現(xiàn)代信號(hào)處理03-4-5

第三章

隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì)Wednesday,February1,20231四、MA模型譜估計(jì)2MA模型譜估計(jì)MA譜估計(jì)以全零點(diǎn)模型為基礎(chǔ)，將其用于估計(jì)窄帶譜時(shí)得不到高分辨率，但用于MA隨機(jī)過(guò)程時(shí)，由于MA隨機(jī)過(guò)程的功率譜本身具有寬峰窄谷的特點(diǎn)，故能得到精確估計(jì)。對(duì)于ARMA模型差分方程其中，輸入激勵(lì)u(n)是均值為0、方差為的白噪聲序列。輸出功率譜和輸入功率譜之間存在下列關(guān)系(1)3MA模型譜估計(jì)由式(1)可得對(duì)上式兩端取逆Z變換，分別得到這里，假設(shè)h(n)是實(shí)序列。由上兩式得到h(n)是因果序列，即n<0時(shí)h(n)＝0，故上式右端有(2)(3)4MA模型譜估計(jì)將式(3)代入式(2)，得這就是ARMA模型參數(shù)與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式。當(dāng)a0=1且ak=0(k=1,2,…,p)時(shí)，由式(4)可得出MA模型參數(shù)與信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式。注意此時(shí)h(k)=bk,故有(4)(5)BACKBACK5MA模型譜估計(jì)另一方面，對(duì)于MA(q)模型，有考慮到式(5)及，故上式可寫(xiě)成這意味著，MA(q)模型譜估計(jì)實(shí)際上不需要估計(jì)模型參數(shù)bk，只要根據(jù)已知數(shù)據(jù)估計(jì)出時(shí)的自相關(guān)函數(shù)，即可得到功率譜估計(jì)(6)(7)BACK6五、ARMA模型譜估計(jì)7ARMA模型譜估計(jì)當(dāng)采用AR模型譜估計(jì)方法，特別是采用Burg法時(shí)，能得到可靠的高分辨率估計(jì)。但當(dāng)噪聲污染了數(shù)據(jù)時(shí)，只有采用ARMA模型才能獲得良好的譜估計(jì)。采用ARMA模型，以較少的模型參數(shù)就能改善AR譜估計(jì)的性能。ARMA模型參數(shù)與自相關(guān)函數(shù)間的關(guān)系由式(4)確定，將其中的第二個(gè)方程寫(xiě)成如下展開(kāi)形式：利用上式，如知道一定范圍的自相關(guān)函數(shù)可求出自回歸系數(shù){ak}，但無(wú)助于求取滑動(dòng)平均系數(shù){bk}，k＝1,2,…,q.(8)8ARMA模型譜估計(jì)一個(gè)可靠的解法是：構(gòu)造一個(gè)m>q的超定線性方程組，然后利用最小二乘方法來(lái)解這個(gè)超定方程組。為此，寫(xiě)出方程式中，是估計(jì)得到的自相關(guān)序列，可以是有偏估計(jì)也可以是無(wú)偏估計(jì)。然后按均方誤差最小準(zhǔn)則來(lái)確定自回歸系數(shù)，即解此最小二乘方問(wèn)題，便可得到一組以作為未知數(shù)的線性方程。這種方法稱(chēng)為最小二乘方修正Y-W方法。如何解決{bk}的問(wèn)題？9ARMA模型譜估計(jì)自回歸系數(shù)估計(jì)出來(lái)后，得到一個(gè)系統(tǒng)序列x(n)經(jīng)過(guò)這個(gè)FIR系統(tǒng)濾波，得到一個(gè)輸出序列ARMA(p,q)模型與系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，近似于模型B(z)。因此，可以利用輸出序列v(n)估計(jì)其自相關(guān)序列，并按MA(q)模型譜估計(jì)的公式(7)來(lái)得到MA譜，即這里估計(jì)MA譜并不要求計(jì)算{bk}參數(shù)。是MA模型的自相關(guān)函數(shù)式(5)的一種估計(jì)。如何解決{bk}的問(wèn)題？10ARMA模型譜估計(jì)得到MA譜估計(jì)后，利用下式即可求得ARMA譜估計(jì)或11首先計(jì)算AR模型參數(shù)。利用AR模型對(duì)x(n)濾波得到v(n)利用v(n)計(jì)算MA模型功率譜。ARMA模型的功率譜估計(jì)總結(jié)12五、基于子空間特征值分析的功率譜估計(jì)13基于子空間特征值分析的功率譜估計(jì)目標(biāo)信號(hào)：已知在白噪聲中的M個(gè)負(fù)指數(shù)序列和的N個(gè)采樣值

