《分層隨機抽樣》設(shè)計

《分層隨機抽樣》教學(xué)設(shè)計【教學(xué)目標】1.通過實例，理解分層隨機抽樣的特點和適用范圍．2.了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法．3.結(jié)合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值．【教學(xué)重點】理解分層隨機抽樣的特點和適用范圍掌握各層樣本量比例分配的方法【教學(xué)難點】掌握各層樣本量比例分配的方法【課時安排】1課時【教學(xué)過程】認知初探1．分層隨機抽樣的相關(guān)概念(1)分層隨機抽樣的定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層．(2)比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．2．樣本平均數(shù)的計算公式在分層隨機抽樣中，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層樣本的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，則樣本的平均數(shù)eq\x\to(ω)＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－)).【思考1】哪種情況下適合選用分層隨機抽樣？提示:在個體之間差異較大的情形下,只要選取的分層變量合適,使得各層間差異明顯、層內(nèi)差異不大,分層隨機抽樣的效果一般會好于簡單隨機抽樣.思考2：簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣有什么區(qū)別和聯(lián)系？[提示]區(qū)別：簡單隨機抽樣是從總體中逐個抽取樣本；分層隨機抽樣則首先將總體分成幾層，在各層中按比例分配抽取樣本．聯(lián)系：(1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；(2)每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣．小試牛刀1．某校高三年級有男生1000人，女生800人．為了解該年級學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取50人，從女生中任意抽取40人進行調(diào)查，這種抽樣方法是()A．簡單隨機抽樣法B．抽簽法C．隨機數(shù)法D．分層隨機抽樣法D解析：樣本由差異較大的幾部分組成，每層樣本量與層的大小比例相等，即為分層隨機抽樣法．2.某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為()A．30B．25C．20D．15C[樣本中松樹苗為4000×eq\f(150,30000)＝4000×eq\f(1,200)＝20(棵)．]3．為了保證分層抽樣時每個個體等可能地被抽取，必須要求()A．每層不等可能抽樣B．每層抽取的個體數(shù)相等C．每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取ni＝neq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)個個體．(其中k是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個體的個數(shù)，N是總體的容量)D．只要抽取的樣本容量一定，每層抽取的個體數(shù)沒有限制C解析：A不正確．B中由于每層的容量不一定相等，每層抽同樣多的個體數(shù)，顯然從整個總體來看，各層之間的個體被抽取的可能性就不一樣了，因此B也不正確．C中對于第i層的每個個體，它被抽到的可能性與層數(shù)無關(guān)，即對于每個個體來說，被抽取的可能性是相同的，故C正確．D不正確．4．在某校高一年級的800名學(xué)生中，男生有360名，女生有440名．現(xiàn)采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣方法，從中抽取樣本量為80的樣本，計算出男生樣本的平均數(shù)為171cm，女生樣本的平均數(shù)為160cm，則總樣本的平均數(shù)為________．解析：因為分配比例為，所以男生應(yīng)抽360×＝36(名)，女生應(yīng)抽440×＝44(名)．則總樣本平均數(shù)為eq\x\to(w)＝×170＋×160＝(cm)．例題講解對分層隨機抽樣概念的理解[例1]⑴下列問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會B．某社區(qū)有500個家庭，其中高收入的家庭125個，中等收入的家庭280個，低收入的家庭95個，為了了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100的樣本C．從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時間D．在某地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況(2)分層隨機抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構(gòu)成樣本，所以分層隨機抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必須進行()A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣D．所有層抽取的個體數(shù)量相同⑴B⑵C[解析]⑴B中總體個體差異較大，適合用分層隨機抽樣．A、C和D中總體個體差異不大，不適合用分層隨機抽樣．保證每個個體等可能的被抽取是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點，分層隨機抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽?。椒偨Y(jié)分層隨機抽樣的前提和遵循的兩條原則(1)前提：分層隨機抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間差異較大，而層內(nèi)個體間差異較?。?2)遵循的兩條原則①按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；②在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，即各層中遵循等概率抽樣的原則．當堂練習(xí)1下列問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會B．某社區(qū)有500個家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100戶的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量B[A中總體所含個體無差異且個數(shù)較少，適合用簡單隨機抽樣；C和D中總體所含個體無差異且個數(shù)較多，不適合用分層隨機抽樣；B中總體所含個體差異明顯，適合用分層隨機抽樣．]分層隨機抽樣的應(yīng)用[例2]一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3，從3萬人中抽取一個300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過程．[解]因為疾病與地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層隨機抽樣的方法．具體過程如下：第一步，將3萬人分為5層，其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層．第二步，按照樣本容量的比例求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為60人，40人，100人，40人，60人．第三步，按照各層抽取的人數(shù)隨機抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本．第四步，將300人合到一起，即得到一個樣本．方法總結(jié)分層隨機抽樣的步驟當堂練習(xí)2某學(xué)校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112人，后勤人員有32人．教育部門為了了解在職人員對學(xué)校機構(gòu)改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，請利用分層隨機抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程．