數(shù)學立體幾何復習

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖基礎(chǔ)梳理1.多面體(1)有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.(2)有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.(3)用一個平行于棱錐底面的平面截棱錐,底面和截面之間的這部分多面體叫做棱臺..2

旋轉(zhuǎn)(1)以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.(2)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體體叫做圓錐.(3)以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球.3.三視圖和直觀圖(1)三視圖是從一個幾何體的正前方、正左方、正上方三個不同的方向看這個幾何體,描繪出的圖形,分別稱為正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.(2)三視圖的排列順序:先畫正視圖,俯視圖放在正視圖的下方,側(cè)視圖放在正視圖的右方.(3)三視圖的三大原則:長對正、高平齊、寬相等.(4)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法：①在已知圖形中,取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O,畫直觀圖時,把它們畫成對應的x′軸和y′軸,兩軸相交于O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),用它們確定的平面表示水平面.②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中,分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段.③已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段,在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?典例分析題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】根據(jù)下列對幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述,說出幾何體的名稱.(1)由八個面圍成,其中兩個面是互相平行且全等的正六邊形,其他各面都是矩形;(2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180°形成的封閉曲面所圍成的圖形;(3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體.分析要判斷幾何體的類型,從各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征入手，以柱、錐、臺的定義為依據(jù)，把復雜的幾何體分割成幾個簡單的幾何體.解

(1)如圖1所示,該幾何體滿足有兩個面平行,其余六個面都是矩形,可使每相鄰兩個面的公共邊都互相平行,故該幾何體是正六棱柱.(2)如圖2所示,等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形,每個直角梯形旋轉(zhuǎn)180°形成半個圓臺,故該幾何體為圓臺.(3)如圖3所示,由梯形ABCD的頂點A引AO⊥CD于O點,將直角梯形分為一個直角三角形AOD和矩形AOCB,繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個組合體,該組合體由一個圓錐和一個圓柱組成.圖1圖2圖3學后反思對于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題,要對原平面圖形作適當?shù)姆指?再根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征進行判斷.舉一反三.1

觀察如圖幾何體,分析它們是由哪些基本幾何體組成的,并說出主要結(jié)構(gòu)特征.解析

(1)是一個四棱柱和一個四棱錐組成的,它有9個面,9個頂點,16條棱.(2)是由一個四棱臺、一個四棱柱和一個球組成的,其主要結(jié)構(gòu)特征就是相應四棱臺、四棱柱和球的結(jié)構(gòu)特征.題型二柱、錐、臺中的計算問題【例2】正四棱臺的高是17cm,兩底面邊長分別是4cm和16cm,求棱臺的側(cè)棱長和斜高.分析求棱臺的側(cè)棱長和斜高的關(guān)鍵是找到相關(guān)的直角梯形,然后構(gòu)造直角三角形,解決問題.解如圖所示,設(shè)棱臺的兩底面的中心分別是、O,和BC的中點分別是和E,連接、、、OB、、OE,則四邊形和都是直角梯形.∵=4cm,AB=16cm,∴=2cm,OE=8cm,=2cm,OB=8cm,∴=19cm,∴棱臺的側(cè)棱長為19cm,斜高為cm.學后反思（1）把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解是解決立體幾何問題的常用方法.（2）找出相關(guān)的直角梯形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，正棱臺中許多元素都可以在直角梯形中求出.舉一反三2.（2009·上海）若等腰直角三角形的直角邊長為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積是_____.解析如圖，等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐.V=S·h=π·h=π××2=.答案

題型三三視圖與直觀圖【例3】螺栓是由棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體,如下圖,畫出它的三視圖.分析螺栓是棱柱、圓柱組合而成的，按照畫三視圖的三大原則“長對正，高平齊，寬相等”畫出.解該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的,正視圖反映正六棱柱的三個側(cè)面和圓柱側(cè)面,側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個側(cè)面和圓柱側(cè)面,俯視圖反映該物體投影后是一個正六邊形和一個圓(中心重合).它的三視圖如下圖:學后反思在繪制三視圖時,若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,分界線和可見輪廓線都用實線畫出.例如上圖中,表示上面圓柱與下面棱柱的分界線是正視圖中的線段AB、側(cè)視圖中的線段CD以及俯視圖中的圓.舉一反三3.(2008·廣東)將正三棱柱截去三個角(如圖1所示,A、B、C分別是△GHI三邊的中點)得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖為()解析由正三棱柱的性質(zhì)得,側(cè)面AED⊥底面EFD,則側(cè)視圖必為直角梯形,且線段BE在梯形內(nèi)部.答案

A題型四幾何體的直觀圖【例4】(12分)用斜二測法畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖.分析畫水平放置的直觀圖應遵循以下原則:(1)坐標系中∠x′O′y′=45°;(2)橫線相等,即A′B′=AB,C′D′=CD;(3)豎線是原來的,即O′E′=OE.畫法

(1)如圖1,取AB所在直線為x軸,AB中點O為原點,建立直角坐標系,…………..3′畫對應的坐標系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°……….5′(2)以O(shè)′為中點在x′軸上取A′B′=AB,在y′軸上取O′E′=OE,以E′為中點畫C′D′∥x′軸,并使C′D′=CD……………10′(3)連接B′C′、D′A′,所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖,如圖2……………..12′

