《線性代數(shù)》課件-第四章 向量組的線性相關(guān)性

第四章

向量組的線性相關(guān)性4.1

向量組及其線性組合4.2

向量組的線性相關(guān)性4.3

向量組的秩4.4

線性方程組的解的結(jié)構(gòu)4.5

向量空間§1

向量組及其線性組合定義1：n個有次序的數(shù)a1,a2,…,an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量，第i個數(shù)ai稱為第i個分量．分量全為實數(shù)的向量稱為實向量．分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量．備注：本書一般只討論實向量（特別說明的除外）．行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量．所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作列向量．本書中，列向量用黑色小寫字母a,b,a,b等表示，行向量則用aT,bT,aT,bT

表示．一、基本概念定義2：若干個同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為向量組．（2）當(dāng)R(A)<n

時，齊次線性方程組Ax=0

的全體解組成的向量組含有無窮多個向量．如例如（1）注:(1)向量組中的向量必須是同型向量.(2)一個向量組可含有限多個向量，也可含無限多個向量.結(jié)論1：含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)．有限向量組問:?答:二、矩陣與向量組三、向量組的線性組合

定義3：給定向量組A：a1,a2,…,am，對于任何一組實數(shù)k1,k2,…,km

，表達式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A

的一個線性組合．k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數(shù)．

定義4：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實數(shù)l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組

A

線性表示．例：設(shè)那么線性組合的系數(shù)e1,e2,e3的線性組合一般地，對于任意的n維向量b

，必有n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維單位坐標(biāo)向量．

n

維單位坐標(biāo)向量有幾個?

四、向量組之間線性表示的判斷法

回顧：線性方程組的表達式一般形式向量方程的形式增廣矩陣的形式向量組線性組合的形式方程組有解？向量是否能用線性表示？結(jié)論1：含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)．向量b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解定理1設(shè)有向量b和向量組A:a1，

a2，…….，an

.定義5：設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl若向量組

B

中的每個向量都能由向量組

A

線性表示，則稱向量組

B

能由向量組

A

線性表示．若向量組A

與向量組B

能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價．問：怎么判斷向量組

A：a1,a2,…,am能由向量組B：b1,b2,…,bl

線性表示？設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即線性表示的系數(shù)矩陣設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即對于b1，存在一組實數(shù)k11,k21,…,km1

，使得b1=

k11a1+k21

a2+…+km1

am；對于b2，存在一組實數(shù)k12,k22,…,km2

，使得b2=

k12a1+k22

a2+…+km2

am；……對于bl，存在一組實數(shù)k1l,k2l,…,kml

，使得bl=

k1la1+k2la2+…+kmlam若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結(jié)論：矩陣C

的列向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示，

B

為這一線性表示的系數(shù)矩陣．若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結(jié)論：矩陣C

的行向量組能由矩陣B

的行向量組線性表示，

A

為這一線性表示的系數(shù)矩陣．口訣：左行右列結(jié)論：若C=AB，那么矩陣C

的行向量組能由矩陣B

的行向量組線性表示，A為這一線性表示的系數(shù)矩陣．（A

在左邊）矩陣C

的列向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示，B為這一線性表示的系數(shù)矩陣．（B

在右邊）A經(jīng)過有限次初等列變換變成B存在m

階可逆矩陣

P，使得AP=B矩陣B

的列向量組與矩陣A

的列向量組等價矩陣B

的行向量組與矩陣A

的行向量組等價同理可得把

P

看成是線性表示的系數(shù)矩陣向量組

B：b1,b2,…,bl能由向量組A：a1,a2,…,am線性表示 存在矩陣K，使得AK=B

矩陣方程AX=B

有解

R(A)=R(A,B)（P.84定理2）

R(B)≤

R(A)（P.86定理3）推論：向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl等價的充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A,B)．證明：向量組

A和B等價

向量組

B能由向量組A

線性表示

向量組

A能由向量組B

線性表示從而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因為R(B)≤

R(A,

B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)例：設(shè)證明向量b能由向量組A：a1,a2,a3

線性表示，并求表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

線性表示當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=R(A,b)．因為R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

線性表示．行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為通解為即b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．向量b

