單輝祖工力-15壓桿穩(wěn)定

第十五章壓桿穩(wěn)定問題R構(gòu)件除了強(qiáng)度、剛度失效外，還可能發(fā)生穩(wěn)定失效。例如AB平衡形式的突然變化，統(tǒng)稱為穩(wěn)定失效，簡稱為失穩(wěn)或屈曲。工程中的柱、桁架中的壓桿、薄殼結(jié)構(gòu)及薄壁容器等，在有壓力存在時，都可能發(fā)生失穩(wěn)?！?3-1引言§13-2壓桿穩(wěn)定的概念“穩(wěn)定”和“不穩(wěn)定”是指物體的平衡性質(zhì)而言。

非穩(wěn)定平衡：處于凸面的球體，受到微小干擾后，將偏離其平衡位置，不再恢復(fù)原位。該球的平衡是不穩(wěn)定的。WNWN

穩(wěn)定平衡：球受到微小干擾，偏離其平衡位置后，經(jīng)過幾次擺動，會重新回到原來的平衡位置。受壓直桿的平衡性質(zhì)問題：使中心受壓直桿的直線平衡形式，由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡時所受的軸向壓力，稱為臨界載荷，或簡稱為臨界力，用Pcr表示。壓桿必須處于穩(wěn)定的直線平衡狀態(tài)，因而壓桿以臨界力作為其極限承載能力。PPP>PcrQPP>PcrPPQfPfP=Pcr分叉現(xiàn)象穩(wěn)定平衡狀態(tài)非穩(wěn)定平衡狀態(tài)P>Pcr§13-3壓桿的臨界載荷—?dú)W拉臨界力

靜力法：以兩端鉸支的中心受壓直桿為例，說明確定臨界力的基本方法。在圖示坐標(biāo)系中，根據(jù)小撓度近似微分方程，得到令得微分方程此方程的通解為利用桿端的約束條件x=0，y=0，得B=0，即 y=Asinkx又x=l，y=0而A≠0。只有sinkl=0要求kl=nπ（n=1，2，···）得到y(tǒng)xlPyPM(x)=Pyxxy已解得實(shí)際工程中有意義的是最小的臨界力值，即n=1時Pcr的值：需要指出，歐拉公式的推導(dǎo)中應(yīng)用了彈性小撓度微分方程，因此公式只適用于彈性穩(wěn)定問題。

Pcr：歐拉臨界力?！?dú)W拉公式

Pcr與抗彎剛度EI成正比，與桿長L的平方成反比。壓桿失穩(wěn)時，總是繞抗彎剛度最小的軸發(fā)生彎曲變形。因此，式中的I應(yīng)為截面最小的形心主慣性矩。§13-4常見約束情況壓桿的臨界力用上述方法，還可求得其他約束條件下壓桿的臨界力。PPcr2llP=Pcr為簡單起見，將它們的撓曲線形狀與兩端鉸支壓桿的撓曲線形狀加以比較，就可以用幾何類比的方法，求出它們的臨界力。1）一端固定、一端自由的壓桿2）兩端固定的壓桿3）一端固定、一端鉸支的壓桿lPcr0.5l0.7lPcrl綜合起來，可以得到歐拉公式的一般形式為式中，μl稱為相當(dāng)長度。μ稱為長度系數(shù)，它反映了約束情況對臨界載荷的影響：各種值都是對理想約束而言的，對于工程中常用的支座情況，長度系數(shù)可從有關(guān)設(shè)計手冊或規(guī)范中查到。

桿端的約束愈弱，μ則值愈大，壓桿的臨界力愈低。由此可知，桿端的約束愈強(qiáng)，μ則值愈小，壓桿的臨界力愈高；一端固定、一端鉸支 μ=0.7兩端固定 μ=0.5一端固定、一端自由μ=2兩端鉸支 μ=1§13-5臨界應(yīng)力與柔度·三類不同的壓桿1.臨界應(yīng)力與柔度的概念式中：

λ稱為柔度；Ｉ為截面的最小形心主軸慣性矩；Ａ為截面面積；i為截面的慣性半徑。如上節(jié)所述，歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。為了判斷壓桿失穩(wěn)時是否處于彈性范圍，以及超出彈性范圍后臨界力的計算問題，必須引入臨界應(yīng)力及柔度的概念。臨界應(yīng)力：壓桿在彈性范圍內(nèi)失穩(wěn)時，其在直線平衡位置時橫截面上的應(yīng)力，即：2.三類不同壓桿及臨界應(yīng)力表達(dá)式柔度又稱為壓桿的長細(xì)比。它全面的反映了壓桿長度、約束條件、截面尺寸和形狀對臨界力的影響。根據(jù)λ所處的范圍，可以把壓桿分為三類：（一）大柔度桿若壓桿失穩(wěn)時，臨界應(yīng)力小于或等于材料的比例極限，即：，稱壓桿發(fā)生彈性失穩(wěn)。