圖1圖2學后反思在原圖形中要建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，一般取圖形中的某一橫線為x軸，對稱軸為y軸，或取兩垂直的直線為坐標軸，原點可建在圖形的某一頂點或?qū)ΨQ中心、中點等.坐標系建得不同，但畫法規(guī)則不變，關(guān)鍵是畫出平面圖形中相對應的頂點.舉一反三4.如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′=6cm，O′C′=2cm，則原圖形是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四邊形解析∵在直觀圖中，平行于x軸的邊的長度不變，平行于y軸的邊的長度變?yōu)樵瓉淼?，∴原圖中，OA=6cm,OD=4cm，∴OC=6cm,BC=AB=6cm，∴原圖形為菱形.答案

C易錯警示【例】畫出如圖1所示零件的三視圖.錯解圖1的零件可看做是一個半圓柱、一個柱體、一個圓柱的組合,其三視圖如圖2.

圖1圖2錯解分析錯誤原因是圖中各視圖都沒有畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時應畫出其交線.正解考點演練10.（2010·濰坊模擬）如圖，已知正四棱臺ABCD-的上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，則線段的長是_____.解析連接上底面對角線的中點和下底面BD的中點O，得棱臺的高，過點作的平行線交BD于點E，連接CE.在△BCE中，由BC=2，BE=,∠CBE=45°，利用余弦定理可得CE=，故在Rt△中易得答案

11.圓臺的兩底面半徑分別為5cm和10cm,高為8cm,有一個過圓臺兩母線的截面,且上、下底面中心到截面與兩底面交線的距離分別為3cm和6cm,求截面面積.解析如圖所示截面ABCD,取AB中點F,CD中點E,連接OF,，EF,,OA,則為直角梯形,ABCD為等腰梯形,EF為梯形ABCD的高,在直角梯形中,

（cm），在Rt△中，∴（cm）,同理,（cm）,12.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,軸截面的面積等于392,母線與軸的夾角是45°,求這個圓臺的高、母線長和兩底面半徑.解析圓臺的軸截面如圖所示,設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為xcm,3xcm.延長交的延長線于S,在Rt△SOA中,∠ASO=45°,則∠SAO=45°,∴SO=AO=3x,=x，∴=2x,又,∴x=7.故圓臺的高=14cm,母線長==14cm,兩底面半徑分別為7cm,21cm.第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)梳理1.柱體、錐體、臺體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和；表面積是各個面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和.2.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積.3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積及表面積4.柱、錐、臺體的體積這是柱體、錐體、臺體統(tǒng)一計算公式,特別地，圓柱、圓錐、圓臺還可以分別寫成:

5.球的體積及球的表面積設(shè)球的半徑為R,典例分析題型一幾何體的表面積問題【例1】已知一個正三棱臺的兩底面邊長分別為30cm和20cm,且其側(cè)面積等于兩底面面積之和,求棱臺的高.分析要求正棱臺的高，首先要畫出正棱臺的高，使其包含在某一個特征直角梯形中，轉(zhuǎn)化為平面問題，由已知條件列出方程，求解所需的幾何元素.解如圖所示,正三棱臺ABC-中,O、分別為兩底面中心,D、分別為BC和中點,則為棱臺的斜高.設(shè)=20,AB=30,則OD=5,=,由,得∴在直角梯形中,∴棱臺的高為4cm.學后反思

(1)求解有關(guān)多面體表面積的問題,關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形,解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖.（2）借助于平面幾何知識,利用已知條件求得所需幾何要素.舉一反三1.圓臺側(cè)面的母線長為2a,母線與軸的夾角為30°,一個底面的半徑是另一個底面半徑的2倍.求兩底面的半徑與兩底面面積之和.解析如圖,設(shè)圓臺上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,∠ASO=30°,在Rt△SO′A′中,=sin30°,∴SA′=2r.在Rt△SOA中,=sin30°,∴SA=4r.∴SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a,r=a.∴∴圓臺上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為.題型二幾何體的體積問題【例2】已知四棱臺兩底面均為正方形，邊長分別為4cm，8cm，側(cè)棱長為8cm，求它的側(cè)面積和體積.分析由題意知,需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺的高,然后利用平面圖形面積公式和臺體體積公式求得結(jié)論.解如圖,設(shè)四棱臺的側(cè)棱延長后交于點P,則△PBC為等腰三角形,取BC中點E,連接PE交于點,則PE⊥BC,E為側(cè)面等腰梯形的高,作PO⊥底面ABCD交上底面于點,連接、OE.在△P和△PBC中,∴,為PB的中點,為PE的中點.在Rt△PEB中,在Rt△POE中,學后反思（1）求棱臺的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它們是架起“求積”關(guān)系式中的未知量與滿足題設(shè)條件中幾何圖形元素間關(guān)系的“橋梁”.（2）平行于棱臺底面的截面分棱臺的側(cè)面積與體積比的問題，通常是“還臺為錐”，而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解.“還臺為錐”借助于軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，求出相關(guān)數(shù)據(jù)，進行計算.“還臺為錐”是解決棱臺問題的重要方法和手段.舉一反三2.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE、△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為