能由向量組A

線性表示線性方程組Ax=b有解.故例2：證明向量組A與B等價，其中證：向量組A,B等價R(A)=R(B)=R(A,B).所以

R(A)=R(B)=R(A,B).故向量組A,B等價.例3:設(shè)有n×m矩陣A=(a1,a2,…,am)

，試證：n

維單位坐標(biāo)向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示的充分必要條件是R(A)=n．證：因為n

維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣為En

，所以n

維單位坐標(biāo)向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示

R(A)=R(A,E).顯然R(A,E)=n,故

R(A)=n.小結(jié)向量

b

能由向量組

A線性表示線性方程組

Ax=b

有解向量組

B

能由向量組

A線性表示矩陣方程組AX=B

有解向量組

A

與向量組

B等價課堂練習(xí)

1.把向量

表示成向量

1,

2,

3

的線性組合,其中知識結(jié)構(gòu)圖n維向量向量組向量組與矩陣的對應(yīng)向量組的線性組合向量組的線性表示向量組的等價判定定理及必要條件判定定理作業(yè)P106：1，2§2

向量組的線性相關(guān)性回顧：向量組的線性組合定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，對于任何一組實數(shù)k1,

k2,…,km

，表達式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A

的一個線性組合．k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數(shù)．定義：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實數(shù)l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則稱向量b能由向量組A

的線性表示．引言問題1：給定向量組A，零向量是否可以由向量組A線性表 示？問題2：如果零向量可以由向量組A線性表示，線性組合的

系數(shù)是否不全為零？向量b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解P.83定理1的結(jié)論：問題1：給定向量組A，零向量是否可以由向量組A線性表示？問題1′：齊次線性方程組Ax=0是否存在解？回答：齊次線性方程組Ax=0一定存在解．事實上，可令k1=k2=…=km=0，則k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）問題2：如果零向量可以由向量組A線性表示，線性組合的系數(shù)

是否不全為零？問題2′：齊次線性方程組Ax=0是否存在非零解？回答：齊次線性方程組不一定有非零解，從而線性組合的系數(shù)

不一定不全于零．例：設(shè)若則k1=k2=k3=0．一、向量組的線性相關(guān)性定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，如果存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的．向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)m元齊次線性方程組Ax=0有非零解R(A)<

m備注：給定向量組A，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)，兩者必居其一．向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，通常是指m≥2的情形.若向量組只包含一個向量：當(dāng)

a

是零向量時，線性相關(guān)；當(dāng)

a不是零向量時，線性無關(guān)．向量組A：a1,a2,…,am(m≥2)線性相關(guān)，也就是向量組A

中，至少有一個向量能由其余m－1個向量線性表示． 特別地，a1,a2線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2的分量對應(yīng)成比例，其幾何意義是兩向量共線．a(chǎn)1,a2,a3

線性相關(guān)的幾何意義是三個向量共面．向量組線性相關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．二、線性相關(guān)性的判定向量組線性無關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān) 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m． 向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．向量組線性相關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．向量組線性無關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān) 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m． 向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．例1：試討論n

維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性．解：設(shè)有使得即故n

維單位坐標(biāo)向量組的線性無關(guān).例2：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．解：可見R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)；同時，R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關(guān)．例3：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解題思路：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題；轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題．例3：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解法1：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題．已知，記作B=AK．設(shè)Bx=0，則(AK)x=A(Kx)=0．因為向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，所以Kx=0．又|K|=2≠0，那么Kx=0只有零解

x=0，從而向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．例3：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題．已知，記作B=AK．因為|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，R(A)=3，從而R(B)=3，向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．三、相關(guān)結(jié)論（定理5）

(1)若向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，則向量組B：a1,a2,…,am,am+1

也線性相關(guān)．（部分相關(guān)，整體相關(guān)） 其逆否命題也成立，即若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān)．．（整體無關(guān)，部分無關(guān)）(2)m

個n

維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n

小于向量個數(shù)m

時，一定線性相關(guān)． 特別地，n+1個n

維向量一定線性相關(guān)．(3)設(shè)向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)，而向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關(guān)，則向量b

必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的．

(1)若向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，則向量組B：a1,a2,…,am,am+1

也線性相關(guān)．

證：

因為向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，所以R（A）<m，而R（B）≤

R（A）+1<m+1,故向量組B：a1,a2,…,am,am+1

也線性相關(guān).

