一元二次方程的四種解法

一元二次方程的解法(1(1)元二次方程的概念一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧1、一元二次方程必須同時(shí)滿足的三個(gè)條件： 2、一元二次方程的一般形式：二、典型例題例1：判斷下列方程是否為一元二次方程：①x2+x=1②x2=1③x2-2x+3y=0④x2一3二(x-1)(x-4)⑤ax2+bx+c=0 ⑥mx2=0(m是不為零常數(shù))例2：一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).(ix2-10x—900=0 (2)5x2+10x一2.2=0(3)2x2-15=0 (4)x2+3x=0(5)(x+2)2=3 (6)(x+3)(x-3)=0例3：當(dāng)m時(shí)，關(guān)于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程。三、課堂練習(xí)1、下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是()A.3(x+1)2=2(x+1)B.—+1-2=0x2yC.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2-12、用換元法解方程(x2+x)2+(x2+x)=6時(shí)，如果設(shè)X2+x=y，那么原方程可變形為()A、y2+y-6=0 B、y2—y—6=0C、y2—y+6=0 D、y2+y+6=03、已知兩數(shù)的積是12,這兩數(shù)的平方和是25,以這兩數(shù)為根的一元二次方程是4、已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（k+1）x-6=0的一個(gè)根是2,求k的值.四、課后練習(xí).將方程3x（x_1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，得；其中二次項(xiàng)系數(shù)是；一次項(xiàng)系數(shù)是；常數(shù)項(xiàng)是..方程（k-4）x2+5x+2k+3=0是一元二次方程，則k就滿足的條件是:.已知m是方程X2-x-2=0的一個(gè)根，則代數(shù)式m2-m=.在一幅長(zhǎng)80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2,設(shè)金色紙邊的寬為xcm，則x滿足的方程是（）（A）x2+130x-1400=0 （B）x2+65x-350=0（C）x2-130x-1400=0 （D）x2-65x-350=0.關(guān)于x的方程（m-3）x2+nx+m=0，在什么條件下是一元二次方程？在什么條件下是一元一次方程？（2）直接開(kāi)方法一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧1、了解形如X2=a（aN0）或（x+h）2=k（k三0）的一元二次方程的解法一一直接開(kāi)平方法小結(jié)：如果一個(gè)一元二次方程具有（x+m）2=n（n>0）的形式，那么就可以用直接開(kāi)平方法求解。（用直接開(kāi)平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的左邊化為一個(gè)完全平方式,右邊化為常數(shù),且要養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣）【復(fù)習(xí)回顧】.方程(k-4)x2+5x+2k+3=0是一元二次方程，則k就滿足的條件是:.若(a+1)X2+(x-1)2=0二次項(xiàng)的系數(shù)為-2,則a=二、典型例題例1：解下列方程：x2=2 (2)4x2—1=0例2、解下列方程：W(x+1)2=2 ⑵(x-1)2-4=0 ⑶12(3-x)2-3=0推薦例3：用直接開(kāi)平方法解下列方程1(3x+1)2-15=0(2)(x-3>=4(2x+1〉(3)x2+2ax+a2-b=04三、課堂練習(xí)1：若方程(x-4)2=m-6可用直接開(kāi)平方法解，則m的取值范圍是()A.m>6 B.mNoC.mN6D.m=62：方程(1-x)2=2的根是()A.-1、3 B：1、-3C：1-x2、1+”D…2-1、Q+13：方程(3x—1)2=-5的解是。4：用直接開(kāi)平方法解下列方程：(1)4x2=9； (2)(x+2)2=16(3)(2x-1)2=3; (4)3(2x+1)2=12四、課后練習(xí)1、4的平方根是，方程X2=4的解是.2、方程Q+11=1的根是，方程4(x+1>=1的根是.3、當(dāng)x取時(shí)，代數(shù)式x2-5的值是2；若x2-相=0,則x=.4、關(guān)于x的方程3x2-k+1=0若能用直接開(kāi)平方法來(lái)解，則k的取值范圍是( )A、k>1B、k<1 C、kW1 D、kN15、解下列方程：(1)2x2-1=0 (2)(5x)-4=63 9(3)(X+J5)(-J5)=7 (4)2(6-X>-128=0(5)0.5y2-2=0 (6)(x+1、=4(x-2)6、已知一個(gè)等腰三角形的兩邊是方程4-(x-10)2=0的兩根，求等腰三角形的面積(3)配方法一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧1、經(jīng)歷探究將一元二次方程的一般式轉(zhuǎn)化為(x+h)2=k(nN0)形式的過(guò)程，進(jìn)一步理解配方法的意義；2、填空：(1)X2+6x+=(x+)2;(2)x2-2x+=(x-_)2；(3)x2-5x+=(x-_)2；(4)x2+x+=(x+)2；(5)x2+px+=(x+)2;3、將方程X2+2x-3=0化為(乂+坨2=卜的形式為；小結(jié)1：用配方法解一元二次方程的一般步驟：1、把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；2、在方程的兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；3、利用直接開(kāi)平方法解之。小結(jié)2：當(dāng)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，用配方法解方程的步驟：①二次項(xiàng)系數(shù)化為1;②移項(xiàng)；③直接開(kāi)平方法求解.二、典型例題例1:將下列各進(jìn)行配方：⑴x2+10x+=(x+)2 ⑵x2—6x+=(x—)2⑶X2—5x+=(x-)2 ⑷x2+bx+ =(x+ )4 —2例2:解下列方程：(1)X2—4X+3=0 (2)X2+3X—1=0推薦例3：用配方法解下列關(guān)于X的方程：(1)(x+1)2-10(x+1)+9=0 (2)x2一6aX+9a2-4b2=0

