第17章壓桿穩(wěn)定

第17章壓桿穩(wěn)定(stability)4學(xué)時§17.1概述17.1.1壓桿穩(wěn)定性的概念17.1.2彈性壓桿的平衡路徑及分叉屈曲17.1.3研究壓桿穩(wěn)定性的方法§17.2靜力法§17.3能量法（不要求）§17.4不同支承條件下細長壓桿的臨界載荷§17.5柔度臨界應(yīng)力總圖17.5.1臨界應(yīng)力和柔度17.5.2歐拉公式的適用范圍17.5.3大柔度桿中柔度桿小柔度桿17.5.4中柔度桿的臨界應(yīng)力公式臨界應(yīng)力總圖§17.6壓桿的穩(wěn)定計算§17.7提高壓桿穩(wěn)形的措施17.7.1減小柔度17.7.2合理選用材料§17.8其他形式構(gòu)件的失穩(wěn)問題作業(yè)17.117.217.417.617.917.1017.1117.1317.181第17章壓桿穩(wěn)定(stability)物體平衡存在穩(wěn)定與不穩(wěn)定問題。本章主要內(nèi)容：(1)介紹受壓桿件穩(wěn)定性的基本概念；(2)介紹確定壓桿臨界載荷的兩種方法：靜力法和能量法；(3)不同支承條件下彈性壓桿的臨界載荷公式；(4)壓桿的臨界應(yīng)力總圖；(5)介紹壓桿的穩(wěn)定性校核及設(shè)計準(zhǔn)則。2第17章壓桿穩(wěn)定(stability)§17.1概述17.1.1壓桿穩(wěn)定性的概念穩(wěn)定與失穩(wěn)(stabilityandloststability)細長直桿在軸向壓力作用下處于平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力小于一定數(shù)值時，壓桿一直處于直線形式的平衡，微小的外界擾動使其偏離平衡位置，發(fā)生微小的彎曲變形，但擾動解除后，仍能恢復(fù)到初始直線平衡位置，這時稱壓桿直線形式的平衡狀態(tài)為穩(wěn)定的。當(dāng)壓力達到一定數(shù)值時，外界擾動使其發(fā)生微小彎曲變形，擾動解除后，它將處于微彎狀態(tài)下的平衡，而不能恢復(fù)到初始直線平衡位置，這時稱壓桿直線形式的平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的。3壓桿喪失直線形式的平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榍€形式的平衡狀態(tài)，這一過程稱為失穩(wěn)。臨界載荷(criticalloading)壓桿由直線形式的平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榍€形式的平衡狀態(tài)，其必須承受“一定數(shù)值”的壓力，這一壓力稱為壓桿的臨界載荷或臨界力，用Fcr表示。屈曲(buckling)失穩(wěn)又稱為屈曲。從幾何形態(tài)的變化上考慮，橫力彎稱為“彎曲”，縱力彎稱為“屈曲”，兩者變形都是桿軸線由直線變?yōu)榍€。彈性壓桿對于細長桿，當(dāng)壓力達到臨界載荷時，橫截面上的應(yīng)力并不很高，不高于比例極限。細長桿是在彈性范圍內(nèi)失穩(wěn)的，所以細長壓桿也稱為彈性壓桿。417.1.2彈性壓桿的平衡路徑及分叉屈曲FF當(dāng)F<Fcr時，壓桿直線平衡形式，無撓度，穩(wěn)定平衡。當(dāng)F≥Fcr時，(1)直線平衡形式：wmaxF-wmax的關(guān)系由圖中的豎直線OA表示。wmaxFOFcrAwmax=0(2)曲線平衡形式：BF-wmax的關(guān)系由圖中的豎虛線AB表示。