和需要估計(jì).

whereareuncorrelatedrandomvariablesthatuniformlydistributedovertheinterval14白噪聲中單個(gè)復(fù)指數(shù)序列SignalautocorrelationmatrixNoiseautocorrelationmatrix15信號(hào)矢量：信號(hào)的自相關(guān)矩陣：因?yàn)榫仃嚨闹葹?，所以?xún)H有一個(gè)非零特征值16

的非零特征值:-對(duì)應(yīng)的特征向量-的非零特征值是厄米共軛矩陣，所以其他的特征向量與e1正交。17噪聲自相關(guān)矩陣是個(gè)滿(mǎn)秩矩陣18設(shè)為信號(hào)自相關(guān)矩陣的特征值，則

的特征值:-的特征值-的最大特征值-的其他特征值的特征向量與的相同，為19從的特征值和特征向量中提取信號(hào)參數(shù)的計(jì)算步驟:對(duì)自相關(guān)矩陣進(jìn)行特征值分解。其最大特征值等于

，其他特征值等于使用這些特征值計(jì)算功率和噪聲方差計(jì)算步驟203.從最大特征值所對(duì)應(yīng)特征矢量確定信號(hào)頻率例如，21令為自相關(guān)矩陣的噪聲特征矢量，即具有特征值的一個(gè)特征矢量；并且令為特征矢量的第i個(gè)成份。頻率估計(jì)方程:正交條件:頻率估計(jì)方程求取不同頻率點(diǎn)處的上述方程值。22分母在處將趨于0。因此頻率方程在處將趨于無(wú)窮大。這樣，理論上講頻率方程的峰值位置可以用來(lái)估計(jì)指數(shù)序列的頻率。然而，由于這個(gè)方法僅使用了一個(gè)特征向量，因此可能對(duì)于矩陣的估計(jì)誤差比較敏感。我們可以使用對(duì)所有噪聲特征矢量的加權(quán)平均來(lái)代替單個(gè)特征矢量。23例2:白噪聲中兩個(gè)復(fù)指數(shù)序列24為更精確描述上面分解，可以使用矩陣形式：P1,P2分別為第一個(gè)和第二個(gè)復(fù)正弦波的功率。25令和為矩陣的特征向量和特征值，并且把特征值按照降序排列：因,所以為特征值of26由于信號(hào)自相關(guān)矩陣秩為2，所以只有兩個(gè)非零特征值，并且他們都大于零（因?yàn)榉秦?fù)定）。這樣矩陣的特征向量和特征值可以分為兩個(gè)部分：第一部分包含大于的兩個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量（稱(chēng)為信號(hào)特征向量）。兩個(gè)向量張成一個(gè)子空間—信號(hào)子空間。第二部分包含那些等于的兩個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量（稱(chēng)為噪聲特征向量）。噪聲特征向量張成一個(gè)N-2維子空間—噪聲子空間。上面的定義有一點(diǎn)誤導(dǎo)：因?yàn)樵肼暢煞萃瑫r(shí)影響信號(hào)子空間和噪聲子空間27因厄米共軛，特征向量相互正交。因此，信號(hào)空間和噪聲空間是正交子空間。也就是說(shuō)，對(duì)信號(hào)子空間中的任一向量和噪聲子空間中的任一向量有下面成立：28不像單個(gè)復(fù)指數(shù)序列的例子，這里信號(hào)特征向量通常不再等于和.然而，和同樣位于由和張成的信號(hào)子空間內(nèi)。由于信號(hào)子空間和噪聲子空間正交，那么和同樣與噪聲特征矢量正交。（i>2）29我們?nèi)匀豢梢允褂蒙厦娴念l率方程得到對(duì)兩個(gè)頻率值的估計(jì)。30通用情況:一個(gè)廣義平穩(wěn)過(guò)程，在白噪聲中包含M個(gè)不同的復(fù)指數(shù)序列M個(gè)線性獨(dú)立的向量信號(hào)向量組成的N×M矩陣關(guān)于各個(gè)信號(hào)能量的對(duì)角陣31這里為矩陣的特征值。由于矩陣的秩為M，所以前M個(gè)特征值將大于，后個(gè)特征值將等于。因矩陣的特征值為32矩陣的特征值和特征向量可以分為兩個(gè)部分：2.噪聲特征向量1.信號(hào)特征向量有共同的對(duì)應(yīng)的特征值包含信號(hào)和噪聲二者的空間,所以白噪聲在無(wú)噪聲情況下對(duì)信號(hào)子空間的特征矢量的權(quán)值(特征值)產(chǎn)生影響.33假設(shè)特征向量已經(jīng)被模歸一化,我們可以以下面形式對(duì)矩陣進(jìn)行分解：34所有信號(hào)向量都位于信號(hào)子空間內(nèi)。由信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交性可以推出，信號(hào)向量正交于任何一個(gè)噪聲特征向量：這是噪聲子空間頻率的估計(jì)基礎(chǔ)35信號(hào)的頻率值可以使用頻率估計(jì)方程進(jìn)行估計(jì)：有兩種不同類(lèi)型的頻率估計(jì)方法基于以上的頻率估計(jì)方程:

Pisarenko

諧波分解

MUltiple

SIgnalClassification（MUSIC）(2)基于頻率估計(jì)方程的方法36思想：信號(hào)頻率值可以從自相關(guān)矩陣的對(duì)應(yīng)于最小特征值的特征向量處估計(jì)得到。PisarenkoHarmonicDecomposition

(PHD方法)37PHD方法缺點(diǎn)在于對(duì)于噪聲敏感（由于僅使用了一個(gè)特征向量），這限制了它的廣泛使用.假設(shè):

信號(hào)中復(fù)指數(shù)序列的數(shù)目M為已知

M+1個(gè)自相關(guān)序列的采樣已知或者可以被估計(jì)出來(lái)當(dāng)不知道復(fù)指數(shù)序列的確切數(shù)目時(shí)，使用這個(gè)方法需要格外小心。38對(duì)于一個(gè)M+1×M+1維的自相關(guān)矩陣，噪聲子空間的維數(shù)顯然為1，噪聲子空間是被對(duì)應(yīng)于最小特征值的特征向量所張成。將與每一個(gè)信號(hào)向量正交：39這樣對(duì)這個(gè)特征向量系數(shù)的傅利葉變換在每一個(gè)復(fù)指數(shù)序列的頻率點(diǎn)處取值為0.相應(yīng)的，噪聲矢量的z變換具有M個(gè)零點(diǎn)在單位圓上40與求取的零點(diǎn)相似，也可使用這是頻率估計(jì)方程的一個(gè)特殊形式，且和.峰值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率被作為復(fù)指數(shù)序列的頻率估計(jì).41盡管寫(xiě)為功率譜的形式，被叫做偽譜（或特征譜）。因?yàn)樗话魏侮P(guān)于復(fù)指數(shù)序列或者噪聲功率的信息。如何估計(jì)噪聲和復(fù)指數(shù)序列的功率呢？42假設(shè):信號(hào)子空間的特征向量已經(jīng)被規(guī)范化即功率估計(jì)對(duì)下式兩邊都左乘一個(gè)矢量得到4344Equation*注意，除P1,P2,…,PM之外，其他參數(shù)如各個(gè)頻率，以及噪聲方差都已經(jīng)求得。求解這個(gè)方程即可得到各個(gè)復(fù)指數(shù)序列的功率。45Step1:對(duì)于給定的一個(gè)白噪聲中M個(gè)復(fù)指數(shù)序列的隨機(jī)過(guò)程，找到其自相關(guān)矩陣的最小特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。Step2:令白噪聲功率為最小特征值。令復(fù)指數(shù)序列頻率等于特征向量的z變換計(jì)算步驟最靠近單位圓的M個(gè)零點(diǎn)的角度46或者下面頻率估計(jì)方程的M個(gè)峰點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率Step3:計(jì)算復(fù)指數(shù)序列的功率。求解現(xiàn)行方程組