2021-2022學(xué)年陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.2.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)3.為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計(jì)該店2017年每周六的銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點(diǎn)圖(軸表示氣溫,軸表示銷售量),由散點(diǎn)圖可知與的相關(guān)關(guān)系為()A.正相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為B.負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為C.負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為D.正相關(guān),相關(guān)負(fù)數(shù)的值為4.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),則()A. B.C. D.5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.6.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其曲線如圖所示,則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為()m.A.1 B. C. D.27.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.8.已知平面向量滿足,且,則所夾的銳角為()A. B. C. D.09.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.10.雙曲線:(),左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.11.在邊長(zhǎng)為2的菱形中,,將菱形沿對(duì)角線對(duì)折,使二面角的余弦值為,則所得三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.12.已知雙曲線:的焦點(diǎn)為,,且上點(diǎn)滿足,,,則雙曲線的離心率為A. B. C. D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上,點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上,則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________14.已知函數(shù),若的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________15.某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,且.某用戶購(gòu)買了件這種產(chǎn)品,則這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù)為_(kāi)________.16.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的向量分別是,,則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,求的面積的值(或最大值).已知的內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,三邊,,與面積滿足關(guān)系式:,且,求的面積的值(或最大值).18.(12分)設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.(1)求;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.19.(12分)某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn),預(yù)計(jì)該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價(jià)格)(單位:萬(wàn)元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.(1)求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本(即生產(chǎn)過(guò)程中一段時(shí)間的總成本對(duì)該段時(shí)間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù));(2)記每日生產(chǎn)平均成本求證:;(3)若財(cái)團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減,連續(xù)注入天,求證:這天的總投入資金大于億元.20.(12分)已知,函數(shù)有最小值7.(1)求的值;(2)設(shè),,求證:.21.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列前項(xiàng)的和.22.(10分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲,每次由一個(gè)小孩與其一位家長(zhǎng)參與,測(cè)試家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.在每一輪游戲中,主持人給出A,B,C,D四種食物,要求小孩根據(jù)自己的喜愛(ài)程度對(duì)其排序,然后由家長(zhǎng)猜測(cè)小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對(duì)四種食物排除的序號(hào)依次為xAxBxCxD,家長(zhǎng)猜測(cè)的序號(hào)依次為yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X來(lái)衡量家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.(1)若參與游戲的家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.(?。┣笏麄?cè)谝惠営螒蛑?,?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(簡(jiǎn)要說(shuō)明方法,不用寫出詳細(xì)計(jì)算過(guò)程);(2)若有一組小孩和家長(zhǎng)進(jìn)行來(lái)三輪游戲,三輪的結(jié)果都滿足X<4,請(qǐng)判斷這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣是否了解,說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

,,得解.【詳解】,,,所以,故選D【點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見(jiàn)的方法.2.B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,即可得到的單調(diào)區(qū)間,利用對(duì)稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍?!驹斀狻扛鶕?jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,有一定綜合性,屬于中檔題。3.C【解析】

根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念判斷.【詳解】由散點(diǎn)圖知隨著的增大而減小,因此是負(fù)相關(guān).相關(guān)系數(shù)為負(fù).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查變量的相關(guān)關(guān)系,考查正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的區(qū)別.掌握正負(fù)相關(guān)的定義是解題基礎(chǔ).4.C【解析】

當(dāng)時(shí),最多一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖,根據(jù)草圖可得.【詳解】當(dāng)時(shí),,得;最多一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,當(dāng),即時(shí),,在,上遞增,最多一個(gè)零點(diǎn).不合題意;當(dāng),即時(shí),令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn);根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn),在,上有2個(gè)零點(diǎn),如圖:且,解得,,.故選.【點(diǎn)睛】遇到此類問(wèn)題,不少考生會(huì)一籌莫展.由于方程中涉及兩個(gè)參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類討論,這一過(guò)程中有可能分類不全面、不徹底.5.C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得,再比較的大小,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).【詳解】依題意得,,當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,,即,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、冪、指、對(duì)的大小比較,以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.6.C【解析】

由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示,計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,可得.所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.7.A【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,同增異減以及采用排除法,可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí),,由在遞增,所以在遞增又是增函數(shù),所以在遞增,故排除B、C當(dāng)時(shí),若,則所以在遞減,而是增函數(shù)所以在遞減,所以A正確,D錯(cuò)誤故選:A【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷,關(guān)鍵在于對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解,記住常用的結(jié)論:增+增=增,增-減=增,減+減=減,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,屬中檔題.8.B【解析】