.解析如圖,分別過A、B作EF的垂線,垂足分別為G、H,連接DG、CH,易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,答案

題型三組合體的體積和表面積問題【例3】(12分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點,將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱錐的外接球的體積.分析易知折疊成的幾何體為棱長為1的正四面體,欲求外接球的體積，求其外接球半徑即可.解由已知條件知,在平面圖形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1……………….1′所以折疊后得到一個正四面體.方法一:如圖，作AF⊥面DEC,垂足為F,F即為△DEC的中心…………3′取EC中點G,連接DG、AG,過外接球球心O作OH⊥面AEC,則垂足H為△AEC的中心…….5′∴外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.∵AG=,∴AH=AG=，∴AF=,…………7′在△AFG和△AHO中,根據(jù)三角形相似可知,

…………...10′∴外接球體積為…………….12′方法二:如圖,把正四面體放在正方體中.顯然,正四面體的外接球就是正方體的外接球…………..4′∵正四面體棱長為1,∴正方體棱長為,………….6′∴外接球直徑2R=,…10′∴R=,∴體積為………………12′學后反思

(1)折疊問題是高考經(jīng)常考查的內(nèi)容之一,解決這類問題要注意對翻折前后線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較.一般來說，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素其相對位置的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個半平面內(nèi)的元素其相對位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系則發(fā)生變化;不變量可結(jié)合原圖形求證，變化量應在折后立體圖形中求證.對某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計算，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.（2）由方法二可知，有關(guān)柱、錐、臺、球的組合體，經(jīng)常是把正方體、長方體、球作為載體，去求某些量.解決這類問題，首先要把這些載體圖形的形狀、特點及性質(zhì)掌握熟練，把問題進行轉(zhuǎn)化，使運算和推理變得更簡單，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中一個非常重要的思想方法.舉一反三3.已知正四棱錐的底面邊長為a,側(cè)棱長為a.求它的外接球的體積.解析設(shè)外接球的半徑為R,球心為O,則OA=OC=OS,所以O(shè)為△SAC的外心,即△SAC的外接圓半徑就是外接球的半徑,∵AB=BC=a,∴AC=a,∵SA=SC=AC=a,∴△SAC為正三角形.由正弦定理,得易錯警示涉及組合體問題，關(guān)鍵是正確地作出截面圖形，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題進行解決，解此類問題時往往因不能正確地作出截面圖形而導致錯誤.【例】已知球的內(nèi)接正方體的體積為V，求球的表面積.錯解分析過球內(nèi)接正方體的一個對角面作球的大圓截面，得到一個矩形，矩形的對角線長為x，不是x.錯解如圖所示，作圓的內(nèi)接正方形表示正方體的截面，設(shè)正方體的棱長為x，球半徑為R，則有

=V,x=2R，解得正解如圖所示，過正方體的對角面作球的大圓截面，設(shè)正方體的棱長為x，球半徑為R,則有

=V,x=2R，解得考點演練10.（2009·遼寧）設(shè)某幾何體的三視圖如下（長度單位為m）：求該幾何體的體積.解析三視圖所對應的立體圖形如圖所示.由題意可得平面PAC⊥平面ABC，V=×4×3×2=4().11.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱=8.若側(cè)面水平放置時，液面恰好過AC、BC、、的中點.當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為多少？解析當側(cè)面水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面ABFE為梯形，設(shè)△ABC的面積為S，則

當?shù)酌鍭BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，則有=Sh，∴6S=Sh,∴h=6.故當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為6.12.（2009·廣東改編）某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖1所示.墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH,下半部分是長方體ABCD-EFGH.圖2、圖3分別是該標識墩的正視圖和俯視圖.（1）請畫出該安全標識墩的側(cè)視圖；（2）求該安全標識墩的體積.

圖1圖2圖3解析（1）側(cè)視圖同正視圖，如圖2所示.（2）該安全標識墩的體積為第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)梳理1.平面的基本性質(zhì)名稱

圖形

文字語言

符號語言公理1如果一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi)

公理2經(jīng)過不在同一條直線上的三個點確定一個平面

A、B、C不共線A、B、C∈平面α且α是唯一的公理3如果不重合的兩個平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過這個點的公共直線

