道路與橋梁檢測第二章

§2-1振動的分類§2-2簡諧振動§2-3單自由度系統(tǒng)振動分析第二章振動與波動理論基礎(chǔ)道路橋梁工程動態(tài)無損檢測：1）樁基高低應(yīng)變動力檢測；2）橋梁上部結(jié)構(gòu)動力檢測；3）FWD落錘式彎沉儀檢測等。振動是物質(zhì)的一種運(yùn)動形式，是自然界十分廣泛的運(yùn)動形式之一，波動是振動的傳播過程。美妙的音樂五顏六色的光無線電傳輸各信息………………..與振動波動相關(guān)什么是振動從狹義上說，通常把具有時(shí)間周期性的運(yùn)動稱為振動。從廣義上說，任何一個物理量在某一數(shù)值附近作周期性的往復(fù)變化，都稱為振動。該物理量稱為“振動量”。振動量可以是力學(xué)量（位移，角位移），也可以是電磁學(xué)量（電量、電流、場強(qiáng)），也可以是其它物理量。從數(shù)學(xué)上來描述，振動量應(yīng)該是隨時(shí)間變化的周期函數(shù)。2-1振動的分類1、按產(chǎn)生振動的原因分：

1）自由振動

2）強(qiáng)迫振動。2、按振動的振型分：

1）單向振動：僅用一個位移量或轉(zhuǎn)角就可表示質(zhì)點(diǎn)在某一個方向的瞬時(shí)位置（一個自由度），如圖2-4所示的豎向振動和扭轉(zhuǎn)振動。

2）耦合振動：需用兩個或兩個以上的位移量或轉(zhuǎn)角才能表示剛體在某一個方向的瞬時(shí)位置（多自由度），其振動特點(diǎn)是剛體在一個方向的運(yùn)動必將引起另一方向的運(yùn)動，如圖2-5所示剛體。3、按振動規(guī)律分：

1）諧和振動：是指能用一項(xiàng)正弦函數(shù)或余弦函數(shù)表達(dá)體系運(yùn)動規(guī)律的周期性振動。

2）復(fù)合周期振動：是指由有限個不同頻率的諧和振動所合成，且任意兩個諧和振動頻率之比為有理數(shù)的振動。3）隨機(jī)振動：是指不能用諧和振動或其簡單合成來表達(dá)運(yùn)動規(guī)律的振動，也就是無規(guī)律的非周期振動。在一切振動中，最簡單和最基本的振動稱為簡諧運(yùn)動。任何復(fù)雜的運(yùn)動都可以看成是若干簡諧運(yùn)動的合成。例：彈簧振子簡諧振動的動力學(xué)公式2.2簡諧振動例：彈簧振子彈簧振子的運(yùn)動A→O：彈性力向右，加速度向右，加速；

O→B：向左，向左，減速；

B→O：向左，向左，加速；

O→A：向右，向右，減速。物體在A、B之間來回往復(fù)運(yùn)動O點(diǎn)：彈簧處于自由狀態(tài)，m受力平衡。平衡位置物體受到一個始終指向平衡位置的彈性力f，稱為恢復(fù)力。在物體經(jīng)過平衡位置時(shí)，恢復(fù)力為零，但是物體由于慣性而繼續(xù)運(yùn)動。由牛頓第二定律令則位移x所遵從的運(yùn)動微分方程由虎克定律：

F=－kx

(負(fù)號表示彈性力的方向與位移方向相反)（簡諧振動的動力學(xué)方程）在振動學(xué)中定義：如果描述系統(tǒng)運(yùn)動的物理量Ψ

遵從微分方程：則該系統(tǒng)的運(yùn)動就是簡諧振動。由數(shù)學(xué)知識可以得到該微分方程的通解：描述了振動量隨時(shí)間的變化規(guī)律，因此(2)式也可以稱為簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程。(2)(1)