wmax≠0F-wmax的關(guān)系由圖中的實曲線AC或AD表示。CD當(dāng)F≥Fcr時，壓桿直線平衡形式變?yōu)椴环€(wěn)定的曲線平衡形式，稍有擾動就變?yōu)榍?。F-wmax曲線稱為壓桿的平衡路徑，點A稱為平衡路徑的分叉點，因而細長壓桿的屈曲又稱為分叉屈曲，其臨界載荷又稱為分叉載荷。517.1.3研究壓桿穩(wěn)定性的方法壓桿是工程實際中經(jīng)常遇到的構(gòu)件，例如千斤頂?shù)慕z杠，各種活塞桿，發(fā)動機的連桿，橋梁結(jié)構(gòu)及房屋建筑所用桁架中的抗壓桿等。由于壓桿失穩(wěn)導(dǎo)致整個結(jié)構(gòu)破壞的情況時有發(fā)生，因此穩(wěn)定性問題是不可忽視的。確定臨界載荷的方法受壓桿件在正常工作時，應(yīng)滿足強度、剛度和穩(wěn)定性條件。滿足穩(wěn)定性條件，即F<Fcr。因此確定臨界載荷Fcr是穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵問題，臨界載荷的確定方法可分為兩類：(1)靜力法：(2)能量法：根據(jù)壓桿處于臨界狀態(tài)的靜力特征而提出的方法，稱為靜力法；根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征而提出的方法，稱為能量法。6§17.2靜力法在小變形情況下，平衡條件始終是在未變形形態(tài)下應(yīng)用的。如果壓桿是彈性穩(wěn)定的，而且并不處于分叉點附近，可以應(yīng)用未變形形態(tài)的平衡條件。但是為了研究穩(wěn)定性，求出臨界載荷，即使變形很小，也必須應(yīng)用變形后形態(tài)下的平衡條件。研究穩(wěn)定性問題的特點7結(jié)構(gòu)穩(wěn)定結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界發(fā)生在F=2kl，這就是臨界載荷。舉例說明臨界載荷不計重量的剛性桿AB，如圖所示。ABFkkl在鉛垂位置，兩彈簧不變形。F恢復(fù)力矩偏離力矩外界擾動8靜力法的原理和步驟（歐拉公式的推導(dǎo)）兩端鉸支等截面細長壓桿為例。當(dāng)F=Fcr時，桿件可能有兩種平衡形式：(1)直線：不穩(wěn)定，稍有外界擾動轉(zhuǎn)變?yōu)榍€平衡；(2)屈曲：取微彎狀態(tài)下的平衡來研究。FcrFcrABAFlBwxFcrFcrxxAwxwM(x)撓曲線方程彎矩為“+”，撓度為“-”小變形，截面應(yīng)力不超過比例極限令9二階齊次常微分方程，其通解為A、B為待定常數(shù)邊界條件：x=0，w=0；x=l，w=0平凡解（無聊解），表示w=0桿仍處于直線平衡狀態(tài)，舍去若w≠0，A和B不能同時為零，則穩(wěn)定特征方程(characteristicequation)n=0，得到Fcr=0，平凡解（無聊解），舍去非零解稱為原平衡微分方程的本征值10可見桿的正弦曲線拐點越多，所對應(yīng)的臨界載荷越大。臨界載荷應(yīng)是本征值中最小的本征值，即(17.1)兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷計算公式歐拉公式(Euler’sformula)歐拉公式的討論和說明(1)壓桿總是在抗彎能力最弱的縱向平面內(nèi)首先失穩(wěn)，因此當(dāng)各個彎曲平面內(nèi)約束相同時，歐拉公式中的I值應(yīng)取壓桿橫截面的最小慣性矩Imin。(2)2個半波正弦曲線3個半波正弦曲線……11但是實際上只有撓曲線的拐點處存在夾持時，壓桿失穩(wěn)狀態(tài)才有可能出現(xiàn)上述撓曲線形狀，如圖所示。