(2)m

個n

維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n

小于向量個數(shù)m

時，一定線性相關(guān)． 證：設(shè)該向量組對應(yīng)m

行n列的矩陣A，

則由矩陣秩的性質(zhì)R（A）≤

min{m,n}=n<m,故向量組線性相關(guān).(3)設(shè)向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)，而向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關(guān)，則向量b

必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的．

證：因為向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)，所以R（A）=m.而向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關(guān)，所以R（B）<m+1.又因為R（B）≥R（A）=

m,所以R（B）=m=R（A），即R（A）=R（A，b）=m，故向量b

必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的．

例設(shè)向量a1,a2,a3

線性相關(guān)，向量組a2,a3

，a4

線性無關(guān)，

證明：（1）a1能由a2,a3線性表示；（2）a4

不能由a1,a2,a3

線性表示.

證：(1)因為a2,a3

，a4

線性無關(guān)，由定理5（1）知a2,a3

無關(guān)，又因為a1,a2,a3

線性相關(guān)，再根據(jù)定理5（3）a1能由a2,a3線性表示.(2)用反證法.設(shè)a4

能由a1,a2,a3

線性表示，又由（1）知a1能由a2,a3線性表示，故a4

能由a2,a3

線性表示，這與a2,a3

，a4

線性無關(guān)矛盾，所以）a4

不能由a1,a2,a3

線性表示.

思考題：P110：8

課堂練習(xí)：P110：9小結(jié)一、

向量組線性相關(guān)(無關(guān))的定義定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，如果存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的．向量組線性相關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．二、線性相關(guān)性的判定向量組線性無關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān) 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m． 向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．三、其它結(jié)論：定理（P.90定理5）

(1)若向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，則向量組B：a1,a2,…,am,am+1

也線性相關(guān)．（部分相關(guān)，整體相關(guān)） 其逆否命題也成立，即若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān)．．（整體無關(guān)，部分無關(guān)）(2)m

個n

維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n

小于向量個數(shù)m

時，一定線性相關(guān)． 特別地，n+1個n

維向量一定線性相關(guān)．(3)設(shè)向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)，而向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關(guān)，則向量b

必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的．

作業(yè)題：P110：10，11（

§3

向量組的秩矩陣線性方程組有限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

可由矩陣A的列向量組線性表示課本P.

88定理4：向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)的充要條件是矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m；向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)的充要條件是矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m．矩陣線性方程組有限向量組無限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

能否由向量組A

線性表示向量組與自己的最大無關(guān)組等價

n元線性方程組

Ax=b其中A是n×m

矩陣矩陣(A,b)向量組A:a1,a2,…,an

及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b

能否由向量組A線性表示？無解R(A)<R(A,b)NO有解R(A)=R(A,b)YESx的分量是線性組合的系數(shù)唯一解R(A)=R(A,b)

=未知數(shù)個數(shù)表達式唯一無窮解R(A)=R(A,b)

<未知數(shù)個數(shù)表達式不唯一回顧：矩陣的秩定義：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k

階行列式，稱為矩陣A的k階子式．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．定義：設(shè)矩陣A中有一個不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．結(jié)論：矩陣的秩

=矩陣中最高階非零子式的階數(shù)

=矩陣對應(yīng)的行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)一、向量組的秩的概念定義1

設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關(guān)；那么稱向量組A0是向量組A

的一個最大線性無關(guān)向量組(Maximalsystemoflinearindependence)，簡稱最大無關(guān)組．最大無關(guān)組所含向量個數(shù)r

稱為向量組A

的秩(Rankofvectorsystem)，記作RA．例1：求矩陣的秩，并求A

的一個最高階非零子式．并求其列向量組和行向量組的秩.二、最大無關(guān)組的求法第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個非零元所在的列

，與之對應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列．解：（1）第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個非零行，故R(A)=3．R(A0)=3，計算

A0的前

3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個最高階非零子式．結(jié)論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩是唯一的．（2）根據(jù)

