土木工程材料第八章

1§8-4扭轉和彎曲的組合變形

機械中的許多構件在工作時往往發(fā)生扭轉與彎曲的組合變形，而且它們多半是實心或空心圓截面桿，圖中所示傳動軸便是一種典型的情況。土建工程中發(fā)生扭－彎組合變形的桿件往往是非圓截面的。2本節(jié)講述圓截面桿發(fā)生扭－彎組合變形時的強度計算。

圖a所示由塑性材料制造的曲拐在鉛垂外力作用下，其AB桿的受力圖如圖b所示。該桿為直徑為d的圓截面桿。3

圖c、d示出了AB桿的彎矩圖（M圖）和扭矩圖（T圖）。由于扭－彎組合變形情況下不考慮剪力對強度的影響，故未示出剪力圖（FS圖）。該AB桿的危險截面為固定端處的A截面。4

危險截面上彎曲正應力在與中性軸C3C4垂直方向的變化如圖e，扭轉切應力沿直徑C3C4和C1C2的變化如圖f。

由此可知危險截面上的危險點為C1和C2。由于桿的材料是拉壓許用應力相等的塑性材料，C1和C2兩點的危險程度相同，故只需對其中的一個點作強度計算即可。5

圍繞點C1以桿的橫截面、徑向縱截面和切向縱截面取出單元體，其各面上的應力如圖g所示，而6點C1處于平面應力狀態(tài)，其三個主應力為按第三強度理論作強度計算，相當應力為(a)按第四強度理論作強度計算，相當應力為(b)強度條件為或7究竟按哪個強度理論計算相當應力，在不同設計規(guī)范中并不一致。注意到發(fā)生扭－彎變形的圓截面桿，其危險截面上危險點處：為便于工程應用，將上式代入式(a)、(b)可得：式中，M和T分別為危險截面上的彎矩和扭矩，W為圓截面的彎曲截面系數(shù)。8

需要注意的是，以上所述對于傳動軸的強度計算是靜力強度計算，只能用于傳動軸的初步設計，此時[s]的值取得也比較低。事實上，傳動軸由于轉動，危險截面任何一點處的彎曲正應力是隨軸的轉動交替變化的。這種應力稱為交變應力（alternatingstress），工程設計中對于在交變應力下工作的構件另有計算準則。9

圖a所示鋼制實心圓軸其上的兩個齒輪上作用有切向力和徑向力，齒輪C的節(jié)圓（齒輪上傳遞切向力的點構成的圓）直徑dC=400mm,齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200mm。已知許用應力

[s]=100MPa。試按第四強度理論求軸的直徑。例題8-510

將作用在齒輪上的切向力向軸的形心簡化，傳動軸的受力圖如圖b所示，在水平荷載作用下，軸將在xy平面內彎曲，彎矩Mz圖如圖c所示；在豎直荷載作用下，軸將在xz平面內彎曲，彎矩My圖如圖d所示；彎矩圖均畫在受拉側，不注明正負。在兩個力偶矩作用下，軸產生扭轉，扭矩T圖如圖e所示。1.軸的受力圖和內力圖例題8-5解:112.確定危險截面及危險截面上的內力由于圓截面的任何形心軸均為形心主慣性軸，且形心主慣性矩相同，故可將同一截面上的彎矩Mz和My按矢量相加，即B截面上的總彎矩MB(圖g)為：例題8-512并且由扭矩圖可見B截面上的扭矩與C截面上相同，TB＝-1000N·m，于是判定橫截面B為危險截面。C截面的總彎矩為例題8-513

根據(jù)MB和TB按第四強度理論建立的強度條件為即亦即于是得3.求軸的直徑例題8-514§8-5連接件的實用計算法

圖a所示螺栓連接主要有三種可能的破壞：Ⅰ.螺栓被剪斷(參見圖b和圖c)；Ⅱ.螺栓和鋼板因在接觸面上受壓而發(fā)生擠壓破壞（螺栓被壓扁，鋼板在螺栓孔處被壓皺）(圖d)；Ⅲ.鋼板在螺栓孔削弱的截面處全面發(fā)生塑性變形。

實用計算法中便是針對這些可能的破壞作近似計算的。15(1)剪切的實用計算

在實用計算中，認為連接件的剪切面（圖b、c）上各點處切應力相等，即剪切面上的名義切應力為式中，F(xiàn)S為剪切面上的剪力，As為剪切面的面積。其中的許用應力則是通過同一材料的試件在類似變形情況下的試驗（稱為直接試驗）測得的破壞剪力也按名義切應力算得極限切應力除以安全因數(shù)確定。強度條件16(2)擠壓的實用計算