根據(jù)題意可得,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因?yàn)榧炊詩(shī)A角為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角,需掌握向量數(shù)量積的定義求法,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

求解不等式,得到集合A,B,利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.10.B【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程,再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,列方程即可求出,進(jìn)而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為,一條漸近線的方程為,由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,可得,所以漸近線方程為,即為,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程,考查了點(diǎn)到直線的距離公式,屬于中檔題.11.D【解析】

取AC中點(diǎn)N,由題意得即為二面角的平面角,過(guò)點(diǎn)B作于O,易得點(diǎn)O為的中心,則三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,列出方程即可得解.【詳解】如圖,由題意易知與均為正三角形,取AC中點(diǎn)N,連接BN,DN,則,,即為二面角的平面角,過(guò)點(diǎn)B作于O,則平面ACD,由,可得,,,即點(diǎn)O為的中心,三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,,,解得,三棱錐的外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形外接球表面積的求解,考查了空間想象能力,屬于中檔題.12.D【解析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出離心率.【詳解】依題意得,,,因此該雙曲線的離心率.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率,考查了運(yùn)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對(duì)稱,則點(diǎn)到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因?yàn)榕c互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對(duì)稱,設(shè)點(diǎn)為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題.14.【解析】

,可得在時(shí),最小值為,時(shí),要使得最小值為,則對(duì)稱軸在1的右邊,且,求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)時(shí),為二次函數(shù),要想在處取最小,則對(duì)稱軸要滿足并且,即,解得.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題,對(duì)每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論,找到每段的最小值,然后再對(duì)兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較,得到結(jié)果,題目較綜合,屬于中檔題.15.【解析】

直接計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:則質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù):故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正太分布中原則,審清題意,簡(jiǎn)單計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.16.【解析】試題分析:由坐標(biāo)系可知考點(diǎn):復(fù)數(shù)運(yùn)算三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.見(jiàn)解析【解析】

若選擇①,結(jié)合三角形的面積公式,得,化簡(jiǎn)得到,則,又,從而得到,將代入,得.又,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴,故的面積的最大值為,此時(shí).若選擇②,,結(jié)合三角形的面積公式,得,化簡(jiǎn)得到,則,又,從而得到,則,此時(shí)為等腰直角三角形,.若選擇③,,則結(jié)合三角形的面積公式,得,化簡(jiǎn)得到,則,又,從而得到,則.18.(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件,由此求得的值,進(jìn)而求得的大小.(2)利用正弦定理和兩角差的正弦公式,求得的表達(dá)式,進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題設(shè)知,,即,所以,即,又所以.(2)由題設(shè)知,,即,又為銳角三角形,所以,即所以,即,所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形,考查利用角的范圍,求邊的比值的取值范圍,屬于中檔題.19.(1);(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由此求得求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本.(2)將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,由此證得不等式成立.(3)利用(2)的結(jié)論,判斷出,由此結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算,證得.【詳解】(1)因?yàn)樗援?dāng)時(shí),(2)要證,只需證,即證,設(shè)則所以在上單調(diào)遞減,所以所以,即;(3)因?yàn)橛钟桑?)知,當(dāng)時(shí),所以所以所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查放縮法證明數(shù)列不等式,屬于難題.20.(1).(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)由絕對(duì)值三解不等式可得,所以當(dāng)時(shí),,即可求出參數(shù)的值;(2)由,可得,再利用基本不等式求出的最小值,即可得證;【詳解】解:(1)∵,∴當(dāng)時(shí),,解得.(2)∵,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),等號(hào)成立.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于中檔題.21.(1)(2)【解析】

(1)由基本量法,求出公比后可得通項(xiàng)公式;(2)求出,用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為又因?yàn)?,所以解得(舍)或所以,即?)據(jù)(1)求解知,,所以所以【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查裂項(xiàng)相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法,務(wù)必掌握.22.(1)(ⅰ)(ⅱ)分布表見(jiàn)解析;(2)理由見(jiàn)解析【解析】

(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的,家長(zhǎng)的排序有種等可能結(jié)果,利用列舉法求出其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,由此能求出他們?cè)谝惠営螒蛑?,?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率.

(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長(zhǎng)的排序一共有24種情況,由此能求出X的分布列.

(2)假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,在一輪游戲中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為,這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小,從而這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.【詳解】(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨

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