第14章結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定計(jì)算

結(jié)構(gòu)力學(xué)

第14章結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定計(jì)算主要內(nèi)容1基本概念2臨界荷載的確定3等截面直桿的臨界荷載4變等截面直桿的臨界荷載5偏心受壓直桿的穩(wěn)定6剪力對(duì)臨界荷載的影響7組合壓桿的穩(wěn)定8剛架的穩(wěn)定計(jì)算§14.1引言在材料力學(xué)中，已經(jīng)討論了中心受壓桿的穩(wěn)定問題Fpl圖1(1)當(dāng)時(shí)，壓桿處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)特點(diǎn)：

當(dāng)有微小橫向干擾力時(shí)，壓桿發(fā)生彎曲，當(dāng)撤消該橫向干擾力時(shí)，壓桿又恢復(fù)直線平衡狀態(tài)。(2)當(dāng)時(shí)，壓桿處于隨遇或稱中性的平衡狀態(tài)特點(diǎn)：當(dāng)有微小橫向干擾力時(shí)，壓桿發(fā)生彎曲，當(dāng)撤消該橫向干擾力時(shí)，壓桿仍處于彎曲狀態(tài)，并在此彎曲狀態(tài)下保持新的曲線平衡狀態(tài)。(3)當(dāng)時(shí)，壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)特點(diǎn)：當(dāng)有微小橫向干擾力時(shí)，壓桿將發(fā)生很大的彎曲，直至破壞。這一現(xiàn)象稱為壓桿喪失第一類穩(wěn)定性。

除了壓桿外，其它的一些結(jié)構(gòu)也會(huì)存在第一類穩(wěn)定問題，如q受均布外壓的圓柱殼Fp剛架結(jié)構(gòu)瘦高薄壁構(gòu)件除了第一類穩(wěn)定問題之外，還存在所謂的第二類穩(wěn)定問題Fp圖2(1)

當(dāng)時(shí)，壓桿的撓度隨著Fp的增大而增加（不一定是線性的）(2)

當(dāng)時(shí)，即使Fp不增大，壓桿的撓度可持續(xù)增加。此時(shí)稱壓桿喪失了第二類穩(wěn)定。由上可知，第二類穩(wěn)定問題的特征為：平衡形式不發(fā)生改變，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)是由于喪失了繼續(xù)承載能力。

不論是第一類穩(wěn)定問題還是第二類穩(wěn)定問題，在工程中都是不容許發(fā)生的。因?yàn)樗鼈兓蚴遣荒鼙３纸Y(jié)構(gòu)原有的工作狀態(tài)，或是喪失了繼續(xù)承載的能力，都將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞。因此，在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中僅考慮強(qiáng)度條件是不充分的，對(duì)于受壓構(gòu)件或結(jié)構(gòu)還應(yīng)進(jìn)行穩(wěn)定校核。

在本章中，主要討論在彈性范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)的第一類穩(wěn)定問題，在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，穩(wěn)定計(jì)算的中心問題是確定臨界荷載。§14.2確定臨界荷載的能量法

確定受壓構(gòu)件的臨界荷載的方法很多，最基本也是最重要的方法是靜力法和能量法。靜力法在材料力學(xué)中已講過(guò)，在本節(jié)中介紹能量法。

靜力法在確定壓桿臨界荷載時(shí)常常會(huì)遇到一些困難，如當(dāng)微分控制方程為變系數(shù)時(shí)，無(wú)法得到方程的解；邊界條件較復(fù)雜時(shí)，導(dǎo)出的特征行列式是高階的求解困難等。在這些情況下采用能量法具有較大的優(yōu)勢(shì)。勢(shì)能駐值原理

在彈性結(jié)構(gòu)（線性或非線性的）的一切可能位移中，真實(shí)的位移使結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能為駐值，即（14-1）上式中，U為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，T為外力功（為荷載勢(shì)能）。