A

和f

是積分常數(shù)，由初始條件決定。

(2)式是一個通解，但并不是唯一形式的解，余弦函數(shù)和復(fù)指數(shù)函數(shù)也是(1)式的解可見：Ψ與A、ω

、0

有關(guān)A、ω、0是描述簡諧振動的特征量注意1振幅A振幅A——振動量在振動過程中所能達(dá)到的最大值Ψ

在[–A,A]之間變化，A

恒為正值2周期、頻率、圓頻率周期T

：物體作一次完全振動所經(jīng)歷的時(shí)間彈簧振子二簡諧振動的特征量頻率f

：單位時(shí)間內(nèi)物體所作的完全振動的次數(shù)圓頻率ω：物體在2π

秒時(shí)間內(nèi)所作的完全振動次數(shù)(又叫角頻率)單位：赫茲（Hz）單位：弧度每秒（rad/s）T、v、ω反映了振動的快慢，由簡諧振動系統(tǒng)的物理性質(zhì)決定，故稱它們?yōu)楣逃兄芷?、固有頻率、固有圓頻率彈簧振子：3相位(t+)在一個周期內(nèi)，振動量的振動狀態(tài)（y、dy/dt）與其相位是一一對應(yīng)的。振動狀態(tài)的變化完全可以由相位的變化生動地反映出來。因此，相位是標(biāo)示和決定振動狀態(tài)的重要特征量。初相位

決定初始時(shí)刻振動物體的運(yùn)動狀態(tài)15

動力學(xué)4.振動的分類：單自由度系統(tǒng)的振動

按振動系統(tǒng)的自由度分類多自由度系統(tǒng)的振動彈性體的振動

按振動產(chǎn)生的原因分類：自由振動：無阻尼的自由振動有阻尼的自由振動，衰減振動強(qiáng)迫振動：無阻尼的強(qiáng)迫振動有阻尼的強(qiáng)迫振動自激振動本章重點(diǎn)討論單自由度系統(tǒng)的自由振動和強(qiáng)迫振動。如果振動系統(tǒng)中還存在阻尼力，那么振子在運(yùn)動中所受到的作用力就是回復(fù)力與阻尼力的疊加。而阻尼力總是減小回復(fù)力，因此使得振動的振幅隨時(shí)間而減小。從能量的角度來看，阻尼的發(fā)生有兩種形式，振動系統(tǒng)的能量變成熱運(yùn)動的能量，摩擦阻尼振動系統(tǒng)的能量變成波動形式的能量，輻射阻尼阻尼振動實(shí)際的振動系統(tǒng)總是阻尼振動，那么系統(tǒng)要把振動維持下去必須從外邊獲得能量，也就是說有外部力的作用。外部作用力有兩種作用形式，即單方向的力和周期作用力。一個振動系統(tǒng)如果受到周期性的外部驅(qū)動力，就稱為強(qiáng)迫振動。它在運(yùn)動中所受到的力，就是在阻尼振動的方程中再加一項(xiàng)周期驅(qū)動力，如果外部的周期驅(qū)動力也是按照簡諧振動的規(guī)律變化，則得到受迫振動就會穩(wěn)定為簡諧振動。強(qiáng)迫振動共振最重要的特征就是振幅和外力的頻率有關(guān)，而且當(dāng)外力頻率滿足一定條件時(shí)，振幅存在一個最大值，這就是說外力與振動系統(tǒng)發(fā)生了共振。在外力不大的情況下，也能導(dǎo)致振子產(chǎn)生很大的振幅。在周期性外力作用下的強(qiáng)迫振動中，會發(fā)生一種特別的現(xiàn)象，就是共振。共振19

單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動

一、自由振動的概念：20

21

運(yùn)動過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復(fù)力。物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動稱為無阻尼自由振動。質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)：

22二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解

對于任何一個單自由度系統(tǒng)，以q為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開始量?。?，則自由振動的運(yùn)動微分方程必將是：

a,c是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令則自由振動的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：

解為：23

設(shè)

t=0時(shí)，則可求得：或：C1，C2由初始條件決定為24

三、自由振動的特點(diǎn)：

A——物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。

nt+——相位，決定振體在某瞬時(shí)t

的位置

——初相位，決定振體運(yùn)動的起始位置。

T——周期，每振動一次所經(jīng)歷的時(shí)間。

f——頻率，每秒鐘振動的次數(shù)，

f=1/T。

——固有頻率，振體在2秒內(nèi)振動的次數(shù)。反映振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。25

無阻尼自由振動的特點(diǎn)是：

(2)振幅A和初相位取決于運(yùn)動的初始條件(初位移和初速度)；(1)振動規(guī)律為簡諧振動；(3)周期T和固有頻率僅決定于系統(tǒng)本身的固有參數(shù)(m,k,I)。四、其它

1.