對于不同材料的壓桿，因Ｅ和σp各不相同，λp的數(shù)值亦不相同。例如A3鋼，E=206GPa，σp=200MPa，可算得 λp=101。這類壓桿又稱為細(xì)長桿。（二）中柔度桿

λs≤λ≤λp這類桿又稱中長桿。這類壓桿失穩(wěn)時，橫截面上的應(yīng)力已超過比例極限，故屬于彈塑性穩(wěn)定問題。對于中長桿，一般采用經(jīng)驗(yàn)公式計算其臨界應(yīng)力，如直線公式： σcr=a－bλ式中a、b為與材料性能有關(guān)的常數(shù)（查表）。當(dāng)σcr=σs時，其相應(yīng)的柔度為中長桿柔度的下限，不難求得：例如Ａ3鋼，σs=235MPa，a=235MPa，b=235MPa，代入上式算得λs=61.6。（三）小柔度桿

λ<λs這類桿又稱為粗短桿。這類壓桿將發(fā)生強(qiáng)度失效，而不是失穩(wěn)。故

4.臨界應(yīng)力總圖。

lpspssscr=ssBAlSscr=a-bl上述三類壓桿臨界應(yīng)力與柔度的關(guān)系曲線。稱為壓桿的臨界應(yīng)力圖。lscrOC例1A３鋼制成的矩形截面桿受到壓力P=200KN作用。桿兩端為柱形鉸，約束情形如圖所示，其中a為正視圖，b為俯視圖。在A、B兩處用螺栓夾緊。解：壓桿AB在正視圖x-y平面內(nèi)失穩(wěn)時，A、B兩處可以自由轉(zhuǎn)動，相當(dāng)于鉸鏈約束。

已知：l=2.0m,b=40mm,h=60mm,材料的彈性模量E=210GPa,求此桿的臨界力。在俯視圖x-z平面內(nèi)失穩(wěn)時，A、B兩處不能自由轉(zhuǎn)動，可簡化為固定約束。

例1已知：P=200KN,l=2.0m,b=40mm,h=60mm,彈性模量E=210GPa,求此桿的臨界力。解：在x-y平面內(nèi)：A３鋼的λp=101

，λz>

λp屬于彈性穩(wěn)定問題。解：在x-z平面內(nèi)：A３鋼的λs=61.6

，λs<λy<λp屬于彈塑性穩(wěn)定問題。由表13.1查得：a=304MPa，b=1.12MPa故此桿的臨界力為373kN。例1已知：P=200KN,l=2.0m,b=40mm,h=60mm,彈性模量E=210GPa,求此桿的臨界力。本題要點(diǎn)1．進(jìn)行穩(wěn)定計算時，首先須根據(jù)壓桿的支承情況，進(jìn)行簡化，確定適當(dāng)?shù)拈L度系數(shù)μ。3．計算臨界力時，須先計算出壓桿的柔度λ，然后根據(jù)λ所處的范圍，選定相應(yīng)的計算臨界力的公式。2．要辨明壓桿可能在那個平面內(nèi)喪失穩(wěn)定。如果壓桿在兩個形心主軸平面的約束情況相同，可以比較截面的兩個形心主軸慣性矩的大??；如果兩個平面內(nèi)的約束情況和對應(yīng)的慣性矩均不相同，則以柔度λ的大小來判斷。

§13-6壓桿穩(wěn)定安全校核

1.穩(wěn)定安全準(zhǔn)則nst是穩(wěn)定安全系數(shù)。為了保證壓桿不失穩(wěn)，并具有一定的安全裕度，因此壓桿的穩(wěn)定條件可表示為用應(yīng)力的形式表達(dá)為

由于壓桿失穩(wěn)具有突發(fā)性，危害性較大。故nst一般比強(qiáng)度安全系數(shù)n要大些，并且λ越大，nst值也越大。具體取值可從有關(guān)設(shè)計手冊中查到。

是穩(wěn)定許用應(yīng)力。在機(jī)械、動力、冶金等工業(yè)部門，由于載荷情況復(fù)雜，一般都采用安全系數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定計算。安全系數(shù)校核法令稱為“工作安全系數(shù)”。壓桿安全工作的條件為：nst是穩(wěn)定安全系數(shù)。當(dāng)壓桿有局部截面被削弱的情況，如桿上有開孔、切糟等。 由于壓桿的臨界載荷是從研究整個壓桿的彎曲變形來決定的，局部截面的削弱對整體變形影響較小， 故穩(wěn)定計算中仍用原有的截面幾何量。但強(qiáng)度計算是根據(jù)危險點(diǎn)的應(yīng)力進(jìn)行的，故必須對削弱了的截面進(jìn)行強(qiáng)度校核，即式中的An是橫截面的凈面積。例2千斤頂如圖a所示，絲杠長度l=375mm,內(nèi)徑d=40mm,材料是A3鋼，最大起重量P=80KN，規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3。試校核絲杠的穩(wěn)定性。PLP解：（1）建立壓桿力學(xué)模型簡化為下端固定上端自由的壓桿，長度系數(shù)μ=2。慣性半徑:柔度:L=375mm,d=40mm,A3，P=80KN，nst=3,=75PL（2）計算臨界力并校核穩(wěn)定性因?yàn)棣藄<λ<λp，絲杠是中柔度壓桿。A3鋼:λp=101，λs=61.6用直線經(jīng)驗(yàn)公式計算其臨界載荷。