例4：例1解方程：①2x2—5x+2=0 ②一3x2+4x+1=0例5、一個(gè)小球垂直向上拋的過(guò)程中，它離上拋點(diǎn)的距離h(m)與拋出后小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t(s)有如下關(guān)系：h=241-5t2。經(jīng)過(guò)多少秒后，小球離上拋點(diǎn)的高度是16m？推薦例6：求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)X，代數(shù)式x2-4x+4.5的值恒大于零。三、課堂練習(xí).完成下列配方過(guò)程：x2+8x+=(x+)2x2-x+=x2+8x+=(x+)2x2-x+=(x-)2x2+x2-+4=(x+)2+9=(x- )2- 4 .若x2-mx+"=(x+7)2，則m的值為().25 5A.75B.-A.75B.-75C14

.5D-14. 5.用配方法解下列方程：(1)x2-6x-16=0；(3)X(1)x2-6x-16=0；(3)X2+2%3x-4=0；4.已知直角三角形的三邊(2)x2+3x-2=0；22

(4)x2-2x-2=0.3 3a、b、c，且兩直角邊a、b滿足等式(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0，求斜邊c的值。5.用配方法解方程2y2-血y=1時(shí)，方程的兩邊都應(yīng)加上（）A.好B.52 4A.好B.52 4C.4D.-5166.a2+b2+2a-4b+5=(a+)2+(b-)27.用配方法解下列方程：(1)2x2+1=3x；(2)3y(1)2x2+1=3x；(4)2x2=3-7x.(3)3x2(4)2x2=3-7x.8.若4x2-（4m-1）x+m2+1是一個(gè)完全平方式，求m.四、課后練習(xí)1、用配方法解下列方程：（1）x2-6x-16=0 （2）x2+3x-2=0（3）x2+7=-6x （4）x2-1x--=04 52、把方程x2-3x+p=0配方，得到（x+m%=2.（1）求常數(shù)p與m的值；（2）求此方程的解。

3、用配方法解方程x2+px+q=0(p2-4q>0)4、用配方法解下列方程：X2X2+15=10X3x2-12x+3=0(3)4x2—12、2x—1=0(5)3x2(5)3x2＋2x—3=0(6)2x2-4x+5=02、你能用配方法求：當(dāng)x為何值時(shí)，代數(shù)式-3x2+6x-5有最大值?(4)公式法一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧1、把方程4-X2=3x化為ax2+bx+c=0(a=0)形式為,b2-4ac=.2、方程X2+x-1=0的根是。3、方程3x2+2=4x的判別式b2-4ac=,所以方程的根的情況是.4、一元二次方程X2-4x+4=0的根的情況是()A.有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.不能確定C.D.不能確定總結(jié)：一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)的根的情況可由來(lái)判斷:當(dāng)b2-4ac>0時(shí)， 當(dāng)b2-4ac=0時(shí)， 當(dāng)b2-4ac<0時(shí)， 二、典型例題例1：解下列方程：⑴x2+3x+2=0; (2)2X2—7x=4變式：1、解方程：(1)2x(x+1)=3; (2)x2+1=—x(—2+5+x).例2：解下列方程：(1)x2+x—1=0; (2)x2—2v3x+3=0; (3)2x2—2x+1=0.例3：不解方程，判別下列方程根的情況.(1)2x2+3x+4=0； (2)2x2-5=6x；(3)4x(x-1)-3=0； (4)x2+5=2%：5x.