R(A0)=3

可知：A0的

3個列向量就是矩陣A

的列向量組的一個線性無關(guān)的部分組．在矩陣A任取4個列向量，根據(jù)

R(A)=3

可知：A中所有4階子式都等于零，從而這4個列向量所對應(yīng)的矩陣的秩小于

4，即這4個列向量線性相關(guān)．A0的

3個列向量就是矩陣A

的列向量組的一個最大線性無關(guān)組．矩陣A

的列向量組的秩等于3．同理可證，矩陣A

的行向量組的秩也等于3．矩陣線性方程組有限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

能否由向量組A

線性表示一般地，矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．（P.90定理6）備注：矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．（P.90定理6）今后，向量組a1,a2,…,am的秩也記作R(a1,a2,…,am)．若Dr

是矩陣A

的一個最高階非零子式，則Dr所在的

r

列是A

的列向量組的一個最大無關(guān)組，Dr所在的

r行是A

的行向量組的一個最大無關(guān)組．向量組的最大無關(guān)組一般是不唯一的．例2：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．并求其最大無關(guān)組.解：可見R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關(guān)，同時，R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)，從而a1,a2

是向量組a1,a2,a3的一個最大無關(guān)組．事實上，a1,a3

和a2,a3也是最大無關(guān)組．三、向量組與其最大無關(guān)組的關(guān)系結(jié)論：向量組A

和它自己的最大無關(guān)組A0是等價．證：只需證明向量組A

與A0可以互相線性表示即可.

先證向量組A

能由向量組A0線性表示即可.

設(shè)，而是

其一個任意最大無關(guān)組，則顯然的每個向量都能由向量組線性表示，即

又因為是向量組A的最大無關(guān)組，所以A中任意向量添加到后的r+1個向量必線性相關(guān).于是也能由向量組線性表示，故向量組A

能由向量組線性表示.反之，向量組也能由向量組A線性表示，只需所以向量組A

和它自己的最大無關(guān)組A0是等價的．證：由已知條件可知，向量組A

與向量組A0

等價，所以.故向量組A0是向量組A

的一個最大無關(guān)組.推論：設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個向量a1,a2,…,ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；向量組A

中任意一個向量都能由向量組A0

線性表示；那么A0是向量組A

的一個最大無關(guān)組．矩陣線性方程組有限向量組無限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

能否由向量組A

線性表示向量組與自己的最大無關(guān)組等價四、最大無關(guān)組的意義結(jié)論：向量組A

和它自己的最大無關(guān)組A0是等價的．用A0來代表A，掌握了最大無關(guān)組，就掌握了向量組的全體． 特別，當(dāng)向量組A為無限向量組，就能用有限向量組來代表．凡是對有限向量組成立的結(jié)論，用最大無關(guān)組作過渡，立即可推廣到無限向量組的情形中去．例3：全體n維向量構(gòu)成的向量組記作Rn，求Rn的一個最大無關(guān)組及Rn的秩．解：

n階單位矩陣的列向量組是Rn的一個最大無關(guān)組，Rn的秩等于n．思考：n階上三角形矩陣的列向量組是Rn的一個最大無關(guān)組嗎？例4：設(shè)齊次線性方程組的通解是試求全體解向量構(gòu)成的向量組S

的秩．解：已知方程組通解為令則顯然向量組

A線性無關(guān).而齊次線性方程組的解全體解向量構(gòu)成的向量組S

的每個向量都可以由向量組

A線性表示，故向量組

A是向量組S

的一個最大無關(guān)組，所以R(S)=2.例5：求矩陣的列向兩組的一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示３．取行階梯形矩陣中首個非零元所在的列，與之對應(yīng)的是選取A的第一、二、四列．

解：１．先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．２．R(A)=3．即列向量組的秩等于３．A0的

3個列向量就是矩陣A

的列向量組的一個最大無關(guān)組．思考：如何把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合？思路1：利用P.83定理1的結(jié)論思路2：利用矩陣A

的行最簡形矩陣．向量b能由向量組A線性表示線性方程組Ax=b

有解令A(yù)0

=

(a1,a2,a4)求解A0x

=

a3

A0x

=

a5解（續(xù)）：為把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合，把矩陣A

再變成行最簡形矩陣于是Ax=0與Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解．即矩陣

A的列向量組與矩陣

B的列向量組有相同的線性關(guān)系.可以看出：

b3=?b1?b2 b5=4b1+3b2?3b4所以

a3=?