如果系統(tǒng)在振動方向上受到某個常力的作用，該常力只影響靜平衡點(diǎn)O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動規(guī)律，如振動頻率、振幅和相位等。26

2.彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度并聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)271.

由系統(tǒng)的振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.

靜變形法：3.能量法：

求系統(tǒng)固有頻率的方法：集中質(zhì)量在全部重力作用下的靜變形由Tmax=Umax,求出28

無阻尼自由振動系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。當(dāng)振體運(yùn)動到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，即系統(tǒng)動能等于零，勢能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點(diǎn)）。當(dāng)振體運(yùn)動到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢能為零，動能達(dá)到最大值。如：29

能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對于計(jì)算較復(fù)雜的振動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。

例1

圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無側(cè)向擺動，且輪子與繩子間無滑動，不計(jì)繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為M，重物質(zhì)量m

，試列出系統(tǒng)微幅振動微分方程，求出其固有頻率。30

解：以x

為廣義坐標(biāo)（靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)）則任意位置x時(shí)：靜平衡時(shí)：31

應(yīng)用動量矩定理：由，有振動微分方程：固有頻率：32

解2

：用機(jī)械能守恒定律以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點(diǎn)）

以平衡位置為計(jì)算勢能的零位置，并注意輪心位移x時(shí)，彈簧伸長2x因平衡時(shí)33

由T+U=有：對時(shí)間

t

求導(dǎo)，再消去公因子，得34

例2

鼓輪：質(zhì)量M，對輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑

r

，彈簧剛度，重物質(zhì)量為m,不計(jì)輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長。求系統(tǒng)微振動的固有頻率。

解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動能為：35

系統(tǒng)的最大勢能為：36

設(shè)則有根據(jù)Tmax=Umax,解得37

單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、阻尼的概念：

阻尼：振動過程中，系統(tǒng)所受的阻力。

粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。投影式：c——粘性阻尼系數(shù)，簡稱阻尼系數(shù)。38

二、有阻尼自由振動微分方程及其解：質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：有阻尼自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。39

其通解分三種情況討論：

1、小阻尼情形—有阻尼自由振動的圓頻率40

衰減振動的特點(diǎn)：(1)振動周期變大，頻率減小?！枘岜扔凶枘嶙杂烧駝樱寒?dāng)時(shí)，可以認(rèn)為41

(2)振幅按幾何級數(shù)衰減

對數(shù)減縮率2、臨界阻尼情形臨界阻尼系數(shù)相鄰兩次振幅之比42

可見，物體的運(yùn)動隨時(shí)間的增長而無限地趨向平衡位置，不再具備振動的特性。代入初始條件3、過阻尼（大阻尼）情形

所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時(shí)間的增長，x0，不具備振動特性。43

例3

質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，W=150N，st=1cm,A1=0.8cm,A21=0.16cm。求阻尼系數(shù)c。解：由于很小，44

單自由度系統(tǒng)的無阻尼強(qiáng)迫振動一、強(qiáng)迫振動的概念強(qiáng)迫振動：在外加激振力作用下的振動。簡諧激振力：

H—力幅；

—激振力的圓頻率；

—激振力的初相位。無阻尼強(qiáng)迫振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二、無阻尼強(qiáng)迫振動微分方程及其解45

為對應(yīng)齊次方程的通解為特解全解為：穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動3、強(qiáng)迫振動的振幅大小與運(yùn)動初始條件無關(guān)，而與振動系統(tǒng)的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動的主要特性：1、在簡諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動亦為簡諧振動。2、強(qiáng)迫振動的頻率等于簡諧激振力的頻率，與振動系統(tǒng)的質(zhì)量及剛度系數(shù)無關(guān)。46

(1)=0時(shí)(2)時(shí)，振幅b隨增大而增大；當(dāng)時(shí)，(3)時(shí)，振動相位與激振力相位反相，相差。

b

隨增大而減??；—振幅比或稱動力系數(shù)

—頻率比—

曲線幅頻響應(yīng)曲線（幅頻特性曲線）147

4、共振現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為共振。此時(shí)，48

單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動一、有阻尼強(qiáng)迫振動微分方程及其解將上式兩端除以m

，并令有阻尼強(qiáng)迫振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。49

x1是齊次方程的通解小阻尼：（A、積分常數(shù)，取決于初始條件）x2是特解：代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理—強(qiáng)迫振動的振幅—強(qiáng)迫振動相位滯后激振力相位角振動微分方程的全解為

衰減振動