若P∈α,P∈β,則α∩β=a,且P∈a公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行若a∥b,b∥c,則a∥c公理2的推論推論1經(jīng)過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面若點A直線a,則A和a確定一個平面α推論2兩條相交直線確定一個平面a∩b=P有且只有一個平面α,使aα,bα推論3兩條平行直線確定一個平面a∥b有且只有一個平面α,使aα,bα2.空間直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系相交共面①共面與否平行異面一個公共點:相交②公共點個數(shù)平行無公共點異面(2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行.(3)定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.（4）異面直線的夾角①定義：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a,b′∥b，我們把兩相交直線a′、b′所成的角叫做異面直線a、b所成的角（或夾角）.②范圍：θ∈（0,].特別地，如果兩異面直線所成的角是，我們就稱這兩條直線垂直，記作a⊥b.3.空間中的直線與平面的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點直線與平面相交——有且只有一個公共點直線在平面外直線與平面平行——無公共點4.平面與平面的位置關(guān)系平行——無公共點相交——有且只有一條公共直線典例分析題型一點、線、面的位置關(guān)系【例1】下列命題:①空間不同三點確定一個平面;②有三個公共點的兩個平面必重合;③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面;④三角形是平面圖形;⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形;⑥垂直于同一直線的兩直線平行;⑦一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交;⑧兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.其中正確的命題是_______.分析根據(jù)公理及推論作判斷.解由公理2知,不共線的三點才能確定一個平面,所以命題①、②均錯,②中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當這三個公共點共線時);③空間兩兩相交的三條直線有三個交點或一個交點,若為三個交點,則這三線共面,若只有一個交點,則可能確定一個平面或三個平面;④正確;⑤中平行四邊形及梯形由公理2的推論及公理1可得必為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊形;如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,直線BB′⊥AB,BB′⊥BC,但AB與BC不平行,所以⑥錯;AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′與CD不相交,所以⑦錯;四邊形AD′B′C中,AD′=D′B′=B′C=CA,但它不是平行四邊形,所以⑧也錯.學后反思平面性質(zhì)的三個公理及其推論是論證線面關(guān)系的依據(jù),在判斷過程中要注意反例和圖形的應用.舉一反三1.給出下列命題：①如果平面α與平面β相交,那么它們只有有限個公共點;②經(jīng)過空間任意三點的平面有且只有一個;③如果兩個平面有三個不共線的公共點,那么這兩個平面重合為一個平面;④不平行的兩直線必相交.其中正確命題的序號為______.解析由公理3知，①錯;由公理2知，②錯;③對;不平行的兩直線可能異面，故④錯.答案③題型二證明三點共線【例2】已知△ABC的三個頂點都不在平面α內(nèi),它的三邊AB、BC、AC延長后分別交平面α于點P、Q、R.求證:P、Q、R三點在同一條直線上.分析要證明P、Q、R三點共線,只需證明這三點都在△ABC所在的平面和平面α的交線上即可.證明由已知條件易知,平面α與平面ABC相交.設(shè)交線為,即=α∩面ABC.∵P∈AB,∴P∈面ABC.又P∈AB∩α,∴P∈α,即P為平面α與面ABC的公共點,∴P∈.同理可證,點R和Q也在交線上.故P、Q、R三點共線于.學后反思證明多點共線的方法是：以公理3為依據(jù)，先找出兩個平面的交線，再證明各個點都是這兩個面的公共點，即在交線上，則多點共線.或者，先證明過其中兩點的直線是這兩個平面的交線，然后證明第三個點也在交線上.同理，其他的點都在交線上，即多點共線.舉一反三2.如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接,且連接點不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點,且直線EF和GH交于點P,如圖所示.求證:點B、D、P在同一條直線上.證明由于直線EF和GH交于點P,∴P∈EF,又∵EF平面ABD,∴P∈平面ABD.同理,P∈平面CBD.∴P在平面ABD與平面CBD的交線BD上,即B、D、P三點在同一條直線上.題型三證明點線共面【例3】求證:兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi).分析由題知，四條直線兩兩相交且不共點，故有兩種情況：一種是三條交于一點，另一種是任何三條都不共點，故分兩種情況證明.要證明四線共面，先根據(jù)公理2的推論證兩條直線共面，然后再證第三條直線在這個平面內(nèi)，同理第四條直線也在這個平面內(nèi)，故四線共面.證明