a1?

a2 a5=4a1+3a2?3a4課堂練習(xí)習(xí)題四11（1），12（1）小結(jié)一、最大線性無關(guān)組的概念二、向量組的秩的概念四、最大無關(guān)組的求法三、矩陣的秩與行/列向量組的秩的關(guān)系五、向量組與其最大無關(guān)組的等價關(guān)系作業(yè)P108:11（2），12（2）矩陣線性方程組有限向量組無限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

能否由向量組A

線性表示向量組與自己的最大無關(guān)組等價§3

向量組的秩(續(xù))上節(jié)內(nèi)容回顧最大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)向量組的秩矩陣的秩=行向量組的秩=列向量組定義求法向量組定義1向量組A0為向量組A

的最大無關(guān)組，若滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；向量組A

中任意r+1個向量都線性相關(guān).向量組A

中任意一個向量都能由向量組A0

線性表示；求矩陣A

的一個最高階非零子式Dr，則Dr所在的

r

列是A

的列向量組的一個最大無關(guān)組，Dr所在的

r行是A

的行向量組的一個最大無關(guān)組．推論

向量組

A

與向量組

B等價定理1

向量

b

能由向量組

A線性表示定理2向量組

B

能由向量組

A線性表示定理3向量組

B

能由向量組

A線性表示設(shè)有向量組和，則和，則向量組

定理2'向量組能由向量組線性表示的充要條件是證：設(shè)向量組和的極大無關(guān)組分別為

與，與等價.故向量組能由線性表示向量組能由線性表示又因為且

故五、向量組的線性表示與向量組的秩推論1向量組能由向量組線性表示的推論2向量組與向量組等價的充分必要

充分必要條件是

條件是定理3'向量組能由向量組線性表示，則即

證：設(shè)，且兩個向量組的極大無關(guān)組分別為和

則向量組能由線性表示,再由定理3得六、向量組的線性相關(guān)性與向量組的秩定理5設(shè)有向量組則向量組線性相關(guān)向量組線性無關(guān)證：

由定理2.4可知，向量組線性相關(guān)又因為故向量組線性相關(guān)同理可證向量組線性無關(guān)的充要條件.

向量組B能由向量組A線性表示R(A)=R(A,B)是否成立?向量組A與向量組B等價R(A)=R(B)=R(A,B)向量組A線性相關(guān)R(A)<m

例6設(shè)向量組B能由向量組A線性表示，且

它們的秩相等，證明向量組A與向量組B等價.

證：已知向量組B能由向量組A線性表示，則由定理2可知，R(A)=R(A,B).又因R(A)=R(B)，故

R(A)

=R(B)=R(A,B).再由定理4，向量組A與B等價.

§4

線性方程組的解的結(jié)構(gòu)回顧：線性方程組的解的判定包含n個未知數(shù)的齊次線性方程組Ax=0

有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)<

n．包含n個未知數(shù)的非齊次線性方程組Ax=b

有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)=R(A,b)，并且當(dāng)R(A)=R(A,b)=n時，方程組有唯一解；當(dāng)R(A)=R(A,b)<

n時，方程組有無限多個解．引言問題：什么是線性方程組的解的結(jié)構(gòu)？答：所謂線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，就是當(dāng)線性方程組有無限 多個解時，解與解之間的相互關(guān)系．備注：當(dāng)方程組存在唯一解時，無須討論解的結(jié)構(gòu)．下面的討論都是假設(shè)線性方程組有解．一、解向量的定義定義1設(shè)有齊次線性方程組Ax=0，如果x1=x11，

x2=x21，...，xn=xn1為該方程組的解，則稱為方程組的解向量（solutionvector）．二、齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)1：若x=x1，

x=x2

是齊次線性方程組Ax=0

的解， 則x=x1+x2

還是Ax=0

的解．證明：A(x1+x2)=

Ax1+Ax2

=0+0=0．性質(zhì)2：若x=x是齊次線性方程組Ax=0

的解，k為實數(shù)， 則x=kx

還是Ax=0的解．證明：

A(kx)=

k(Ax)

