CB:AB:M(x)=PxABCDaa2ammcPRHVCD:CB:AB:M(x)=Px()ABCDaa2ammcP例題：各桿抗彎剛度均為EI的Z字形平面剛架受集中力P作用。桿的材料是線彈性的，不計剪力和軸力對變形的影響。求端面A的線位移和轉角。ABCDP3a4aABCDP3a4aCABDP解：在A端虛設水平力Px

和外力偶mA

。ABCDPxAB：ABCDPBC：3a4axABCDPxCD：4aABCDPAB：BC：CD：AB：BC：CD：ABCDPAB：BC：CD：（）ABCDP例題：各桿的抗拉（壓）剛度均為EA的正方形平面桁架受水平力P作用。桿的材料為線彈性。求結點C的水平和鉛垂位移。llABcDPQllABcDPQ桿件Q=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P000000000Q=0Q=0llABcDPQ例題：求A截面的鉛垂位移。略去剪力影響ABCDPll/22l/3EAEIABCDPll/22l/3EAEI解：AB為彎曲變形CD為軸向拉伸取AB為研究對象ACBFNABCDPll/22l/3EAEICD桿ACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁AC：xCB:xPACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁CD桿例題：圓截面桿ABC，（ABC=900）位于水平平面內，已知桿截面直徑d及材料的彈性常數(shù)E,G。求C截面處的鉛垂位移。不計剪力的影響。ABCllqABCllqBC：彎曲變形xPABlClqAB為彎曲與扭轉的組合變形xPABlQm（扭轉變形）（彎曲變形）ABlClqxPABlQmxABlClqxPxBC：彎曲變形AB：彎扭組合變形P=0ABlClqxPxP=0例題：圖示剛架各段的抗彎剛度均為EI。不計軸力和剪力的影響。用卡氏第二定理求截面D的水平位移D和轉角D。ABCDPPll2l解：在點虛設一力偶矩mmCD：彎曲變形P1ABCDPPll2lxABCPP1ABCP將力P向C簡化得：力P（產(chǎn)生拉伸變形）將m向C簡化得：m（產(chǎn)生彎曲變形）2Plm力偶矩2Pl（產(chǎn)生彎曲變形）DPll2lmABCPP1ABCABCPP1ABCP2PlmDPll2lmABCPP1ABCAC

產(chǎn)生拉伸與彎曲的組合變形。橫截面上的內力有軸力和彎矩。但是軸力不計，因此橫截面上的內力只計彎矩。ABCDPPll2lmxP1P2PlmxBC段：BA段：xABCDPPll2lmxP1P2Plmxxm=0P1=PABCDPPll2lmxP1P2Plmxxm=0P1=P§3-4用能量法解超靜定問題例題：已知兩桿抗彎剛度均為EI。不計剪力和軸力對剛架變形的影響。求支座反力。q=10kN/m，m=50kN.m。ABCDa=50mmqmXABCDa=50mmqmABCDa=50mmqmXABCDa=50mmqm解：變形相容條件是在B

點處的撓度為零。XABCDa=50mmqmM(x)=XxxxM(x)=Xx-myCA:BD：DC:BD：M(x)=XxDC:M(x)=Xx-mCA:XABCDa=50mmqmxxy()XAB