(1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于點O,直線d和a,b,c分別相交于A,B,C三點,直線d和點O確定平面α,由O∈平面α,A∈平面α,O∈直線a,A∈直線a,知直線a平面α.同理b平面α,c平面α,故直線a,b,c,d共面于α.(2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點,交點分別是M,N,P,Q,R,G,由直線a∩b=M,知直線a和b確定平面α.由a∩c=N,b∩c=Q,知點N、Q都在平面α內(nèi),故cα.同理可證dα,故直線a,b,c,d共面于α.由(1)、(2)可知,兩兩相交且不共點的四條直線必在同一平面內(nèi).學后反思證多線共面的方法：（1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也在這個平面內(nèi).同理其他直線都在這個平面內(nèi).（2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證明這些平面重合.舉一反三3.在正方體ABCD-中,E是AB的中點,F是的中點.求證:E、F、、C四點共面.證明如圖，連接,EF,.∵E是AB的中點,F是的中點,∴EF∥.∵∥,∴EF∥.故E、F、、C四點共面.題型四異面直線及其所成角的問題【例4】(2008·全國Ⅱ)已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE、SD所成的角的余弦值為（）A.B.C.D.分析通過作平行線找到AE與SD所成的角，再利用三角形求解.解如圖，連接AC、BD交于點O，連接OE.因為OE∥SD，所以∠AEO為所求.設(shè)側(cè)棱長與底面邊長都等于2，則在△AEO中，OE=1，AO=，AE=，于是cos∠AEO=.故選C.學后反思求異面直線所成的角的方法：（1）根據(jù)平行線定義，作出異面直線所成的角.（2）證明作出的角是異面直線所成的角.（3）在三角形內(nèi)求得直線所成角的某個三角函數(shù)值.舉一反三4.在四面體A-BCD中，AB=CD，且其所成的角是60°，點M，N分別是BC，AD的中點.求直線AB與MN所成的角的大小.解析如圖，取BD中點E，連接NE，EM，則ENAB,EMCD,故△EMN為等腰三角形，由條件∠MEN=60°，∴△EMN為等邊三角形，且∠ENM即為AB與MN所成的角，∴∠ENM=60°.題型五證明三線共點【例5】(12分)已知四面體A-BCD中,E、F分別是AB、AD的中點,G、H分別是BC、CD上的點,且.求證:直線EG、FH、AC相交于同一點P.分析先證E、F、G、H四點共面，再證EG、FH交于一點，然后證明這一點在AC上.證明∵E、F分別是AB、AD的中點,∴EF∥BD且EF=BD….2′又∵,∴GH∥BD且GH=BD,∴EF∥GH且EF>GH,……4′∴四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交,設(shè)兩腰EG、FH的延長線相交于一點P,……………..6′∵EG平面ABC,FH平面ACD,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD…………..8′又∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,…………10′故直線EG、FH、AC相交于同一點P………………12′學后反思證明三線共點的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點，然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的交線；由公理3可知，兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上，即三條直線交于一點.舉一反三5.如圖所示,已知空間四邊形ABCD,點E,F,G,H,M,N分別是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中點.求證:三線段EG,FH,MN交于一點,且被該點平分.證明如圖所示,連接EF,FG,GH,HE,MF,FN,NH,MH.∵E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點,∴EF∥GH,EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.設(shè)EG∩FH=O,則O平分EG,FH.同理,四邊形MFNH是平行四邊形.設(shè)MN∩FH=O′,則O′平分MN,FH.∵點O,O′都平分線段FH,∴O與O′兩點重合，∴MN過EG和FH的交點,即三線段共點且被該點平分.易錯警示【例】過已知直線a外一點P,與直線a上的四個點A、B、C、D分別畫四條直線.求證:這四條直線在同一平面內(nèi).錯解∵P、A、B三點不共線,∴P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面.∵A、B、C、D均在直線a上,∴PA、PB、PC、PD四條直線在同一平面內(nèi).錯解分析錯解在證明了四條直線分別在三個平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)內(nèi)后,通過A、B、C、D均在a上,而認為三個平面重合在同一個平面內(nèi),這種方法是錯誤的.錯誤在于沒有根據(jù)地用一條直線來保證三個平面重合.正解過直線a及點P作一平面α,∵A、B、C、D均在a上,∴A、B、C、D均在α內(nèi).∵直線PA、PB、PC、PD上各有兩點在α內(nèi),∴由公理1可知,直線PA、PB、PC、PD均在平面α內(nèi),即四直線共面.考點連接10.已知a、b為異面直線，則①經(jīng)過直線a,存在唯一平面α，使b∥α；②經(jīng)過直線a，若存在平面α使b⊥a,則α唯一；③經(jīng)過直線a、b外任意一點，存在平面α，使a∥α且b∥α.上述命題中，真命題是________.（寫出真命題的序號）解析①平移b到b′，使b′、a交于點O，則a與b′確定平面為α，b∥α，α唯一，故①正確.②a、b為異面直線，故無法確定a是否垂直于b.③如圖，a平移到a′，b平移到b′，a′、b′交于點O，則a′、b′確定的平面α唯一.答案①③11.（2010·濱州質(zhì)檢）已知正方體ABCD-的棱長為a，求異面直線和所成的角.解析如圖所示，連接,