應(yīng)當(dāng)注意，所謂的“可能位移”是指滿足結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件的各種位移。真實(shí)位移則不僅滿足結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件，而且滿足結(jié)構(gòu)平衡條件。因此，（14-1）式實(shí)際上就是能量形式的平衡條件。即（14-1）式是彈性體系處于平衡的充要條件。

但是在上節(jié)提到，平衡又分穩(wěn)定平衡、中性平衡和不穩(wěn)定平衡三種形式。下面通過(guò)一個(gè)單自由度體系，直觀說(shuō)明三種平衡形式的特點(diǎn)。如圖3所示彈性支承上的剛性桿，頂端水平彈性支承的剛度系數(shù)為k，取初始位置為參考狀態(tài)yFp圖3l則體系的總勢(shì)能為∵∴討論：（1）當(dāng)時(shí)，若y≠0，則Ep恒大于零。此時(shí)稱體系是正定的。此時(shí)總勢(shì)能取得駐值必為極小值。體系處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這就是最小勢(shì)能原理，即對(duì)于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，真實(shí)的位移使體系的總勢(shì)能Ep為極小值?？倓?shì)能與y的關(guān)系如圖(a)所示yEp(a)（2）當(dāng)時(shí)，若y≠0，則Ep恒小于零。此時(shí)稱體系是負(fù)定的。此時(shí)總勢(shì)能取得駐值必為極大值?？倓?shì)能與y的關(guān)系如圖(b)所示，體系處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。在y=0處有橫向干擾力作用，就會(huì)迅速傾覆。yEp(b)（3）當(dāng)時(shí)，總勢(shì)能Ep恒為零?？倓?shì)能與y的關(guān)系如圖(c)所示，體系處于中性的平衡狀態(tài)。稱處于這一臨界狀態(tài)的荷載為臨界荷載，記。此時(shí)，在y=0處有微小的橫向干擾力作用，會(huì)體系在新的傾斜位置上維持新的平衡。yEp(c)

以上討論最簡(jiǎn)單的單自由度體系情況，對(duì)于多自由度體系或彈性體情況要復(fù)雜些，但下面的結(jié)論是共性的當(dāng)體系處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)時(shí)，其總勢(shì)能必為極小值。當(dāng)體系處于中性的平衡狀態(tài)時(shí)，其總勢(shì)能增量必為零。利用上述結(jié)論，可以確定體系的臨界荷載由得（14-2）如果已知臨界狀態(tài)體系的變形或位移，代入上式即可確定體系的臨界荷載。若是近似的變形或位移，則所求得的臨界荷載為近似值。假如體系的自由度大于1，則滿足(14-2）式的Fp值不止一個(gè)，其中最小者就是所求的臨界荷載，即（14-3）上式就是能量法確定臨界荷載的基本依據(jù)。下面椐此推導(dǎo)受壓直桿穩(wěn)定（屬于無(wú)限自由度體系）問題的臨界荷載具體形式。如圖5所示彈性直桿Fp圖5yx當(dāng)達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)，則對(duì)于任一可能位移有上式中為壓桿彎曲后，所增加的應(yīng)變能（壓縮變形能在初始狀態(tài)也存在）。由于處于中性平衡狀態(tài)，給桿一個(gè)微小的彎曲變形，則∵∴dsdsdx又∵∴(14-4)例1

如圖示壓桿，用能量法求其臨界荷載。Fpl解在材料力學(xué)中，已求得臨界荷載的精確解為yx設(shè)：彈性失穩(wěn)曲線為該曲線滿足全部的位移和力的邊界條件?！摺嗌鲜鼋Y(jié)果表明，所設(shè)彈性失穩(wěn)曲線恰好為真實(shí)的失穩(wěn)曲線，故所得結(jié)果為精確解。如設(shè)彈性失穩(wěn)曲線為懸臂梁的撓曲線，即可以求得這個(gè)近似解比精確解大約1.3%例2

