第三章.邏輯函數(shù)與邏輯函數(shù)化簡ppt

第三章邏輯代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡§3.1邏輯代數(shù)及運算規(guī)則數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義。0和1表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。例如：電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開關(guān)的開合等。3.1.1邏輯代數(shù)的基本運算規(guī)則加運算規(guī)則:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1乘運算規(guī)則:0?0=00?1=01?0=01?1=1非運算規(guī)則:3.1.2邏輯代數(shù)的運算規(guī)律一、交換律二、結(jié)合律三、分配律A+B=B+AA?B=B?AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA?(B?C)=(A?B)?CA(B+C)=A?B+A?CA+B?C=(A+B)(A+C)求證:

（分配律第2條）A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;結(jié)合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;結(jié)合律=A?1+BC;1+B+C=1=A+BC;A?1=1=左邊四、吸收規(guī)則1.原變量的吸收：A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。例如：被吸收吸收是指吸收多余（冗余）項，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。長中含短，留下短。2.反變量的吸收：證明：例如：被吸收長中含反，去掉反。3.混合變量的吸收：證明：例如：1吸收正負相對，余全完。五、反演定理可以用列真值表的方法證明：德?摩根(De

?Morgan)定理：反演定理內(nèi)容：將函數(shù)式F中所有的?++?變量與常數(shù)均取反（求反運算）互補運算1.運算順序：先括號再乘法后加法。2.不是一個變量上的反號不動。注意:用處：實現(xiàn)互補運算（求反運算）。新表達式：F'顯然：(變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變)例1：與或式注意括號注意括號例2：與或式反號不動反號不動§3.2邏輯函數(shù)的表示法四種表示方法邏輯代數(shù)式

(邏輯表示式,邏輯函數(shù)式)11&&≥1ABY邏輯電路圖:卡諾圖n個輸入變量種組合。真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對應(yīng)列出的表格。邏輯表達式邏輯圖真值表卡諾圖將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應(yīng)地列出。n個變量可以有2n個輸入狀態(tài)。3.2.1真值表列真值表的方法：一般按二進制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。例如：3.2.2邏輯函數(shù)式邏輯代數(shù)式：把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。例：下面介紹兩個重要概念——最小項和邏輯相鄰。1.最小項——n個變量的最小項就是n個變量的乘積x1x2…xnx1′x2′…xn′xi′代表，

xi

xi

每個與項中，每個變量或以原變量或以反變量形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次以三變量的邏輯函數(shù)為例：變量賦值為1時用該變量表示；變量賦值為0時用該變量的反來表示?？梢娸斎胱兞康陌朔N狀態(tài)分別唯一地對應(yīng)著八個最小項。(1)若表達式中的乘積包含了所有變量的原變量或反變量，則這一項稱為最小項。最小項的特點：(2)當輸入變量的賦值使某一個最小項等于1時，其他的最小項均等于0。之所以稱之為最小項，是因為該項已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。例如：對于三變量的邏輯函數(shù)，如果某一項的變量數(shù)少于3個，則該項可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等于3個，則該項不能繼續(xù)分解。根據(jù)最小項的特點，從真值表可直接用最小項寫出邏輯函數(shù)式。例如：由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫出其邏輯函數(shù)式：驗證：將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿足真值表中所列出的對應(yīng)的輸出狀態(tài)。邏輯相鄰：若兩個最小項只有一個變量以原、反區(qū)別，其他變量均相同，則稱這兩個最小項邏輯相鄰。邏輯相鄰邏輯相鄰的項可以合并，消去一個因子3.2.3卡諾圖卡諾圖的構(gòu)成：將n個輸入變量的全部最小項用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是n變量的卡諾圖。下面舉例說明卡諾圖的畫法。最小項：輸入變量的每一種組合。ABY001011101110AB01010111輸出變量Y的值輸入變量例1：二輸入變量卡諾圖卡諾圖的每一個方塊（最小項）代表一種輸入組合，并且把對應(yīng)的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。邏輯相鄰：相鄰單元輸入變量的取值只能有一位不同。0100011110

ABC00000111輸入變量輸出變量Y的值A(chǔ)BCY00000010010001101000101111011111例2：三輸入變量卡諾圖注意：00與10邏輯相鄰。ABCD0001111000011110四變量卡諾圖編號為0010單元對應(yīng)于最小項：ABCD=0100時函數(shù)取值函數(shù)取0、1均可，稱為無所謂狀態(tài)。只有一項不同例3：四輸入變量卡諾圖有時為了方便，用二進制對應(yīng)的十進制表示單元格的編號。單元格的值用函數(shù)式表示。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7單元取1，其它取0