題變：1、試說(shuō)明關(guān)于X的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.推薦例4：當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于X的方程kx2—(2k+1)x+k+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？題變：1、已知一元二次方程(m-2)2X2+(2m+1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.三、隨堂練習(xí).把方程(2x-1)(x+3)=X2+1化為ax2+bx+c=0的形式，b2-4ac=，方程的根是..方程(x-1)(x-3)=2的根是()A.x1=1,x2=3 B.x=2±2.<3 C.x=2土.<3 D.x=-2±2-<3.關(guān)于x的一元二次方程X2+4x-m=0的一個(gè)根是<5-2,則m=，方程的另一個(gè)根是..若最簡(jiǎn)二次根式、:m2-7和v：8mTi是同類二次根式，則的值為()A.9或-1 B.-1 C.1 D.9.用公式法解下列方程：(1)x2-2x-8=0； (2)x2+2x-4=0；(3)(3)2x2-3x-2=0；(4)3x(3x-2)+1=0..方程（2x+1）（9x+8）=1的根的情況是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根 D.不能確定.關(guān)于x的方程X2+2kkx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k（）A.k>-1 B.kN-1C.k>1 D.kN0.要使關(guān)于x的方程kx2-4x+3=0有實(shí)數(shù)根，則k應(yīng)滿足的條件是 （）A.k<4/3 B.k>4/3 C.kW4/3 D.kN4/3.已知方程x2-mx+n=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么符合條件的一組m,n的值可以是m=,n=..不解方程，判斷下列方程根的情況：3汽2—x+1=3x(2)5(汽2+1)=7x(3)3汽2—4A3x=—4.解下列方程：x2+6x=0; (2)x2+12x+27=0(3)2y(3)2y2-y-5=0;(4)x2+6x-16=0四、課后練習(xí).用公式法解方程、五X2+4x運(yùn)x=2.J2，其中求的b2-4ac的值是（）A.16B.土4C..、瓦 D.64.用公式法解方程x2=-8x-15,其中b2-4ac=，方程的根是 ..用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正確的是（）A.x1.2=12±.<144-A.x1.2=12±.<144-12

2B.x1.2=-12±."44-12

2x1.2=12x1.2=12土<144+122x1.2_12土、：144—48.三角形兩邊長(zhǎng)分別是3和5,第三邊的長(zhǎng)是方程3x2-10x-8=0的根，則此三角形是三角形..如果分式x2+x—2的值為零，那么x= :x—1.用公式法解下列方程：3y2-y-2=0 (2)2x2+1=3x(3)4x2(3)4x2-3x-1=x-2(4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1).下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的方程式()A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0.方程ax2+bx+c=0(a=0)有實(shí)數(shù)根，那么總成立的式子是()A.b2-4ac>0 B.b2-4ac<0C.b2-4acW0 D.b2-4acN09.如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么k=.因式分解法一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧應(yīng)用回顧：下列哪些方法能用因式分解法解(1)x2+2x=0(2)(x-3)2-(x—3)=0(3)x+1-2(x+1)2=11(4)x2-9=0

小結(jié)：因式分解法解一元二次方程的一般步驟：.將方程的右邊化為0.將方程左邊因式分解..把原來(lái)的一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程..分別解兩個(gè)一元一次方程，它們的根就是原方程的根.二、典型例題例1：用因式分解法解方程:（1）%2=—4x （2）x+3-x（x+3）=0例2：解方程（2x-1）2-x2=0三、隨堂練習(xí)1.如果方程x2-3x+c=0有一個(gè)根為1,那么c=,該方程的另一根為該方程可化為（該方程可化為（x-1）（x）=02.2.方程X2=X的根為（）A.x=0B.x1A.x=0B.x1=0,x2=1C.x1=0,x2=-1 D.x1=0,x2=23.3.用因式分解法解下列方程：（1（1）（x+2）