如圖示兩端鉸支壓桿，用能量法求其臨界荷載。Fpl解在材料力學(xué)中，已求得臨界荷載的精確解為yx設(shè)：彈性失穩(wěn)曲線為該曲線滿足全部的位移和力的邊界條件?！摺嗌鲜鼋Y(jié)果表明，所設(shè)彈性失穩(wěn)曲線恰好為真實(shí)的失穩(wěn)曲線，故所得結(jié)果為精確解。如設(shè)彈性失穩(wěn)曲線為簡(jiǎn)支梁的撓曲線，即可以求得這個(gè)近似解比精確解大約0.1%

前面討論了最簡(jiǎn)單情況（等截面兩端剛性支承）壓桿臨界荷載確定方法。對(duì)于一般情況，一個(gè)函數(shù)并不能很好地反映失穩(wěn)曲線，此時(shí)，可采用級(jí)數(shù)解答。設(shè)：彈性失穩(wěn)曲線為（14-5）上式中，i(x)為滿足給定位移邊界條件的已知函數(shù)，ai為待定系數(shù)。

在實(shí)際計(jì)算時(shí)，一般只能求出臨界荷載的近似值，彈性失穩(wěn)曲線也很難找出精確表達(dá)式，因此，（14-5）式只能取有限項(xiàng)。設(shè)取前n項(xiàng)將其代入臨界荷載公式得這樣就把求臨界荷載問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍驠p的極值問題。Fp的極值條件為令：則由于B≠0，A/B=Fp

，則上式可改寫為因?yàn)閯tFp的極值條件可改寫為（14-6）其中（14-6）式是關(guān)于ai(i=1,2…n)的n階齊次線性方程組，有非零解的條件為（14-7）

將上式展開，即得一個(gè)關(guān)于Fp的n次代數(shù)方程，它有n個(gè)正實(shí)根，最小的一個(gè)即為所求的臨界荷載Fpcr

§14.3等截面直桿的臨界荷載

一剛性支承上等截面直桿的臨界荷載

常見的等截面直桿在剛性支承上的臨界荷載在材料力學(xué)中已求出，歸納如下為長(zhǎng)度系數(shù)Fp=1lFp=2Fp=0.7Fp=0.5Fp=1二彈性支承上等截面直桿的臨界荷載

工程中經(jīng)常會(huì)遇到彈性支承上的壓桿，對(duì)于該類壓桿穩(wěn)定問題的求解方法與剛性支承上的壓桿一樣，只是要復(fù)雜些。如圖示壓桿，采用靜力法求其臨界荷載。Fplkyx由得(a)其中(a)式的解為上式中A、B、為待定常數(shù)，由邊界條件確定由得(b)由得(c)由得(d)由(b)、(c)、(d)組成的關(guān)于未知量A

、B、的齊次線性方程組，有非零解的條件為將上式展開整理得或這就是所求的穩(wěn)定方程，解此超越方程即可獲得臨界荷載。對(duì)于一些工程中的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題可簡(jiǎn)化為此模型。如FpkFp1kkFp1kFpEA=三豎直桿在自重作用下的穩(wěn)定如圖所示結(jié)構(gòu)，在自重作用的穩(wěn)定性分析已有級(jí)數(shù)形式（-1/3階貝塞爾函數(shù)）的精確解。qlxya下面采用能量法求其近似解。設(shè)：則下面計(jì)算外力功，取出微段dx，則該微段因彎曲引起的軸向下降距離為dsdsdx于是該微段上部重量所做的功為則全部自重所做的功為由得這個(gè)近似解比精確解大約5.9%若取級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng)可以求得這個(gè)近似解僅比精確解大約0.013%，精度顯著提高。§14.4變截面直桿的臨界荷載

下面用靜力法討論階梯壓桿的臨界荷載，如圖所示階梯壓桿l1l2lEI1EI2xy令上部壓桿任一截面的側(cè)移為y1，下部壓桿任一截面的側(cè)移為y2。則這兩部分壓桿的撓曲控制方程為(a)(a)式的解為(b)其中上述解共含有A1、B1、A2、B2和五個(gè)待定量，它們可由邊界條件確定由得(c)由得(d)由得(e)由得(f)由得(g)由上述5式組成的關(guān)于A1、B1、A2、B2和的齊次線性方程組，有非零解的條件為其系數(shù)矩陣的行列式為零，即展開得利用l=l1+l2及相應(yīng)的三角函數(shù)公式上式整理可得或這就是所求的穩(wěn)定方程，解此超越方程即可獲得臨界荷載。對(duì)于其它形式的變截面壓桿可采用類似的方法處理，也可采用能量法求其近似解。結(jié)構(gòu)力學(xué)