∴異面直線和所成角為90°.12.已知直線a∥b∥c,直線∩a=A,∩b=B,∩c=C.求證:a、b、c、共面.證明如圖，∵a∥b,∴a、b可以確定一個平面α.又∵∩a=A,∩b=B,∴A∈a,B∈b,A∈α,B∈α,ABα;又A∈,B∈,∴α.另一方面,∵b∥c,∴b、c可以確定一個平面β.同理可證,β.∵平面α、β均經(jīng)過直線b、,且b和是兩條相交直線,它們確定的平面是唯一的,∴平面α與β是同一個平面,∴a、b、c、共面.第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1.平行直線(1)定義:同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線.(2)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(3)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線就和兩平面的交線平行.(4)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行.(5)線面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一平面,那么這兩條直線平行.2.直線與平面平行(1)定義:直線a和平面α沒有公共點,叫做直線與平面平行.(2)線面平行的判定定理:如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.基礎(chǔ)梳理(3)面面平行的性質(zhì):如果兩平面互相平行,那么一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.3.平面與平面平行(1)定義:如果兩個平面沒有公共點,那么這兩個平面叫做平行平面.(2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(3)判定定理的推論:如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個平面平行.(4)線面垂直的性質(zhì):如果兩平面垂直于同一直線,則這兩個平面平行.(5)平行公理:如果兩平面平行于同一平面,則這兩個平面平行.典例分析題型一線線平行【例1】已知四邊形ABCD是空間四邊形,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.分析若證四邊形是平行四邊形,只需證一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行即可.證明如圖,連接BD.∵EH是△ABD的中位線,∴EH∥BD,EH=BD.又∵FG是△CBD的中位線,∴FG∥BD,FG=BD.∴FG∥EH,且FG=EH,∴四邊形EFGH是平行四邊形.學后反思若證明四邊形EFGH是平行四邊形,可有兩條途徑：一是證明兩組對邊分別平行,二是證明一組對邊平行且相等.舉一反三1.已知E、分別是正方體ABCD-的棱AD、的中點.求證:∠BEC=∠.證明如圖,連接.∵,E分別為,AD的中點,∴∴四邊形為平行四邊形，∴四邊形是平行四邊形，∴∥EB.同理∥EC.又∵∠與∠CEB方向相同，∴∠=∠CEB.題型二線面平行【例2】如圖,正方體ABCD-中,側(cè)面對角線上分別有兩點E,F,且.求證:EF∥平面ABCD.分析要證EF∥平面ABCD,方法有兩種:一是利用線面平行的判定定理,即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線;二是利用面面平行的性質(zhì)定理,即過EF作與平面ABCD平行的平面.證明方法一:過E作EM⊥AB于M,過F作FN⊥BC于N,連接MN(如圖)，則EM∥,FN∥,∴EM∥FN.∵∴AE=BF,∴EM=FN,∴四邊形EMNF是平行四邊形,∴EF∥MN.又∵EF平面ABCD,MN平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.方法二:連接,并延長交BC的延長線于點P,連接AP(如圖).∽△PFB,又∵EF平面ABCD,AP平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.方法三:過點E作EH⊥于點H,連接FH(如圖)，則EH∥AB,∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面ABCD.∵EF平面EFH,∴EF∥平面ABCD.學后反思判斷或證明線面平行的常用方法有:(1)利用線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(aα,bα,a∥ba∥α);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,aαa∥β);(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,aα,aβ,a∥αa∥β).舉一反三2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,E為PC中點.求證:PA∥平面EDB.證明如圖，連接AC交BD于O,連接EO.∵四邊形ABCD為正方形,∴O為AC中點.∵E為PC中點,∴OE為△PAC的中位線,故EO∥PA.又∵EO平面EDB,PA平面EDB,∴PA∥平面EDB.題型三面面平行【例3】如圖,正方體ABCD-的棱長為1.求證:平面∥平面分析要證明平面∥平面,根據(jù)面面平行的判定定理或推論，只要證明AC∥平面，∥平面,且AC∩=A即可.證明方法一:

四邊形為平行四邊形方法二:易知和確定一個平面,于是,學后反思證明平面與平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推論,將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來證明.具體方法有:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行;(4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行;(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.舉一反三3.在正方體ABCD-中,M、N、E、F分別是棱的中點.求證:平面AMN∥平面EFDB.證明如圖，連接MF,∵M、F分別是的中點,且四邊形為正方形,又∴四邊形ADFM為平行四邊形,∴AM∥DF.又∵AM平面EFDB,DF平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.同理可證AN∥平面EFDB.∵AM,AN平面AMN,AM∩AN=A,∴平面AMN∥平面EFDB.題型四平行的探究問題【例4】（2009·銀川模擬）如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E為CD的中點.(1)求證：CD⊥平面SAE；(2)側(cè)棱SB上是否存在點F，使得CF∥平面SAE？并證明你的結(jié)論.分析（1）先利用勾股定理和線面垂直判定定理證明直線SA⊥底面ABCD，再證明直線SA⊥CD，證明直線與平面垂直時，必須證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.（2）先回答問題，再證明充分條件.探究的點往往是特殊點（中點）.證明（1）∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AC=AD=2,∴△ACD為正三角形.又E為CD的中點，∴CD⊥AE.∵SA=AB=AD=2,SB=SD=2,則有∴SA⊥AB,SA⊥AD.又∵AB∩AD=A,∴SA⊥底面ABCD,∴SA⊥CD.由CD⊥AE,SA⊥CD,AE∩SA=A,∴CD⊥平面SAE.(2)側(cè)棱SB上存在點F，當F為SB的中點時，使得CF∥平面SAE.證明假設(shè)側(cè)棱SB上存在點F，使得CF∥平面SAE.不妨取SA的中點N，連接EN，過點N作NF∥AB,交SB于F點，連接CF.則作圖知NFAB,點F為SB的中點.又∵CEAB，∴NFCE，∴四邊形CENF為平行四邊形,∴CF∥EN.又∵EN平面SAE，CF平面SAE，∴CF∥平面SAE.即當F為側(cè)棱SB的中點時，CF∥平面SAE.學后反思定理、定義是做題的依據(jù)，具備了條件，便可得到結(jié)論；條件不足，要通過題設(shè)和圖形的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)去尋求，增添輔助線是解決問題的關(guān)鍵.舉一反三4.長方體ABCD-A′B′C′D′，點P∈BB′（不與B、B′重合），PA∩BA′=M,PC∩BC′=N,求證：MN∥平面AC.證明如圖，連接A′C′,AC,∵ABCD-A′B′C′D′為長方體，∴AC∥A′C′.∵AC平面A′C′B,A′C′平面A′C′B,∴AC∥平面A′C′B.又∵平面PAC過AC與平面A′C′B交于MN，∴MN∥AC.∵MN平面AC，AC平面AC，∴MN∥平面AC.題型五平行關(guān)系的綜合應用【例5】(12分)求證:若一條直線分別和兩個相交平面平行,則這條直線必與它們的交線平行.分析此題可先過直線作平面分別與已知兩平面相交,由線面平行的性質(zhì)定理及公理4,可證得兩交線平行,從而進一步證得一條交線與另一平面平行,進而可證得結(jié)論.證明∥α,∥β,α∩β=a.過作平面γ交α于b,過作平面δ交β于c,……………………..3′∵∥α,γ,α∩γ=b,∴∥b.(線面平行的性質(zhì)定理)同理∥c……………….5′∴b∥c………………….6′又∵cβ,bβ,∴b∥β.(線面平行的判定定理)……………..8′又∵bα,α∩β=a,∴b∥a.(線面平行的性質(zhì)定理)10′∴∥a.(公理4)…………………..12′學后反思把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言和圖形語言，過作平面γ和δ與α、β得到兩條交線，利用線面平行的性質(zhì)定理及公理4可證得交線平行，從而進一步證明一條交線與另一個平面平行，進而可證得結(jié)論.舉一反三5.如圖所示,在四面體A-BCD中,截面EFGH平行于對棱AB和CD.試問:截面在什么位置時,截面的面積最大?解析∵AB∥平面EFGH,平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH,∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH.同理可證,EF∥GH.∴四邊形EFGH是平行四邊形.設(shè)AB=a,CD=b,∠FGH=α(a、b、α均為定值,其中α為異面直線AB與CD所成的角),又設(shè)FG=x,GH=y,由平面幾何知識,得兩式相加,得,即∵x>0,a-x>0,且x+(a-x)=a(定值)，∴當且僅當x=a-x,即x=時,故當截面EFGH的頂點E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點時,截面面積最大.易錯警示【例】如圖所示，平面α∥平面β，點A∈α,C∈α，點B∈β，D∈β，點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.求證：EF∥β.錯解∵α∥β，∴AC∥BD.又AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD.又EFβ，BDβ，∴EF∥β.錯解分析上述解法的錯誤在于未討論AB與CD是否共面，而直接把AB、CD作為共面處理，忽視異面的情況.本題中對AB、CD位置關(guān)系的討論具有一定的代表性，可見分類討論的思想在立體幾何中也多有體現(xiàn).正解①當AB，CD在同一平面內(nèi)時，由α∥β，α∩平面ABDC=AC，β∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD,∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD,又EFβ，BDβ，∴EF∥β.②當AB與CD異面時，如右圖所示，設(shè)平面ACD∩β=DH，且DH=AC.∵α∥β，α∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH,∴四邊形ACDH是平行四邊形.在AH上取一點G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD,EG∥BH，又EG∩GF=G，BH平面β，DH平面β，∴平面EFG∥平面β.∵EF平面EFG，∴EF∥β.綜上，EF∥β.考點演練10.如圖,下列四個正方體圖形中,A、B為正方體的兩個頂點,M、N、P分別為其所在棱的中點,能得出AB∥面MNP的圖形的序號是——.(寫出所有符合要求的圖形序號)解析①圖中,∵MN∥AD,NP∥AC,∴平面MNP∥平面AB，∴AB∥平面MNP.②圖中,AB不平行于平面MNP(反證法).連接BE,分別交CD、MP于R、Q,若AB∥平面MNP,則AB∥NQ.又由N為AE中點,R為BE中點，得AB∥NR.在平面ABE中過點N有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.③圖中,∵ADBC,∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD.又∵MP∥CD,∴AB∥MP，故AB∥平面MNP.④圖中,AB不平行于面MNP(反證法).若AB∥平面MNP,則AB∥DM.又由ADBC,得四邊形ABCD是平行四邊形,故AB∥CD.在平面ABCD中過點D有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.答案①③11.已知正方體ABCD-A′B′C′D′，求證：平面ACD′∥平面A′BC′.證明∵正方體ABCD-A′B′C′D′中,AD′∥BC′,CD′∥A′B,又∵AD′∩CD′=D′,BC′∩A′B=B,∴平面ACD′∥平面A′BC′.12.（2009·揚州模擬）如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.證明連接AC，交OB于O，連接MO.∵OC=OA,CM=MP,∴OM∥AP.∵AP平面DBM，OM平面DBM，∴AP∥平面DMB,∵AP平面APGH，平面APGH∩平面DMB=GH，∴AP∥GH.第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 基礎(chǔ)梳理1.直線與平面垂直(1)定義:如果直線與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線與平面α互相垂直.這條直線叫做平面的垂線,這個平面叫做直線的垂面,交點叫做垂足.垂線上任意一點到垂足間的線段,叫做這個點到這個平面的垂線段,垂線段的長度叫做點到平面的距離.(2)性質(zhì):如果一條直線垂直于一個平面,那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直.(3)判定定理:如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則這條直線與這個平面垂直.(4)推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面.(5)性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行.2.平面與平面垂直(1)定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就稱這兩個平面互相垂直.(2)判定定理:如果一個平面過另一個平面的一條垂線,則這兩個平面互相垂直.(3)性質(zhì)定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.典例分析題型一線線垂直【例1】如圖,α∩β=CD,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,求證:CD⊥AB.分析要證CD⊥AB,只需證CD⊥平面ABE即可.證明∵α∩β=CD,∴CDα,CDβ.又∵EA⊥α,CDα,∴EA⊥CD,同理EB⊥CD.∵EA⊥CD,EB⊥CD,EA∩EB=E,∴CD⊥平面EAB.∵AB平面EAB,∴AB⊥CD.學后反思證明空間中兩直線互相垂直,通常先觀察兩直線是否共面.若兩直線共面,則一般用平面幾何知識即可證出,如勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等.若兩直線異面,則轉(zhuǎn)化為線面垂直進行證明.舉一反三1.如圖所示,四邊形ABCD為正方形,SA垂直于四邊形ABCD所在的平面,過A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G.求證:AE⊥SB,AG⊥SD.證明∵SA⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴SA⊥BC.又∵BC⊥AB,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.∵AE平面SAB,∴BC⊥AE.∵SC⊥平面AEFG,AE平面AEFG,∴SC⊥AE.又∵BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB.同理可證AG⊥SD.題型二線面垂直【例2】如圖,P為△ABC所在平面外一點,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求證:(1)BC⊥平面PAB;(2)AE⊥平面PBC;(3)PC⊥平面AEF.分析要證明線面垂直，只要證明這條直線與這個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.證明

