第6章-無限長數(shù)字濾波器的設(shè)計

第6章無限沖激響應(IIR） 濾波器設(shè)計6.1濾波器的基本概念；6.2模擬低通濾波器設(shè)計；6.3模擬高通、帶通及帶阻濾波器設(shè)計；6.4沖激響應不變法；6.5雙線性Z變換法；6.6數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器設(shè)計；1.濾波原理6.1濾波器的基本概念若中的有用成分和希望去除的成分 各自占有不同的頻帶,通過一個線性系統(tǒng)可將有效去除.

分類:低通(LP),高通(HP),帶通(BP),帶阻(BS)

2.濾波器的分類加法性噪聲經(jīng)典濾波器每一種又有模擬(AF)、數(shù)字(DF)兩種濾波器.對數(shù)字濾波器,從實現(xiàn)方法上,有IIR濾波器和FIR濾波器之分,轉(zhuǎn)移函數(shù)分別為:FIRDF:IIRDF:現(xiàn)代濾波器維納濾波器是這類濾波器的典型代表種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預 測、自適應濾波器乘法性噪聲卷積性噪聲信號的頻譜和噪聲道頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。目標：從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄(又稱時間序列)中估計出信號的某些特征或信號本身。3.濾波器的技術(shù)要求低通：：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應達到的最小衰減單位(dB)若幅度下降到0.707,則幅平方下降0.5（半功率點）：若幅度下降到0.01：高通：：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應達到的最小衰減帶通：：通帶允許的最大衰減；

：阻帶內(nèi)應達到的最小衰減帶阻：：通帶允許的最大衰減；：阻帶內(nèi)應達到的最小衰減1.給定所設(shè)計的濾波器的技術(shù)指標：LP,HPBP,BS

2.設(shè)計出一個，使?jié)M足給定的技術(shù)要求沒有考慮相位？如何設(shè)計數(shù)字濾波器設(shè)計的一般步驟:給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標（更多）得到數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器？得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器？轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標？設(shè)計模擬低通濾波器？轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標（更多）？數(shù)字IIR濾波器設(shè)計的具體步驟：6.2模擬低通濾波器的設(shè)計一、概述

上面兩式將要求的衰減和模擬濾波器的幅平方特性聯(lián)系了起來。注意，由于衰減指標只有兩個，因此也只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯(lián)系。

我們的目的是由幅平方特性求出模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)，如何將二者聯(lián)系起來？因為所以，由

注意，由于由于衰減指標只有兩個，只能和幅平方特性的兩個特殊頻率相聯(lián)系，因此，幅平方特性的表達式必須簡化。將按不同的原則簡化，可得到不同形式的濾波器，即不同的表達式：1.巴特沃思(Butterworth)濾波器2.切比雪夫I型(Chebyshev-I)濾波器3.切比雪夫II型濾波器：Jacobian函數(shù)本課程只討論Butterworth和Chebyshev-I 濾波器的設(shè)計4.橢圓濾波器1.將實際頻率歸一化，得歸一化幅平方特性2.求和由：有：求出二式相比二、Butterworth濾波器的設(shè)計對Butterworth濾波器，通常，所以如何由上述的幅平方特性得到系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)？3.確定即個極點均勻分布在平面半徑為1的圓上，應取左半平面的個予，右半平面的個賦予

？則：

反映了實際頻率4.巴特沃思濾波器幅頻響應的特點:“最平”幅頻響應濾波器.例：給定如下技術(shù)指標，設(shè)計模擬低通 Butterworth濾波器Step1.

Step3.

Step4.

Step5.

切比雪夫多項式的特點：三、切比雪夫I型模擬低通濾波器設(shè)計

的多項式的確是的多項式首項系數(shù)是設(shè)計步驟：2.求和為求濾波器的階次，還要利用另外的條件：注意：因此：時，切比雪夫多項式要重新定義，采用雙曲函數(shù)：利用另外的條件：必須不大于1求根則最后導出：切比雪夫濾波器的極點分布

反映了實際頻率最后：模擬高通,帶通,帶阻濾波器設(shè)計流程6.3模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計設(shè)計模擬低通濾波器G(p)給定高通、帶通或帶阻的技術(shù)指標頻率轉(zhuǎn)換低通濾波器技術(shù)指標得到高通、帶通或帶阻濾波器H(s)頻率轉(zhuǎn)換想辦法實現(xiàn)高通到低通的轉(zhuǎn)換：

低通幅頻高通幅頻給定高通濾波器的技術(shù)指標：先作頻率歸一化：一、模擬高通濾波器的設(shè)計或由：如何：？（HP）實現(xiàn)：設(shè)計出（LP）歸一化高通濾波器的復變量歸一化低通濾波器的復變量得：于是可得到模擬高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)

后面帶通、帶阻濾波器和低通濾 波器的轉(zhuǎn)換過程大體相同。對帶通濾波器，如何實現(xiàn)頻率的歸一化？定義：有：用帶寬歸一化二、模擬帶通濾波器的設(shè)計然后要實現(xiàn)帶通濾波器技術(shù)指標到低通的轉(zhuǎn)換。關(guān)鍵問題是找到對應關(guān)系：

定義中心頻率：由于所以有N階低通濾波器轉(zhuǎn)換到帶通后,階次變?yōu)?N.帶阻濾波器頻率歸一化方法同帶通濾波器定義：有：？三、模擬帶阻濾波器的設(shè)計得到：及帶阻濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)：

以上討論的是模擬低通、高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計，然而這并不是我們的目的。我們的目的是設(shè)計數(shù)字濾波器。首要的問題是如何將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標，最后再實現(xiàn)模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換。6.4用沖激響應不變法設(shè)計IIRDF給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標（更多）轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標（更多）轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器得到模擬高通、帶通、帶阻濾波器得到數(shù)字高通、帶通、帶阻濾波器？？利用上一節(jié)的方法，可設(shè)計出模擬濾波器最直接到方法，將：利用：？但這樣做，將不再是的有理多項式，給極－零分析帶來困難。令：沖激響應不變法模擬濾波器的沖激響應數(shù)字濾波器的單位抽樣響應基本轉(zhuǎn)換單元：步驟:缺點:？線性轉(zhuǎn)換關(guān)系6.5用雙線性Z變換法設(shè)計IIRDF放棄上一節(jié)的線性轉(zhuǎn)換關(guān)系，找新的關(guān)系：令：雙線性z變換非線性關(guān)系，但是一對一的轉(zhuǎn)換非線性關(guān)系設(shè)計的AF并不是按給定的技術(shù)指標，但再由變回后，保證了DF的技術(shù)要求。又稱為頻率的預變形（Freq.Warping)。例如：

Step1.Step2.頻率轉(zhuǎn)換：Step3.Step4.數(shù)字低通濾波器的設(shè)計步驟：所以：這樣：系數(shù)可以省略，因此，雙線性Z變換可定義為：這一組定義和前面的定義，對最后的DF而言，結(jié)果是一樣的，差別是中間設(shè)計的AF，由于缺少了頻率定標，將無法給出符合要求的幅頻響應。例：設(shè)計IIRLPDF，給定及可求出：求出：幅頻響應曲線可繪制由：

給出數(shù)字高通的技術(shù)要求

得到模擬高通的技術(shù)要求得到模擬低通的技術(shù)要求設(shè)計出

得到模擬高通轉(zhuǎn)移函數(shù)最后得到數(shù)字高通轉(zhuǎn)移函數(shù)數(shù)字高通濾波器設(shè)計步驟6.6數(shù)字高通