第14章結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定計(jì)算主要內(nèi)容1基本概念2臨界荷載的確定3等截面直桿的臨界荷載4變等截面直桿的臨界荷載5偏心受壓直桿的穩(wěn)定6剪力對(duì)臨界荷載的影響7組合壓桿的穩(wěn)定8剛架的穩(wěn)定計(jì)算§14.5偏心受壓直桿的穩(wěn)定

如圖所示等截面直桿，受偏心壓力Fp作用。Fpleyx

建立如圖所示坐標(biāo)系則任一截面的彎矩為彈性曲線的近似微分方程為或(a)其中(a)式的解為(b)其中A、B為待定常數(shù)，由邊界條件確定由得由得因此，(c)由上式可知，當(dāng)nl=時(shí)，除了x=0,l截面外，y。此時(shí)的荷載即為臨界荷載。故與中心受壓桿臨界荷載相同。對(duì)于梁中點(diǎn)的撓度，由(c)式（x=l/2）得yl/2Fp關(guān)系曲線如圖所示。Fpyl/2e=0Fpeyl/2Fp關(guān)系曲線e1e2e2>e1>0Fpyl/2e=0Fpeyl/2Fp關(guān)系曲線e1e2e2>e1>0由圖可知(a)

yl/2Fp關(guān)系曲線是非線性的；是yl/2Fp關(guān)系曲(b)線的漸進(jìn)線；(c)e愈大，曲線偏離漸進(jìn)線愈大。必須指出，上述結(jié)論只是理論上的，因?yàn)榧俣ㄗ冃问蔷€彈性、小變形的與真實(shí)情況相差較大。實(shí)際情況如下圖所示，當(dāng)時(shí)Fp<Fpe，壓桿已喪失了穩(wěn)定。Fpyl/2e=0Fpe真實(shí)yl/2Fp關(guān)系曲線e1e2e2>e1>0§14.6剪力對(duì)臨界荷載的影響

如圖所示壓桿xyFpl設(shè)：yM表示彎矩所產(chǎn)生的撓度，yQ表示由于剪力影響所產(chǎn)生的附加撓度。則對(duì)上式兩邊求兩次導(dǎo)得(a)由撓曲線近似微分方程得(b)剪力引起的桿軸線附加角位移為由第6章知，（k為截面形狀系數(shù)）則由上式得(c)又∵∴(d)把(b)、(d)代入(a)整理可得(e)其中(e)(e)式的解為(f)由得由得最小值為ml=，由此得臨界荷載為(g)由上式可解得式中無(wú)剪力影響時(shí)的歐拉臨界荷載對(duì)于鋼材，G=80GPa，歐拉臨界應(yīng)力e=200MPa，則

說(shuō)明在實(shí)體結(jié)構(gòu)中，剪力的影響是很小的，通?？陕匀ゲ挥?jì)。也可采用能量法來(lái)討論剪力的影響，設(shè)彈性曲線為取無(wú)彎曲狀態(tài)勢(shì)能為零，則∵∴外力功為由得即結(jié)果相同?！?4.7組合壓桿的穩(wěn)定問題