ABC編號

00000011010201131004101511061117ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號:F=f(ABCDE)20212322181917162829313026272524121315141011984576231000000101101011011110110000011110ABCDE五變量卡諾圖單元格的編號:卡諾圖的最大優(yōu)點：形象地表達了變量各最小項之間在邏輯上的相鄰性。圖中任何幾何位置相鄰的最小項，在邏輯上都具有相鄰性?？ㄖZ圖的缺點：隨著變量的增加，圖形迅速復雜化，所以只適用于少于5～6變量的邏輯函數(shù)。3.2.4邏輯圖把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號和連線表示出來，就構(gòu)成了邏輯圖。&AB&CD1FF=AB+CD3.2.5邏輯函數(shù)四種表示方式的相互轉(zhuǎn)換一、邏輯電路圖邏輯代數(shù)式BABY=AB+ABABA1&AB&1≥1

二、真值表卡諾圖ABY001011101110二變量卡諾圖真值表AB10101110三、真值表、卡諾圖邏輯代數(shù)式方法：將真值表或卡諾圖中為1的項相加，寫成“與或式”。

真值表

ABY001011101110AB01010111AB此邏輯代數(shù)式并非是最簡單的形式，實際上此真值表是與非門的真值表，其邏輯代數(shù)式為Y=AB因此，有一個化簡問題。ABAB§3.3邏輯函數(shù)的化簡最簡與或式乘積項的項數(shù)最少。每個乘積項中變量個數(shù)最少?；喎椒ù鷶?shù)法卡諾圖法列表法目的：①降低成本

②提高可靠性3.3.1利用邏輯代數(shù)的基本公式例1：反變量吸收提出AB=1提出A例2：反演配項被吸收被吸收結(jié)論：異或門可以用4個與非門實現(xiàn)。例3:

證明;AB=A+B;展開異或門可以用4個與非門實現(xiàn)：&&&&ABY例4：化簡為最簡邏輯代數(shù)式例5：將Y化簡為最簡邏輯代數(shù)式。;利用反演定理;利用公式A+AB=A+B；A=A歸納：

優(yōu)點是——不受變量數(shù)目的約束；當對公理、定理和規(guī)則十分熟練時，化簡比較方便。缺點是——沒有一定的規(guī)律和步驟，技巧性很強，適合變量個數(shù)較少的情況，而且在很多情況下難以判斷化簡結(jié)果是否最簡。代數(shù)化簡法

函數(shù)最小項表達式與其卡諾圖一一對應(yīng)例：F(A,B,C)=ABC+ABC010001000001111001ABC3.3.2利用卡諾圖化簡

從卡諾圖讀出與或式第①步：畫圈1.將相鄰為1的小方格畫圈，包括的小方格的個數(shù)為2m,

m=0,1,2…2.圈越大越好3.小方格可以重復使用相鄰的概念——緊靠在一起的、行列首尾的、對稱的111001000001111001ABC1001000000001001

0001111000011110ABCD0110000000000110

0001111000011110ABCDABC0001111001該方框中邏輯函數(shù)的取值與變量A無關(guān)，當B=1、C=1時取“1”。第②步：每個圈是一個與項向左看向上看變量不同——消去變量相同1——原變量0——反變量1001000000001001

0001111000011110ABCD0110000000000110

0001111000011110ABCD第③步：將所有的與項相加1101110000111011

0001111000011110ABCDF=AC+AC+BDABC0001111001ABBCF=AB+BC卡諾圖適用于輸入變量為3、4個的邏輯代數(shù)式的化簡；化簡過程比公式法簡單直觀。利用卡諾圖化簡的規(guī)則1.相鄰單元的個數(shù)是2n個，并組成矩形時，可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD00011110000111104.每一個組合中的公因子構(gòu)成一個“與”項，然后將所有“與”項相加，得最簡“與或”表示式。2.先找面積盡量大的組合進行化簡，利用吸收規(guī)則，2n個相鄰單元合并，可吸收掉n個變量。3.各最小項可以重復使用。但每一次新的組合，至少包含一個未使用過的項