哈工大考研自動(dòng)控制5

自動(dòng)控制原理

第五章

線(xiàn)性系統(tǒng)的頻域分析

1基本概念

2乃氏圖及伯特圖的繪制

3乃氏判劇的八種形式退出4穩(wěn)定欲度5閉環(huán)頻率特性性能指標(biāo)退出線(xiàn)性系統(tǒng)的時(shí)域分析綜述頻率特性是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種工程方法。應(yīng)用頻率特性可以間接地分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。頻率特性法的突出優(yōu)點(diǎn)是組成系統(tǒng)的元件及被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型若不能直接從理論上推出和計(jì)算時(shí)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)直接求得頻率特性來(lái)分析系統(tǒng)的品質(zhì)。其次，應(yīng)用頻率特性法分析系統(tǒng)可以得出定性和定量的結(jié)論，并且有明顯的物理意義。在應(yīng)用頻率特性法分析系統(tǒng)時(shí)，可以利用曲線(xiàn)，圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，因此，用頻率特性法分析系統(tǒng)是很方便的。

退出本章是本書(shū)的重點(diǎn)，本章的重點(diǎn)有：乃氏圖的繪制；伯德圖的繪制；乃奎斯特穩(wěn)定判劇；系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。

退出退出基本概念1何謂乃氏（Nyquist）圖在復(fù)平面上，當(dāng)由變化時(shí)，向量端點(diǎn)的軌跡，稱(chēng)為幅相頻率特性圖即乃奎斯特圖通常又稱(chēng)為極坐標(biāo)圖，簡(jiǎn)稱(chēng)乃氏圖乃氏圖的優(yōu)點(diǎn)：它可以在一張圖上描繪出整個(gè)頻域的頻率響應(yīng)。不足之處是，不能明顯地表示出開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中每個(gè)單獨(dú)因子的作用。0～

退出退出2何謂尼氏（Nichols）圖尼氏圖又稱(chēng)為對(duì)數(shù)幅相圖，對(duì)數(shù)幅相圖采用直角坐標(biāo)系，其中取幅頻特性的對(duì)數(shù)為縱坐標(biāo)，單位為分貝（dB），線(xiàn)性分度，取相頻特性做橫坐標(biāo)單位為度（），線(xiàn)性分度，對(duì)數(shù)幅相圖是以頻率為參變量的。

退出退出3何謂伯德（Bode）圖對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)以頻率為橫坐標(biāo)，并采用對(duì)數(shù)分度；縱坐標(biāo)表示對(duì)數(shù)幅頻特性的函數(shù)，單位為分貝（dB），線(xiàn)性分度，對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)的橫坐標(biāo)與對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)相同；縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值單位為度（）線(xiàn)性分度，對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性組成的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，稱(chēng)之為伯德圖。退出退出4何謂頻率響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為頻率響應(yīng)。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)；閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)正弦輸入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為閉環(huán)頻率響應(yīng)；退出退出（1）其穩(wěn)態(tài)輸出也是與輸入信號(hào)頻率相同的正弦信號(hào)；（推倒P129）（2）穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)的幅值為，得稱(chēng)為系統(tǒng)的幅頻特性；（3）穩(wěn)態(tài)輸出相對(duì)正弦輸入的相移為稱(chēng)為系統(tǒng)的相頻特性，稱(chēng)為相位滯后，稱(chēng)為相位超前。在線(xiàn)性定常系統(tǒng)中，系統(tǒng)或元部件的正弦輸入信號(hào)為，當(dāng)頻率由0變化到時(shí)，則其輸出量的穩(wěn)態(tài)分量的復(fù)數(shù)形式與輸入量的復(fù)數(shù)形式之比，稱(chēng)為頻率特性。記為

退出5何謂最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)在s平面右半部沒(méi)有極點(diǎn)和零點(diǎn)的傳遞函數(shù)稱(chēng)為最小相位傳遞函數(shù)；反之，在s平面右半部有極點(diǎn)和零點(diǎn)的傳遞函數(shù)稱(chēng)為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱(chēng)為最小相位系統(tǒng)；反之，稱(chēng)為非最小相位系統(tǒng)。退出退出退出6何謂幅角定理在s平面上任選一封閉曲線(xiàn)，并使上每個(gè)點(diǎn)不包含的零點(diǎn)與極點(diǎn)，則映射到平面上也是一條封閉曲線(xiàn)。當(dāng)s順時(shí)針沿變化一周時(shí)，向量端點(diǎn)軌跡按順時(shí)針圍繞原點(diǎn)總?cè)?shù)等于封閉曲線(xiàn)內(nèi)包圍的零點(diǎn)數(shù)目與極點(diǎn)數(shù)目之差，其中，與是指在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)。退出退出