Fcrl/4l/4l/4l/4n=4個半波正弦曲線Fcrl/3l/3l/3n=3個半波正弦曲線Fcrl/2l/2n=2個半波正弦曲線如果去掉夾持的約束，雖然在理論上壓桿可以維持上述撓曲線形狀，但是只要稍有外界干擾，這些曲線平衡形式就立即消失。12由于實際壓桿中，不可避免地存在各種干擾因素，如桿的初曲率、外力作用的偏心等，所以上述各種臨界狀態(tài)是不可能存在的。因此工程上具有實際意義的臨界載荷，是取n=1時的最小臨界載荷(3)當(dāng)n=1時，其中A——桿中點的撓度，無法確定的常數(shù)。這是因為在推導(dǎo)過程中使用的是撓曲線近似微分方程，如果用精確微分方程就可以確定A的值了，只是計算過程非常復(fù)雜。13(4)歐拉公式是在理想條件下得出的，即壓桿材料均勻，無初曲率，壓力作用線與桿軸重合等。但是實際上理想條件是不存在的。理論分析和實驗證明，當(dāng)上述影響因素并不明顯時，可以認為歐拉公式對小偏心桿或小曲率桿仍然適用，由此引起的差異可由選擇的安全因數(shù)來調(diào)整。例題17.114不要求§17.3能量法15§17.4不同支承條件下細長壓桿的臨界載荷各種不同支承條件下的臨界載荷的通用形式歐拉公式的普遍形式(17.4)其中——不同支承條件下壓桿失穩(wěn)時撓曲線正弦半波的長度，稱為相當(dāng)長度(equivalentlength)。——長度因數(shù)(factoroflength)。解釋：(1)壓桿的臨界載荷值對兩端支承條件是十分敏感的，如圖所示；(2)壓桿的不同支承情況可用不同的長度因數(shù)來反映，其值可查設(shè)計手冊和規(guī)范，或用判斷和經(jīng)驗對已有結(jié)果進行內(nèi)插值得到。16Fcrl(a)Fcrl(b)Fcrl(c)Fcrl(d)17鉸支彈簧端支承的長度因數(shù)簡單介紹一個兩端聯(lián)結(jié)在其他彈性桿件上的等直壓桿，假設(shè)其水平方向不能移動，而兩個端截面的轉(zhuǎn)動受到與其相連的其他桿件的彈性約束，其端彎矩與轉(zhuǎn)角成正比這種情況可以看作鉸支彈簧端，如圖所示。FcrlAB這是一種介于固定端和鉸支座之間的彈性支承，當(dāng)時，相當(dāng)于鉸支座，當(dāng)時，相當(dāng)于固定端，當(dāng)時，。18§17.5柔度臨界應(yīng)力總圖17.5.1臨界應(yīng)力和柔度臨界應(yīng)力(criticalstress)臨界載荷作用下，壓桿在直線平衡位置時橫截面上的應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力，用表示。截面慣性半徑令柔度(column)（長細比）反映了壓桿長度、約束條件、截面形狀和尺寸對壓桿臨界應(yīng)力的影響。在壓桿穩(wěn)定分析中，柔度是一個很重要的參數(shù)。柔度（長細比）(17.5)19臨界應(yīng)力為(17.6)歐拉公式的另一種形式17.5.2歐拉公式的適用范圍歐拉公式是由撓曲線近似微分方程導(dǎo)出的，而此方程又是以胡克定律為基礎(chǔ)的，因此歐拉公式只有在臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限時才有效。當(dāng)時，(17.7)于是歐拉公式的適用范圍可表示為可見，與材料的力學(xué)性能有關(guān)，因此對不同的材料，歐拉公式適用的范圍也不同。例如：Q235A鋼，E=206GPa，σp=200MPa，λp≈100，即λ≥100可用歐拉公式。