=k0=0．結(jié)論：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齊次線性方程組Ax=0

的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt

還是Ax=0

的解.結(jié)論：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齊次線性方程組Ax=0

的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt

還是Ax=0

的解.已知齊次方程組Ax=0的幾個解向量，可以通過這些解向量的線性組合給出更多的解．能否通過有限個解向量的線性組合把Ax=0的解全部表示出來？把Ax=0的全體解組成的集合記作S，若求得S

的一個最大無關(guān)組S0：x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

，那么Ax=0的通解可表示為x=k1x1+k2x2+…+ktxt

．齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（不唯一）．回顧：向量組的秩的概念定義：設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足①向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；②向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關(guān)；②'

向量組A

中任意一個向量都能由向量組A0

線性表示；那么稱向量組A0是向量組A

的一個最大無關(guān)組．向量組的最大無關(guān)組一般是不唯一的．返回三、基礎(chǔ)解系的概念定義2齊次線性方程組Ax=0的一組解向量x1,x2,...,xr如果滿足①

x1，x2，...，xr線性無關(guān)；②方程組中任意一個解都可以表示x1,x2,...,xr的線性組合，那么稱這組解是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系（

Basicsolutionsystem）．注：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一.問：如何求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系？后n-r

列前r

列設(shè)

R(A)=r，為敘述方便，不妨設(shè)A行最簡形矩陣為對應(yīng)的齊次線性方程組令xr+1,…,xn

作自由變量，則用初等變換法求方程組的基礎(chǔ)解系.令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則齊次線性方程組的通解記作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（滿足基礎(chǔ)解系②）

n

?

r

列前

r

行后

n

?

r

行故R(x1,

x2,…,xn-r)=n

?

r

，即x1,

x2,…,xn-r線性無關(guān)．（滿足基礎(chǔ)解系①）于是x1,

x2,…,xn-r就是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系．令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則線性方程組的通解記作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（滿足基礎(chǔ)解系②）

此即為Ax=0

的基礎(chǔ)解系．通解為

x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，則令法二：定理設(shè)m×n

矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩RS=n

?r．證明同上.例1求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．方法1：先求出通解，再從通解求得基礎(chǔ)解系．即令x3=c1，x4=c2，得通解表達式因為方程組的任意一個解都可以表示為x1,x2

的線性組合．x1,x2的四個分量不成比例，所以x1,x2線性無關(guān)．所以x1,x2是原方程組的一個基礎(chǔ)解系．方法2：先求出基礎(chǔ)解系，再寫出通解．即令合起來便得到基礎(chǔ)解系，得還能找出其它基礎(chǔ)解系嗎？問題：是否可以把x1

選作自由變量？答：可以，因為是否把系數(shù)矩陣化為行最簡形矩陣，其實并不影響方程組的求解．當(dāng)兩個矩陣行等價時，以這兩個矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組同解．令x1=c1，x2=c2，得通解表達式即從而可得另一個基礎(chǔ)解系：h1和h2．定理：設(shè)m×n

矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩RS=n

?r．例：設(shè)Am×nBn×l=O（零矩陣），證明R(A)+R(B)≤

n．例：證明R(ATA)=R(A)．例：設(shè)n

元齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解，證明R(A)=R(B)．非齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)3：若x=h1，

x=h2

是非齊次線性方程組Ax=b

的解，則x=h1?h2

是對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0

（導(dǎo)出組）的解．證明：A(h1?h2)=

Ah1?Ah2

=b

?b=0．性質(zhì)4：若x=h是非齊次線性方程組Ax=b

的解，x=x是導(dǎo)出組Ax=0

的解，則x=x+h

還是Ax=b

的解．證明：

A(x+h

)=

Ax+Ah

=0+b=b

．根據(jù)性質(zhì)3和性質(zhì)4可知若x=h*

是Ax=b

的解，x=x

是Ax=0

的解，那么

x=x+h*

也是Ax=b

的解．設(shè)Ax=0

的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．于是Ax=b

的通解為h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*例：求線性方程組的通解．解：容易看出是方程組的一個特解

