短時(shí)傅立葉變換

短時(shí)傅立葉變換連續(xù)短時(shí)傅立葉變換離散短時(shí)傅立葉變換利用Matlab提供的函數(shù)仿真傅立葉變換及其局限性傅立葉變換局限性時(shí)域和頻域的性能無(wú)法同時(shí)進(jìn)行觀(guān)察不能反映局部信息短時(shí)傅立葉變換為了同時(shí)觀(guān)察信號(hào)在時(shí)域和頻域的特征,同時(shí)為了研究信號(hào)在局部時(shí)間范圍內(nèi)的頻域特征,1946年Gabor提出了短時(shí)傅立葉變換(ShortTimeFourierTransform，STFT）的概念。基本思想：用一個(gè)具有適當(dāng)寬度的滑動(dòng)窗函數(shù)從信號(hào)中提取一段做傅立葉變換與傅立葉變換的對(duì)比傅立葉變換短時(shí)傅立葉變換短時(shí)傅立葉變換τx(τ)0FTFTFTΩ0ft2t3t1STFT的基本性質(zhì)時(shí)移性頻移性若，則若，則短時(shí)傅立葉反變換表達(dá)式與傅立葉反變換的比較STFT的時(shí)頻分辨率不確定性原理高時(shí)間分辨率要求一個(gè)窄時(shí)寬的窗

高頻率分辨率要求一個(gè)窄帶寬的窗但二者之間存在矛盾STFT的時(shí)頻分辨率時(shí)頻分辨率為窗口的面積t1t2Ω2Ω1例1Hamming窗，寬度13例1Hamming窗，寬度13(三維)從t軸看從f軸例1Hamming窗，寬度5例1Hamming窗，寬度5(三維)從t軸看從f軸例1Hamming窗，寬度81Hamming窗，寬度81(三維)從t軸看從f軸看例2三種不同頻率(0.1,0.25,0.4)的調(diào)頻信號(hào)窗寬13窗寬13(三維)窗寬5窗寬5(三維)窗寬51窗寬51(三維)例3包含兩相同頻率的信號(hào)相同頻率不同時(shí)間例3例3相同時(shí)間不同頻率例3離散短時(shí)傅立葉變換當(dāng)我們要在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)一個(gè)信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換時(shí)，該信號(hào)必須是離散的設(shè)給定的信號(hào)為x(n),n=0,1…M-1,對(duì)應(yīng)式(*)有信號(hào)x(t)的離散傅立葉變換公式為：離散短時(shí)傅立葉變換

式中N是在時(shí)間軸上窗函數(shù)移動(dòng)的步長(zhǎng)，ω是圓周頻率。該式對(duì)應(yīng)傅立葉變換中的DTFT，即時(shí)間是離散的，而頻率是連續(xù)的。為了在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，應(yīng)將頻率ω離散化。離散短時(shí)傅立葉變換 令則令離散短時(shí)傅立葉變換 顯然，上式是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的M點(diǎn)DFT。若窗函數(shù)的寬度正好也是M點(diǎn)，那么上式可寫(xiě)成而信號(hào)x(t)的離散傅立葉變換公式為：離散短時(shí)傅立葉變換若的寬度小于M，那么可將其補(bǔ)零，使之變成M;若的寬度大于M，則應(yīng)增大M使之等于窗函數(shù)的寬度；總之，上式為一標(biāo)準(zhǔn)DFT，時(shí)域、頻域的長(zhǎng)度都是M點(diǎn)。

離散短時(shí)傅立葉變換式中N的大小決定了窗函數(shù)沿時(shí)間軸移動(dòng)的間距，N越小，上面各式中m的取值越多，得到的時(shí)－頻曲線(xiàn)越密。小結(jié)STFT的優(yōu)點(diǎn)

包含了信號(hào)時(shí)域和頻域的全部信息反映信號(hào)的局部特征STFT的局限性分辨率在時(shí)間-頻率下面的