[解]抽樣過程如下：第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為eq\f(20,160)＝eq\f(1,8).第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取16×eq\f(1,8)＝2(人)；從教師中抽取112×eq\f(1,8)＝14(人)；從后勤人員中抽取32×eq\f(1,8)＝4(人)．第三步，采用簡單隨機抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師人員14人，后勤人員4人．第四步，把抽取的個體組合在一起構(gòu)成所需樣本．分層隨機抽樣中的計算問題[探究問題]在分層隨機抽樣中，N為總體容量，n為樣本容量，如何確定各層的個體數(shù)？[提示]每層抽取的個體的個數(shù)為ni＝Ni×eq\f(n,N)，其中Ni為第i(i＝1,2，…，k)層的個體數(shù)，eq\f(n,N)為抽樣比．例3（1）某單位共有老、中、青年職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層隨機抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工的人數(shù)為.（2）某高中學(xué)校為了促進學(xué)生個體的全面發(fā)展，針對學(xué)生發(fā)展要求，開設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個社團，已知報名參加這兩個社團的學(xué)生共有800人，按照要求每人只能參加一個社團，各年級參加社團的人數(shù)情況如下表：高一年級高二年級高三年級泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團的人數(shù)占兩個社團總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，為了了解學(xué)生對兩個社團活動的滿意程度，從中抽取一個50人的樣本進行調(diào)查，則從高二年級“剪紙”社團的學(xué)生中應(yīng)抽取人.⑴18⑵6【解析】⑴設(shè)該單位老年職工人數(shù)為x，由題意得3x＝430－160，解得x＝90.則樣本中的老年職工人數(shù)為90×eq\f(32,160)＝18.（2）法一：因為“泥塑”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(2,5)，所以“剪紙”社團的人數(shù)為800×eq\f(2,5)＝320；因為“剪紙”社團中高二年級人數(shù)比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，法二：因為“泥塑”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(2,5)，所以抽取的50人的樣本中，“剪紙”社團中的人數(shù)為50×eq\f(2,5)＝20.又“剪紙”社團中高二年級人數(shù)比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以從高二年級“剪紙”社團中抽取的人數(shù)為20×eq\f(3,10)＝6.方法總結(jié)分層隨機抽樣中有關(guān)計算的方法（1）抽樣比＝eq\f(該層樣本量n,總樣本量N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù)).（2）總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比.對于分層抽樣中求某層個體數(shù)，或某層要抽取的樣本個體數(shù)，都可以通過上面兩個等量關(guān)系求解.當堂練習(xí)3某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)樣本量比例分配的分層隨機抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量130由于不小心，表格中A、C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚了，統(tǒng)計員只記得A產(chǎn)品的樣本量比C產(chǎn)品的樣本量多10，根據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是________件．800[解析]設(shè)總樣本量為x，則eq\f(x,3000)＝eq\f(130,1300)，∴x＝300.∴A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300－130＝170(件)．設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y，則y＋y＋10＝170，∴y＝80.∴C產(chǎn)品的數(shù)量為eq\f(3000,300)×80＝800.分層抽樣的綜合應(yīng)用[例4]某地區(qū)有居民600戶，其中普通家庭450戶、高收入家庭150戶．為了調(diào)查該地區(qū)居民奶制品月消費支出，決定采用分層隨機抽樣的方法，按普通家庭、高收入家庭進行分層，得到普通家庭、高收入家庭的奶制品平均月消費支出分別為40元和90元．(1)如果在各層中按比例分配樣本，總樣本量為60，那么在普通家庭、高收入家庭中分別抽取了多少戶？在這種情況下，請估計該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費支出．(2)如果從普通家庭、高收入家庭中抽取的樣本量分別為30和30，那么在這種情況下，抽取的這60戶居民奶制品的平均月消費支出是多少？用這60戶居民奶制品的平均月消費支出估計該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費支出合理嗎？如果不合理，那該怎樣估計更合理？[解析](1)設(shè)在普通家庭、高收入家庭中分別抽取了m，n戶，則eq\f(m,450)＝eq\f(n,150)＝eq\f(60,600)，解得m＝45，n＝15.樣本平均數(shù)eq\x\to(w)＝eq\f(45,60)×40＋eq\f(15,60)×90＝(元)．在比例分配的分層隨機抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)eq\x\to(w)估計總體平均數(shù)eq\x\to(W)，即在普通家庭、高收入家庭中分別抽取了45戶、15戶，估計該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費支出為元．(2)抽取的這60戶居民奶制品的平均月消費支出是eq\f(30,60)×40＋eq\f(30,60)×90＝65(元)，因為在該地區(qū)居民中，普通家庭戶數(shù)是高收入家庭戶數(shù)的3倍，而抽取的普通家庭的樣本量與高收入家庭的樣本量相等，所以用這60戶居民奶制品的平均月消費支出估計該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費支出不合理．應(yīng)該用抽取的普通家庭奶制品的平均月消費支出40元估計該地區(qū)全體普通家庭的平均月消費支出，用抽取的高收入家庭的平均月消費支出90元估計該地區(qū)全體高收入家庭的平均月消費支出，得到該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費支出為eq\f(450,600)×40＋eq\f(150,600)×90＝(元)．這樣估計較合理．方法總結(jié)在分層隨機抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均值為x；第二層的樣本量為n，平均值為y，則樣本的平均值為eq\f(mx＋ny,m＋n).當堂練習(xí)4在了解全校學(xué)生每年平均閱讀多少本文學(xué)經(jīng)典名著時，甲同學(xué)抽取了一個容量為10的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5；乙同學(xué)抽取了一個容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6.已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個容量為18的樣本，求合在一起后的樣本均值.解：合在一起后的樣本均值為eq\f(10×5＋8×6,10＋8)＝eq\f(50＋48,18)＝eq\f(49,