．其對應(yīng)的齊次線性方程組為根據(jù)前面的結(jié)論，導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為于是，原方程組的通解為小結(jié)：關(guān)于線性方程組求解線性方程組（第三章，利用矩陣的初等行變換）線性方程組的幾何意義（第四章，四種等價形式）齊次線性方程組的通解能由它的基礎(chǔ)解系來構(gòu)造．基礎(chǔ)解系是解集S

的最大無關(guān)組．解集S是基礎(chǔ)解系的所有可能的線性組合．非齊次線性方程組的通解與其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系.一、齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)1：若x=x1，

x=x2

是齊次線性方程組Ax=0

的解， 則x=x1+x2

還是Ax=0

的解．性質(zhì)2：若x=x是齊次線性方程組Ax=0

的解，k為實數(shù)， 則x=kx

還是Ax=0的解．結(jié)論：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齊次線性方程組Ax=0

的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt

還是Ax=0

的解.上節(jié)內(nèi)容回顧二、基礎(chǔ)解系的概念定義1齊次線性方程組Ax=0的一組解向量x1,x2,...,xr如果滿足①

x1，x2，...，xr線性無關(guān)；②方程組中任意一個解都可以表示x1,x2,...,xr的線性組合，那么稱這組解是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系（

Basicsolutionsystem）．注：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一.求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的方法：方法1：先求出通解，再從通解求得基礎(chǔ)解系．方法2：對自由未知量取一些特殊的值，構(gòu)造基礎(chǔ)解系．三、非齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)3：若x=h1，

x=h2

是非齊次線性方程組Ax=b

的解，則x=h1?h2

是對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0

(導(dǎo)出組)解．性質(zhì)4：若x=h是非齊次線性方程組Ax=b

的解，x=x是導(dǎo)出組Ax=0

的解，則x=x+h

還是Ax=b

的解．根據(jù)性質(zhì)3和性質(zhì)4可知若x=h*

是Ax=b

的解，x=x

是Ax=0

的解，那么

x=x+h*

也是Ax=b

的解．設(shè)Ax=0

的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．于是Ax=b

的通解為h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*§5

向量空間一、封閉的概念定義1所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結(jié)果仍屬于該集合．例1試討論下列數(shù)集對四則運算是否封閉？

(1)整數(shù)集Z;

(2)有理數(shù)集Q;(3)實數(shù)集R.證：(1)對有故整數(shù)集對加減乘三種運算封閉.但可有故整數(shù)集對除法運算不封閉.

（2）有理數(shù)集Q對四則運算封閉；（3）實數(shù)集R

對四則運算封閉；二、向量空間的概念定義2設(shè)V

是n

維向量的集合，如果

①集合V

非空，

②集合V

對于向量的加法和乘數(shù)兩種運算封閉，具體地說，就是：若a

∈

V，b

∈

V，則a+b

∈

V．（對加法封閉）若a

∈

V，l

∈

R，則l

a

∈

V．（對乘數(shù)封閉）那么就稱集合V為向量空間(Vectorspace)．故集合是向量空間.解:(1)因為所以集合

例2下列哪些向量組構(gòu)成向量空間？(1)n維向量的全體Rn;(2)集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R};(3)集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R};(4)齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0};

(5)非齊次線性方程組的解集S2={x|Ax=b}.

有對又因為和(2)顯然故集合又因為對和故集合是向量空間.有(3)集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}不是向量空間.

因為所以集合但是對任意的和定義3齊次線性方程組的解集稱為齊次線性方程組的解空間(Solutionspace).(4)齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0};因為故集合又根據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)，若則且對故集合是向量空間.也有

(5)非齊次線性方程組的解集S2={x|Ax=b}.則所以故集合仍不是向量空間.若則它不是向量空間.

若則假設(shè)

例3設(shè)a,b為兩個已知的n維向量，集合L={la+mb|l,m∈R}是一個向量空間嗎？解:顯然

a,b

∈L，所以L是非空集合.

設(shè)x1=l1a+m1b,x2=l2a+m2b∈L，k∈R，則因為x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b) =(l1+l2)a+(m1

+m2)

b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L

所以，L

是一個向量空間．定義4把集合L={la+mb|l,m∈R}稱為由向量a,b所生成的向量空間（Thevectorspacegene