2017.5.3大柔度桿中柔度桿小柔度桿(1)大柔度桿(longcolumn)（細長桿）大柔度桿（細長桿）發(fā)生彈性失穩(wěn)歐拉公式(2)中柔度桿(intermediatecolumns)（中長桿）中柔度桿（中長桿）發(fā)生非彈性失穩(wěn)出現(xiàn)塑性變形歐拉公式不適用，而采用經(jīng)驗公式。某一數(shù)值(3)小柔度桿(shortcolumns)（短粗桿）小柔度桿（短粗桿）不發(fā)生失穩(wěn)小柔度桿的破壞是由于壓應(yīng)力達到屈服極限（塑性材料）或強度極限（脆性材料）而引起的，是一個強度問題，其“臨界應(yīng)力”是屈服極限或強度極限。21AB17.5.4中柔度桿的臨界應(yīng)力公式臨界應(yīng)力總圖以實驗為依據(jù)給出了計算中柔度桿臨界應(yīng)力的經(jīng)驗公式。常用的有直線公式和拋物線公式。(1)直線公式(17.8)λ——壓桿的實際柔度，a、b——與材料相關(guān)的常數(shù)，（查表P126表17.1）。臨界應(yīng)力總圖采用直線公式計算中柔度桿的臨界應(yīng)力時，σcr—λ曲線，稱為臨界應(yīng)力總圖。OCD強度問題直線公式歐拉公式(17.9)小柔度中柔度大柔度22計算臨界應(yīng)力的步驟：(1)由壓桿所用材料計算(2)由壓桿的尺寸及支承條件計算出壓桿的實際柔度若在各個彎曲平面內(nèi)的柔度不同，則取。(3)用

與，相比較，選用臨界應(yīng)力的計算公式大柔度桿歐拉公式臨界應(yīng)力總圖的曲線CD段中柔度桿直線公式臨界應(yīng)力總圖的斜直線BC段小柔度桿強度條件臨界應(yīng)力總圖的水平線AB段若壓桿由脆性材料制成，只要將換成即可。23(2)拋物線公式a1、b1——與材料相關(guān)的常數(shù)我國鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計中，采用下列形式的拋物線公式：(17.10)(17.11)Q235A鋼：(17.12)16錳鋼：(17.13)24臨界應(yīng)力總圖O計算臨界應(yīng)力的步驟：與直線公式計算臨界應(yīng)力的步驟基本相同。說明：臨界力的大小是壓桿整體的變形所決定的。壓桿上因存在釘孔等造成的局部消弱對桿件的整體變形影響很小，因此計算臨界力或臨界應(yīng)力時，一律采用未消弱的橫截面形狀和尺寸。例題17.3例題17.4小中柔度大柔度25§17.6壓桿穩(wěn)定的計算大柔度桿歐拉公式中柔度桿直線公式小柔度桿強度條件拋物線公式26(3)設(shè)計壓桿安全工作的尺寸壓桿穩(wěn)定條件壓桿穩(wěn)定的計算壓桿的穩(wěn)定計算(1)校核壓桿的穩(wěn)定性(2)計算許可載荷壓桿穩(wěn)定條件臨界力Fcr相當(dāng)于壓桿穩(wěn)定性的破壞載荷或極限載荷。為了保證壓桿不會喪失穩(wěn)定性，必須使其具有足夠的穩(wěn)定安全儲備，即壓桿承受的工作壓力F滿足如下條件：(17.14)[Fst]為壓桿穩(wěn)定許用載荷[nst]為壓桿穩(wěn)定安全因數(shù)27壓桿穩(wěn)定安全因數(shù)壓桿穩(wěn)定安全因數(shù)[nst]一般要大于強度安全因數(shù)。

其原因是實際壓桿不是理想壓桿，難免存在初曲率、載荷偏心及材料不均勻、有釘孔等，都會使壓桿的臨界載荷降低。而且柔度越大，上述因素影響也越大，所以壓桿穩(wěn)定安全因數(shù)[nst]的值也將隨著λ的增大而提高。一般情況下，鋼材：[nst]=1.8~3.0；鑄鐵：[nst]=5.0~5.5；木材：[nst]=2.8~3.2，但這些取值也不是絕對的，穩(wěn)定安全因數(shù)還與壓桿的工作條件有關(guān)，例如鋼制的磨床油缸活塞桿，[nst]=4~6。不同情況可查專業(yè)手冊。(17.15)nst為臨界載荷與實際工作壓力的比值，稱為工作安全數(shù)，表示壓桿實際具備的安全因數(shù)。