對(duì)的分析退出7何謂負(fù)穿越在乃氏圖上，開(kāi)環(huán)頻率特性，從上半部分穿過(guò)負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的下半部分，稱(chēng)為正穿越；開(kāi)環(huán)頻率特性從下半部穿過(guò)負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的上半部分，稱(chēng)為負(fù)穿越；起始于（或終止于）段的負(fù)實(shí)軸的正、負(fù)穿越稱(chēng)為正負(fù)半穿越；在伯特圖上，在幅值的區(qū)域內(nèi)，當(dāng)角頻率增加時(shí)，相頻特性曲線(xiàn)從下向上穿越線(xiàn)稱(chēng)為正穿越；相頻特性曲線(xiàn)從上向下穿越線(xiàn)稱(chēng)為負(fù)穿越；退出8何謂控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性在控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步表征其穩(wěn)定程度高低的概念，稱(chēng)為控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。退出5.2乃氏圖及伯特圖的繪制頻率響應(yīng)法是一種圖解法，因而簡(jiǎn)捷而準(zhǔn)確地作出滿(mǎn)足工程分析和設(shè)計(jì)需要的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線(xiàn)是非常重要的。幅相曲線(xiàn)主要用于判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故只需要概略地繪制，而對(duì)于對(duì)數(shù)頻率特性——伯特圖，工程上采用簡(jiǎn)便作圖法，即利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)和典型環(huán)節(jié)的頻率特性，繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性?！顺?乃氏圖的繪制（1）基本法1）作表格2）在復(fù)平面上找到相應(yīng)的點(diǎn)，用光滑曲線(xiàn)連起來(lái)。表5-1

幅相表………………退出（2）求實(shí)部、虛部分別計(jì)算的實(shí)部和虛部，在復(fù)平面上找到相應(yīng)點(diǎn)，用光滑曲線(xiàn)連起來(lái)。退出（3）找特殊點(diǎn)找到幾個(gè)特殊點(diǎn)繪制大致圖形若存在漸近線(xiàn)，找出漸近線(xiàn)，繪出幅相頻率特性圖，如果需要另半部分，可以用鏡像原理，做出全頻段的幅像特性圖

退出

典型環(huán)節(jié)的乃氏圖（幅相頻率圖）的繪制1比例環(huán)節(jié)退出

2積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)退出

3慣性環(huán)節(jié)和一階環(huán)節(jié)退出

證明寫(xiě)出實(shí)部與虛部各自的參量方程如下：退出

退出

4型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性

退出

退出

退出

退出

退出2伯特圖的繪制（1）將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)化為典型環(huán)節(jié)的連乘積形式；（2）找出每一個(gè)典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性的交接頻率與斜率；（3）在處作20lgk，在此基礎(chǔ)上作積分環(huán)節(jié)，然后按轉(zhuǎn)折頻率由小至大依次作出其它環(huán)節(jié)；（4）進(jìn)行必要的修正說(shuō)明：在繪制Bode圖時(shí)，一般慣性環(huán)節(jié)無(wú)特殊說(shuō)明不需要修正；而振蕩環(huán)節(jié)需要修正。退出（5）分別作出每個(gè)典型環(huán)節(jié)的相頻特性，然后疊加；或者先作對(duì)數(shù)相移計(jì)算表，然后在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上找到相應(yīng)點(diǎn)再用平滑曲線(xiàn)連接而成。退出1比例環(huán)節(jié)退出2積分環(huán)節(jié)退出3慣性環(huán)節(jié)退出4振蕩環(huán)節(jié)退出4振蕩環(huán)節(jié)退出退出4其他環(huán)節(jié)退出退出5.3乃氏判劇的八種形式1形式Ⅰ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)由變到時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性按逆時(shí)針?lè)较虬鼑?1，j0）點(diǎn)P周，P為位于s平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。退出退出退出退出退出7何謂負(fù)穿越在乃氏圖上，開(kāi)環(huán)頻率特性，從上半部分穿過(guò)負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的下半部分，稱(chēng)為正穿越；開(kāi)環(huán)頻率特性從下半部穿過(guò)負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的上半部分，稱(chēng)為負(fù)穿越；起始于（或終止于）段的負(fù)實(shí)軸的正、負(fù)穿越稱(chēng)為正負(fù)半穿越；在伯特圖上，在幅值的區(qū)域內(nèi)，當(dāng)角頻率增加時(shí)，相頻特性曲線(xiàn)從下向上穿越線(xiàn)稱(chēng)為正穿越；相頻特性曲線(xiàn)從上向下穿越線(xiàn)稱(chēng)為負(fù)穿越；退出退出退出綜上所述，乃氏判據(jù)判穩(wěn)時(shí)可能發(fā)生的情況為：（Ⅰ）不包圍（-1，j0）點(diǎn)，若則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；（Ⅱ）逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)次，若則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；（Ⅲ）順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。退出問(wèn)題：1在引入Nyquist判劇時(shí)，為什么只就開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在虛軸上的分布情況進(jìn)行討論而沒(méi)有就開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的情況進(jìn)行討論？2原點(diǎn)處有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)為什么要補(bǔ)作一條虛線(xiàn)，虛線(xiàn)在實(shí)際中是否存在？補(bǔ)作虛線(xiàn)與開(kāi)環(huán)傳函中的那一個(gè)環(huán)節(jié)有關(guān)系，在給出的Nyquist 判劇形式Ⅰ與形式Ⅱ中的具體關(guān)系是什么？3根據(jù)Nyquist判劇給出如下情況的分析：對(duì)于P=0的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，若其開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)通過(guò)（-1，j0）點(diǎn)，則系統(tǒng)處于什么狀態(tài)？退出2形式Ⅱ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)角頻率由0變化到＋∞時(shí)，開(kāi)環(huán)頻率特性正、負(fù)穿越平面負(fù)實(shí)軸上（-1，-∞