由表13.1查得:

絲杠的臨界載荷為a=304MPa，b=1.12MPa，校核絲杠的穩(wěn)定性校核：所以此千斤頂絲杠是穩(wěn)定的本題要點(diǎn)

PL2．穩(wěn)定計算時，首先計算λ，然后根據(jù)λ所處的范圍，確定采用什么公式計算臨界力。1．根據(jù)題意，本題只能采用安全系數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定校核。P=80KN，Pcr=277KN，nst=3 例3

結(jié)構(gòu)受力如圖a所示。梁AB為№16工字鋼，柱CD為外徑D=80mm，內(nèi)徑d=70mm的無縫鋼管，二者材料均為3號鋼。已知材料的E=2.1×105MPa，σs=235MPa；均布載荷q=40KN/m，試確定梁及柱的工作安全系數(shù)。解：DCBAq2m2m2mNo16dD

解題步驟:1確定壓桿CD的壓力2按壓桿穩(wěn)定求CD的安全系數(shù)3按照梁的強(qiáng)度計算安全系數(shù)

№16工字鋼，D=80mm，d=70mm,A3,E=2.1×105MPa，σs=235MPa,q=40KN/m。取簡支梁AB為靜定基，其受力為：（1）確定柱CD的受力NCD

DC2mBAq2m2mCNcdNcd變形協(xié)調(diào)條件:△lCD=yC

求得:NCD=98.58KN

式中:

A=(0.082－0.072)/4I=1130cm4

dD

No16（2）計算梁的工作安全系數(shù)：

畫剪力圖和彎矩圖BAq2m2mC

№16工字鋼，q=40KN/m，Ncd=98.58KNNcdRARB支反力:

RA=

RB=4q/2－Ncd/2

=30.71KN0.768m

0.768m

11.78KNm-18.6KNm49.3

-30.7

-49.3

30.7

EE截面彎矩：ME=11.78KNmC截面彎矩：MC=－18.6KNmE查表得到№16工字鋼抗彎截面模量梁的工作安全系數(shù)

№16工字鋼，E=2.1×105MPa，σs=235MPa,Mmax=18.6KN/m。計算梁AB的最大工作應(yīng)力：

梁AB的安全儲備系數(shù)為

1.8

No16xyWx=141cm3

D=80mm，d=70mm,A3,E=2.1×105MPa，σs=235MPa,Ncd=98.58KNDC2mNcddD

（3）計算柱的工作安全系數(shù)：柱的慣性半徑，柱的柔度

選擇壓桿計算公式：由于CD桿是中柔度桿A3鋼：a=304MPa，b=1.12MPa柱的臨界應(yīng)力以及臨界力：

柱的工作安全系數(shù)

§13-6提高壓桿承載能力的措施壓桿的穩(wěn)定性取決于臨界載荷的大小。由臨界應(yīng)力圖知，當(dāng)柔度λ減小時，則臨界應(yīng)力提高，而λ=μl/i，所以提高壓桿承載能力的措施主要是盡量減小壓桿的長度， 選用合理的截面形狀，1．減小壓桿的長度減小壓桿的長度，可使λ降低，從而提高了壓桿的臨界載荷。 增加支承的剛性以及合理選用材料。現(xiàn)分述如下： 工程中，為了減小柱子的長度，通常在柱子的中間設(shè)置一定形式的撐桿，它們與其他構(gòu)件連接在一起后，對柱子形成支點(diǎn)，限制了柱子的彎曲變形，起到減小柱長的作用。對于細(xì)長桿，若在柱子中設(shè)置一個支點(diǎn)，則長度減小一半，而承載能力可增加到原來的4倍。2．選擇合理的截面形狀壓桿的承載能力取決于最小的慣性矩I，當(dāng)壓桿各個方向的約束條件相同時，使截面對兩個形心主軸的慣性矩盡可能大，而且相等，是壓桿合理截面的基本原則。但這種薄壁桿的壁厚不能過薄，否則會出現(xiàn)局部失穩(wěn)現(xiàn)象。 對于型鋼截面（工字鋼、槽鋼、角鋼等），由于它們的兩個形心主軸慣性矩相差較大，為了提高這類型鋼截面壓桿的承載能力，工程實(shí)際中常用幾個型鋼，通過綴板組成一個組合截面，3．增加支承的剛性對于大柔度的細(xì)長桿，一端鉸支另一端固定壓桿的臨界載荷比兩端鉸支的大一倍。因此，桿端越不易轉(zhuǎn)動，桿端的剛性越大，長度系數(shù)就越小，圖示壓桿，若增大桿右端止推軸承的長度a，就加強(qiáng)了約束的剛性。4．合理選用材料對于大柔度桿，臨界應(yīng)力與材料的彈性模量E成正比。因此鋼壓桿比銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷高。