上式的含義：壓桿實際具備的穩(wěn)定安全因數(shù)不能小于規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)。利用上式進行穩(wěn)定計算的方法稱為安全因數(shù)法。28例題17.5例題17.6例題17.7例題17.8例題17.929§17.7提高壓桿穩(wěn)定的措施

臨界載荷Fcr的值越大，壓桿的穩(wěn)定性越好。提高壓桿穩(wěn)定性，就得研究影響臨界載荷的諸多因素。（細長桿）或（中長桿）柔度λ在不改變橫截面面積的情況下，對細長桿和中長桿來說，合理選用材料，也可以提高壓桿穩(wěn)定性3017.7.1減小柔度λ(1)改革支承條件，增強支承的剛性使壓桿長度因數(shù)μ的數(shù)值降低，從而達到減小柔度λ。若將兩端鉸支改為兩端固定，細長壓桿的臨界載荷可達到原來的4倍。例如：滑動軸承的長短對軸的約束也不同，滑動軸承較長，則約束越接近固定端；軸承較短，則接近鉸支承。因此在條件許可的情況下，應(yīng)適當(dāng)增加軸承長度，以提高壓桿穩(wěn)定性。(2)減小壓桿長度由于柔度λ與桿長l成正比，所以在結(jié)構(gòu)許可的情況下，盡可能減小壓桿長度，能顯著提高壓桿的穩(wěn)定性。31如果結(jié)構(gòu)不允許減小桿長，也可通過增加支承的辦法，達到同樣的目的。如果在兩端鉸支細長壓桿的中點增加一個鉸支承，其臨界載荷可增加到原來的4倍。實際中為了提高穩(wěn)定性，大型車床的絲杠上都設(shè)有若干中間支承。(3)合理選擇截面形狀和尺寸當(dāng)截面面積A一定時，提高慣性矩I，可以增大慣性半徑i，從而達到減小柔度λ的目的。提高慣性矩I，最經(jīng)濟的辦法是采用空的截面，如空心圓截面或采用型鋼制成的組合截面。如圖所示，用兩根槽鋼組成的壓桿，方案(b)和方案(c)顯然比方案(a)合理。zy(a)zyb(b)zyc(c)32但要注意，不能使空心圓截面的桿壁太薄，否則會引起局部失穩(wěn)；也不能使組合截面中型鋼之間距離過大，否則連接變?nèi)酰w性能變壞，各型鋼近似為獨立的壓桿，穩(wěn)定性大大降低。(4)等穩(wěn)定性問題

等穩(wěn)定性就是讓各個彎曲平面內(nèi)的柔度相等，因為失穩(wěn)總是首先發(fā)生在柔度最大的彎曲平面內(nèi)，其他彎曲平面內(nèi)柔度再小也不能提高壓桿的承載能力，所以等穩(wěn)定性是最經(jīng)濟的設(shè)計方法。

等穩(wěn)定性的思路：(1)若壓桿在各個彎曲平面內(nèi)約束條件相同，即μ相同，則應(yīng)選用空心圓形，空心正方形等截面形狀。對于組合截面壓桿，如圖所示，也應(yīng)按照Iy=Iz的原則，調(diào)整b的值。zyb33zyc(2)若壓桿在不同彎曲平面內(nèi)約束條件不同，即μ不同，則應(yīng)選用Iy≠Iz的截面形狀，例如矩形截面，并在具有較剛性約束的平面內(nèi)使主慣性矩較小，力求使兩個主慣性平面內(nèi)柔度值相互接近。對于組合截面壓桿，如圖所示，則應(yīng)調(diào)節(jié)c值，以使xy及xz平面內(nèi)的柔度λ值相等或接近。17.7.2合理選用材料(1)大柔度桿選用彈性模量E的數(shù)值大的材料，可以提高壓桿的穩(wěn)定性。例如其他條件均相同時，鋼桿的臨界載荷大于鑄鐵桿的臨界載荷。但是要注意，包括普通低碳鋼、合金鋼及高強度鋼在內(nèi)的各種鋼材，彈性模量E大致相同，約在200~210GPa，因此試圖選用高