）段的次數(shù)差為，這里是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)中處于s平面右半部的數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。退出3形式Ⅲ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性不為負(fù)值的所有頻段內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性與線(xiàn)的正穿越與負(fù)穿越次數(shù)差為，這里是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)位于s平面右半部的極點(diǎn)數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

退出退出4形式Ⅳ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在Nichols圖0dB線(xiàn)上方，開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)的對(duì)數(shù)幅相特性對(duì)線(xiàn)的正、負(fù)穿越次數(shù)差應(yīng)等于，其中為s平面右半部含有的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。退出退出5形式Ⅴ對(duì)于最小相位系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，；否則不穩(wěn)定。

6形式Ⅵ乃氏判據(jù)左手定則。乃氏判據(jù)左手定則的內(nèi)容如下：將左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面內(nèi)垂直且指尖向上，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，將左手放在系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性即將包圍（-1，j0）點(diǎn)的最里層上，且四指指尖與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的方向相同，若手背朝向（-1，j0）點(diǎn)，則該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。

退出退出7形式Ⅶ若系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益增加大于原來(lái)倍，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

8形式Ⅷ若系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)對(duì)頻率為的信號(hào)的相角增加大于，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。退出5.4穩(wěn)定裕度設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，要求它必須穩(wěn)定，這是控制系統(tǒng)賴(lài)以正常工作的必要條件。除此之外，還要求控制系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)南鄬?duì)穩(wěn)定性。相對(duì)穩(wěn)定性的概念：基于Nyquist判劇，當(dāng)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部無(wú)極點(diǎn)時(shí)，其開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)若通過(guò)點(diǎn)（-1，j0），則控制系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定邊緣。在這種情況下若控制系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生漂移，便有可能使控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)包圍點(diǎn)（-1，j0），從而造成控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，在Nyquist

圖上，開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)與點(diǎn)（-1，j0

）的接近程度可直接表征控制系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。退出其定性關(guān)系是：在Nyquist圖上，不包圍點(diǎn)（-1，j0）的情況下，若離點(diǎn)（-1，j0）越遠(yuǎn)，說(shuō)明具有P=0的控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性程度越高；反之，越靠近點(diǎn)（-1，j0），則上述系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。在控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用以表征其穩(wěn)定程度高、低的概念，便是通常所謂的控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。退出穩(wěn)定裕度是衡量系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的指標(biāo)，有相角裕度和幅值裕度1相角裕度當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的幅值為1時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性相角與的和定義為相角裕度，所對(duì)應(yīng)的頻率稱(chēng)系統(tǒng)的剪切頻率，即式中滿(mǎn)足退出2幅值裕度當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率幅值的倒數(shù)定義為幅值裕度，所對(duì)應(yīng)的頻率稱(chēng)相位交界頻率，即如果以分貝為單位來(lái)表示幅值裕度時(shí)，有保持適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕度，可以預(yù)防系統(tǒng)中元件性能變化等可能帶來(lái)的不利影響。為了得到較滿(mǎn)意的暫態(tài)響應(yīng)，一般相角裕度應(yīng)當(dāng)為在到之間，而幅值裕度應(yīng)大于退出退出退出5.5閉環(huán)頻率特性性能指標(biāo)常用的指標(biāo)有諧振峰值，系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率。1諧振峰值諧振峰值是指系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性幅值的最大值2系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率設(shè)為系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，當(dāng)幅值特性下降到時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率稱(chēng)為帶寬頻率。頻率范圍稱(chēng)為系統(tǒng)帶寬。

退出5.6頻率域指標(biāo)的計(jì)算對(duì)于典型二階系統(tǒng)，頻域指標(biāo)可解析計(jì)算；高階系統(tǒng)頻域指標(biāo)一般由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。1典型二階系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為有阻尼自振角頻率剪切頻率相角裕度退出帶寬頻率諧振頻率諧振峰值典型二階系統(tǒng)的幅值裕度為無(wú)窮大退出2高階系統(tǒng)諧振峰值的確定，工程上常采用下述經(jīng)驗(yàn)公式式中中間頻段退出例題1（教材P185，5-8）

已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相特性與對(duì)數(shù)頻率特性。退出解：慣性環(huán)節(jié)的交接頻率為找漸近線(xiàn)退出則退出

乃氏圖退出伯特圖退出例題2（教材P186，5-17）如圖題5-17所示的乃氏曲線(xiàn)中，判別哪些是穩(wěn)定的，哪些是不穩(wěn)定的。

退出解：所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定退出所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)穩(wěn)定退出例題3（教材P187，5-25）已知最小相位開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的漸近對(duì)數(shù)幅頻特性如圖題5-25所示。試寫(xiě)出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。繪制相應(yīng)的相頻特性圖并判斷其閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。