在實用計算中，連接件與被連接件之間的擠壓應力（bearingstress）是按某些假定進行計算的。

對于螺栓連接和鉚釘連接，擠壓面是半個圓柱形面（圖b），擠壓面上擠壓應力沿半圓周的變化如圖c所示，而最大擠壓應力sbs的值大致等于把擠壓力Fbs除以實際擠壓面（接觸面）在直徑面上的投影。17故取名義擠壓應力為式中，d為擠壓面高度，d為螺栓或鉚釘?shù)闹睆健?8擠壓強度條件為其中的許用擠壓應力[sbs]也是通過直接試驗，由擠壓破壞時的擠壓力按名義擠壓應力的公式算得的極限擠壓應力除以安全因數(shù)確定的。

應該注意，擠壓應力是連接件與被連接件之間的相互作用，因而當兩者的材料不同時，應校核許用擠壓應力較低的連接件或被連接件。工程上為便于維修，常采用擠壓強度較低的材料制作連接件。19(3)拉伸的實用計算

螺栓連接和鉚釘連接中，被連接件由于釘孔的削弱，其拉伸強度應以釘孔中心所在橫截面為依據(jù)；在實用計算中并且不考慮釘孔引起的應力集中。被連接件的拉伸強度條件為式中：FN為檢驗強度的釘孔中心處橫截面上的軸力；A為同一橫截面的凈面積，圖示情況下A=(b–d)d。{{FbsFNdbssd20

當連接中有多個鉚釘或螺栓時，最大拉應力smax可能出現(xiàn)在軸力最大即FN=FN,max所在的橫截面上，也可能出現(xiàn)在凈面積最小的橫截面上。21§8-6鉚釘和螺栓連接的計算螺栓連接示例22

鉚釘連接主要有三種方式：1.搭接（圖a），鉚釘受單剪；2.單蓋板對接（圖b），鉚釘受單剪；3.雙蓋板對接（圖c），鉚釘受雙剪。23

實際工程結構的鉚釘連接都用一組鉚釘來傳力，在此情況下，由于鉚釘和被連接件的彈性變形，所以鉚釘組中位于兩端的鉚釘所傳遞的力要比中間的鉚釘所傳遞的力大。

但為了簡化計算，并考慮到鉚釘和被連接件都將發(fā)生塑性變形，在實用計算中如果作用于連接上的力其作用線通過鉚釘組中所有鉚釘橫截面的形心，而且各鉚釘?shù)牟牧虾椭睆骄嗤瑒t認為每個鉚釘傳遞相等的力。24

搭接和單蓋板對接的鉚釘連接中，鉚釘會發(fā)生彎曲，被連接件會發(fā)生局部彎曲，在實用計算中對此不加考慮。

銷釘連接和螺栓連接的分析計算方法與鉚釘連接相同。至于在螺栓連接中使用高強度螺栓，將螺帽擰得很緊以利用螺栓的預緊力藉鋼板之間的摩擦力來傳遞連接所受外力，則不屬于這里討論的范圍。25Ⅰ.作用于連接上的力其作用線通過鉚釘組形心

此情況下每一鉚釘所傳遞的力可認為相等，F(xiàn)i=F/n。據(jù)此進行鉚釘剪切強度和擠壓強度的計算；對被連接件進行擠壓強度計算，并按危險截面進行拉伸強度計算。26

某鋼桁架的一個節(jié)點如圖a所示。斜桿A由兩根63mm×6mm的等邊角鋼組成，受軸向力F=140kN作用。該斜桿用直徑為d=16mm螺栓連接在厚度為10mm的結點板上，螺栓按單行排列。已知角鋼、結點板和螺栓材料均為Q235鋼，許用應力為[s]=170MPa,[t]=130MPa,[sbs]=300

MPa。試選擇所需的螺栓個數(shù)，并校核角鋼的拉伸強度。例題8-7271.按剪切強度條件選擇螺栓個數(shù)

由于此連接中各螺栓的材料和直徑相同，且斜桿上的軸向力其作用線通過該組螺栓的截面形心，故認為每個螺栓所受的力相等，設螺栓個數(shù)為n，則每個螺栓所受的力為F/n。例題8-7解:28從而求得所需的螺栓個數(shù)：n=3取螺栓的剪切強度條件為