常見的組合壓桿有綴條式和綴板式兩種，如圖所示。綴條式綴板式FpFp

綴條式組合壓桿綴條是由斜桿和橫桿組成，一般采用單個(gè)角鋼，它們與主要構(gòu)件（兩邊槽鋼）的連接一般可看作鉸接。

綴板式組合壓桿一般情況下無(wú)斜桿，綴板與主要構(gòu)件（兩邊槽鋼）的連接一般看作剛接。

關(guān)于組合壓桿的臨界荷載精確解目前還沒有，這一問題的近似解是由鐵摩辛柯（S.PTimoshenko）提出的。一綴條式組合壓桿

取出一個(gè)節(jié)間綴條式組合壓桿如圖所示。FQ=1FQ=1dbApAq①②③則在單位力FQ=1作用下，綴條變形產(chǎn)生的剪變形為式中11為FQ=1時(shí)，沿其方向上所引起的位移。由于各桿鉸接。則在綴條式組合壓桿中，剪力主要由綴條承擔(dān)，因此，上式計(jì)算時(shí)僅考慮綴條的影響?！咻S力：∴則在上節(jié)中曾推導(dǎo)了剪力對(duì)臨界荷載的影響，結(jié)論為其中為單位剪力作用時(shí)所產(chǎn)生的剪變形。用代替，即可得近似的綴條式組合壓桿的臨界荷載公式為式中注意：在計(jì)算歐拉臨界荷載時(shí)，I只需考慮兩邊主要構(gòu)件（如槽鋼）對(duì)形心的慣性矩即可，不必考慮綴條，因綴條承擔(dān)剪力。二綴板式組合壓桿

綴板式組合壓桿可視為單跨雙層剛架。并近似地認(rèn)為主要構(gòu)件的反彎點(diǎn)在節(jié)間中間，取出一節(jié)如圖所示。d/2bIbd/2Id1/21/21/21/2則在單位力FQ=1作用下，綴板變形產(chǎn)生的剪變形為式中11為FQ=1時(shí)，沿其方向上所引起的位移。圖因此與綴條式組合壓桿推導(dǎo)相同，可得其中從2的表達(dá)式可以看出，2隨著間距d的減小而增大，當(dāng)d=0時(shí)，2=1與實(shí)體結(jié)構(gòu)相同。

在一般情況下，綴板的剛度要比主要構(gòu)件（如兩邊的槽鋼）大的多，因此，可取EIb=∞，于是臨界荷載計(jì)算公式可近似地簡(jiǎn)化為§14.8剛架的穩(wěn)定計(jì)算

這里僅考慮剛架在結(jié)點(diǎn)處承受集中荷載且結(jié)構(gòu)喪失穩(wěn)定前各桿只有軸向變形而無(wú)彎曲變形的情況。在此條件下，剛架失穩(wěn)屬于第一類穩(wěn)定問題。如圖所示承受結(jié)點(diǎn)荷載作用剛架Fp2Fp1當(dāng)荷載達(dá)到臨界值時(shí)，在微小的干擾力作用下，將產(chǎn)生彎曲變形，當(dāng)干擾力撤除后，并在新的彎曲變形狀態(tài)下維持平衡。

確定結(jié)構(gòu)臨界荷載，一般而言，采用位移法較為方便。其基本原理與第8章基本相同，所不同之處是在轉(zhuǎn)角位移方程中增加考慮軸力的影響。一考慮軸力影響的等截面直桿轉(zhuǎn)角位移方程

FplFpABEI取出受壓直桿如圖所示FpAB(a)FpFQABFQBAMABMBAxy由得任一截面的彎矩為則彈性曲線的微分方程為(a)令：則(a)式整理得(b)(b)式的通解為(c)上式四個(gè)待定量C1、C2、MAB和FQ由邊界條件確定由得(d)由得(e)由得(f)由得(g)注意到，利用上述四式可解得（14-8）上式中，i為線剛度，、、和為考慮軸向力效應(yīng)的修正系數(shù)。容易證明（應(yīng)用洛畢塔法則），當(dāng)Fp0，u0時(shí)此時(shí)為普通情況下的轉(zhuǎn)角位移方程。二討論：若A端鉸支，B端固定

如圖所示FplFpABEIFpBFpFQABFQBAMBAxy此時(shí)有MAB=0在（14-8）式的第一式令MAB=0得（14-8）將其代回（14-8）式的第二、三式得（14-9）其中：（14-