(1)PA⊥平面ABCPA⊥BCAB⊥BCBC⊥平面PAB.PA∩AB=A(2)AE平面PAB,由(1)知AE⊥BCAE⊥PBAE⊥平面PBC.PB∩BC=B(3)PC平面PBC,由(2)知PC⊥AEPC⊥AFPC⊥平面AEF.AE∩AF=A學后反思本題的證明過程是很有代表性的,即證明線面垂直,可先證線線垂直,而已知的線線垂直又可以產(chǎn)生有利于題目的線線垂直,在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中,平面在其中起著至關(guān)重要的作用,由于線線垂直是相互的,應充分考慮線和線各自所在平面的特征,以順利實現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化.舉一反三2.如圖所示,P是△ABC所在平面外一點,且PA⊥平面ABC,若O、Q分別是△ABC和△PBC的垂心，求證:OQ⊥平面PBC.證明如圖，連接AO并延長交BC于E,連接PE.∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC.又∵O是△ABC的垂心,∴BC⊥AE.∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAE,∴BC⊥PE,∴PE必過Q點，∴OQ平面PAE,∴OQ⊥BC.連接BO并延長交AC于F.∵PA⊥平面ABC,BF平面ABC,∴PA⊥BF.又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC,∴BF⊥平面PAC.∵PC平面PAC,∴BF⊥PC.連接BQ并延長交PC于M,連接MF.∵Q為△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,∴PC⊥平面BFM.∵OQ平面BFM,∴OQ⊥PC.∵PC∩BC=C,∴OQ⊥平面PBC.題型三面面垂直【例3】如圖所示,在斜三棱柱-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,側(cè)面⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點,求證:AD⊥;(2)過側(cè)面的對角線的平面交側(cè)棱于M,若AM=,求證:截面⊥側(cè)面分析（1）要證明AD⊥,只要證明AD垂直于所在的平面即可.顯然由AD⊥BC和面面垂直的性質(zhì)定理即可得證.（2）要證明截面⊥側(cè)面，只要證明截面經(jīng)過側(cè)面的一條垂線即可.證明

(1)∵AB=AC,D是BC的中點,∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥側(cè)面∴AD⊥側(cè)面，∴AD⊥.(2)延長與BM的延長線交于點N,連接.學后反思本題中平面ABC⊥平面的應用是關(guān)鍵,一般地，有兩個平面垂直時要用性質(zhì)定理,在一個平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.舉一反三3.如圖，在直三棱柱ABC-中，AC=BC，點D是AB的中點.（1）求證：∥平面；（2）求證：平面⊥平面證明（1）如圖，連接交于E，連接DE，∵為矩形，則E為的中點.又∵D是AB的中點，∴在△中，DE∥.又∵DE平面，平面，∴∥平面.（2）∵AC=BC,D為AB的中點，∴在△ABC中，AB⊥CD.又∵⊥平面ABC，CD平面ABC，∴⊥CD.又∩AB=A，∴CD⊥平面.又∵CD平面，∴平面⊥平面題型四垂直問題的探究【例4】（12分）在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又側(cè)棱PA⊥底面ABCD.(1)當a為何值時,BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論;(2)當a=4時,求證:BC邊上存在一點M,使得PM⊥DM;(3)若在BC邊上至少存在一點M,使PM⊥DM,求a的取值范圍.分析（1）本題第(1)問是尋求BD⊥平面PAC的條件,即BD垂直于平面PAC內(nèi)兩相交直線,易知BD⊥PA,問題歸結(jié)為a為何值時,BD⊥AC,從而知ABCD為正方形.（2）若PM⊥DM,易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM,由AB=2，a=4知，M為BC的中點時得兩個全等的正方形，滿足DM⊥AM.解

(1)當a=2時,ABCD為正方形,則BD⊥AC,………2′又∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,∴BD⊥PA,又∵PA∩AC=A,…….3′∴BD⊥平面PAC.故當a=2時,BD⊥平面PAC……….4′(2)證明:當a=4時,取BC邊的中點M,AD邊的中點N,連接AM、DM、MN……