此連接中的螺栓受雙剪（圖b），每個剪切面上的剪力為例題8-7292.校核擠壓強度

由于結點板的厚度（10mm）小于兩根角鋼肢厚度之和（2×6mm）,所以應校核螺栓與結點板之間的擠壓強度。每個螺栓所傳遞的力為

F/n，亦即每個螺栓與結點板之間的擠壓壓力為例題8-730而擠壓應力為

其值小于許用擠壓應力[sbs]=300MPa，滿足擠壓強度條件。例題8-731

斜桿上三個螺栓按單行排列（圖b）。圖c示出了該斜桿（含兩角鋼）的受力圖和軸力FN圖。3.校核角鋼的拉伸強度

該斜桿在圖c中所示的m-m截面上軸力最大，而凈截面面積又最小，故為危險截面。例題8-732該截面上：FN,max=F=140kN由型鋼規(guī)格表可查得每根

63mm×6mm等邊角鋼的橫截面面積為7.29cm2，故危險截面的凈面積為A=2×(729mm2－

6mm×16mm)=1266mm2從而得危險截面上的拉伸應力：其值小于許用拉應力[s]=170MPa，滿足拉伸強度條件。例題8-733

在計算m-m截面上的拉應力時應用了軸向拉伸的正應力公式，實際上，由于角鋼上的螺栓孔，使橫截面發(fā)生應力集中現(xiàn)象。但考慮到桿的材料為Q235鋼，具有良好的塑性，當桿接近破壞時，危險截面m-m上各部分材料均將達到屈服，各點處的正應力趨于相等，故假設該截面上各點處的正應力相等是可以的。例題8-734

由兩根鋼軌鉚接成的組合梁，其連接情況如圖a，b

所示。在所研究的梁段內，剪力FS=50

kN為常值。試校核鉚釘?shù)募羟袕姸取?/p>

已知：(a)每根鋼軌橫截面的幾何性質為:面積A1＝8000mm2，形心距軌底的高度c=80mm，對于自身形心軸z1的慣性矩Iz1=1600×104mm4；(b)鉚釘?shù)闹睆絛=20mm，縱向間距s=150mm，許用切應力[t]=95MPa。不考慮上、下兩鋼軌間的摩擦。例題8-835圖d示出了長度為鉚釘?shù)目v向間距s的一段梁，其

上面鋼軌的兩側橫截面上的彎曲正應力和它們組成的合力FT和FT1。1.鉚釘所受剪力的分析例題8-8解:36

這兩個合力之差FT1-FT

就是兩個鉚釘所共同承受的剪力，它等于每個鉚釘承受的剪力的兩倍，。例題8-837

以A1表示一根鋼軌的橫截面面積。長度為斜的一段梁的左、右兩個橫截面上的彎矩分別為M和M+FSs則FT

和FT1的算式為2.計算鉚釘所受的剪力例題8-838式中，為一根鋼軌的橫截面面積A1對于組合梁中性軸z的靜矩。從而有每個鉚釘承受的剪力為例題8-8393.為計算

的值，先計算和

Iz

的值。例題8-840于是有例題8-8414.鉚釘剪切面上的切應力為故鉚釘滿足剪切強度條件。例題8-842

對于受偏心荷載F的鉚釘連接（或螺栓連接）（圖a），亦即作用于連接上的力其作用線不通過鉚釘組的形心O時，可如圖b所示，簡化為通過形心O的力和力偶矩Me=F·e。II.作用于連接上的力其作用線不通過鉚釘組形心43

若鉚釘組中各鉚釘?shù)牟牧虾椭睆蕉枷嗤瑒t由于力F引起的作用在任意鉚釘i上的力均為(1)其方向垂直于該鉚釘中心與鉚釘組形心O的連線；(2)其大小與該連線的長度成正比（將連接板視為剛體），即

而由于力偶矩Me引起的作用在鉚釘i上的力(圖b):44于是由靜力關系可導得：即故45

作用在鉚釘i上總的力Fi

則為的矢量和。進行鉚釘?shù)募羟袕姸群蛿D壓強度計算時，應對受力最大的鉚釘進行。46

圖a所示鉚釘搭接的托架受集中力F=12kN作用，鉚釘直徑

d=20mm。試求受力最大的鉚釘其剪切面上的切應力。例題8-9471.將外力F向鉚釘組的形心O簡化，得力F和力偶矩MexyFO例題8-9解:482.確定鉚釘組形心O至每一鉚釘中心的距離ri（參見圖b）：例題8-949例題8-9503.確定鉚釘組的幾何量：例題8-9514.計算各鉚釘所受的力（圖b）由于力偶矩Me，產生的各鉚釘?shù)募袅Ψ謩e為由于力F通過鉚釘組形心O，所以每個鉚釘所受的力相等，即例題8-952