湖南省長沙市2023屆上學(xué)期高三統(tǒng)一檢測理科數(shù)學(xué)(解析版)

長沙市2023屆高三年級統(tǒng)一模擬考試理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】轉(zhuǎn)化M,可得M,N的關(guān)系,即可.【詳解】,所以可得,故選A.【點睛】本道題考查了集合與集合的關(guān)系,難度較小.2.在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點位于第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本道題結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算,化簡該復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)的意義,建立不等式,即可.【詳解】,因為在第一象限內(nèi),所以滿足所以,故選D.【點睛】本道題考查了復(fù)數(shù)的基本運算,難度中等.3.在等比數(shù)列中，“，是方程的兩根”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合充分、必要條件判定，即可。【詳解】結(jié)合,可知都是負數(shù),,因而，是方程的兩根”是“的充分不必要條件.【點睛】本道題考查了充分必要條件判定以及等比數(shù)列的性質(zhì)，難度中等。4.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于原點對稱且單調(diào)遞增的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】選項，，函數(shù)單調(diào)遞減不符合條件；選項，定義域不關(guān)于原點對稱，不符合條件；選項，函數(shù)圖象先減后增，在時，函數(shù)取得最小值，不符合條件；選項中，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，將函數(shù)式變?yōu)椋S著增大函數(shù)值也增大，是單調(diào)遞增函數(shù)，符合條件，故選D.5.已知一種元件的使用壽命超過年的概率為，超過年的概率為，若一個這種元件使用到年時還未失效，則這個元件使用壽命超過年的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合條件概率計算公式，代入數(shù)據(jù)，即可?！驹斀狻浚军c睛】本道題考查了條件概率計算公式，難度中等。6.已知，是雙曲線的上、下焦點，點是其一條漸近線上一點，且以為直徑的圓過點，則的面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，計算漸近線方程以及圓的方程，計算面積，即可?！驹斀狻繚u近線方程為，該圓的方程為，則其中一個點P的坐標(biāo)為，所以，故選C。【點睛】本道題考查了雙曲線性質(zhì)以及圓方程計算方法，難度中等。7.在中，，，，且是的外心，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，分別計算出B,A,O坐標(biāo)，代入，結(jié)合向量數(shù)量積坐標(biāo)表示，即可?！驹斀狻拷⒆鴺?biāo)系，以C為原點，，,則所以，故選D。【點睛】本道題考查了向量數(shù)量積坐標(biāo)表示，難度中等。8.我國南北朝時期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“緣冪勢即同，則積不容異也”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對應(yīng)的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）正視圖側(cè)視圖俯視圖A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本道題結(jié)合三視圖，還原直觀圖，利用正方體體積，減去半圓柱體積，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合三視圖，還原直觀圖，故，故選B?！军c睛】本道題考查了三視圖還原直觀圖以及空間幾何體體積計算方法，難度較小。9.已知是函數(shù)圖象的一個最高點，是與相鄰的兩個最低點.設(shè)，若，則的圖象對稱中心可以是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合題意，分別計算各個參數(shù)，代入特殊值法，計算對稱中心，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合題意,繪圖，，所以周期，解得，所以，令k=0，得到所以，對稱中心的，令m=3,得到對稱中心坐標(biāo)為，故選D?！军c睛】本道題考查了三角函數(shù)解析式求法，以及三角函數(shù)性質(zhì)，難度中等。10.已知，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本道題將零點問題轉(zhuǎn)化成交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想，即可?！驹斀狻坑腥齻€零點，有一個零點，故，有兩個零點，代入的解析式，得到，構(gòu)造新函數(shù)，繪制這兩個函數(shù)的圖像，如圖可知因而介于A,O之間，建立不等關(guān)系，解得a的范圍為，故選A?！军c睛】本道題考查了函數(shù)零點問題，難度加大。11.已知拋物線的焦點為，點在上，.若直線與交于另一點，則的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本道題結(jié)合拋物線性質(zhì)，分別計算A,B的坐標(biāo)，結(jié)合兩點距離公式，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合拋物線的性質(zhì)可得，所以拋物線方程為，所以點A坐標(biāo)為，所以直線AB的方程為，代入拋物線方程，計算B的坐標(biāo)為，所以，故選C?！军c睛】本道題考查了拋物線性質(zhì)以及兩點距離公式，難度中等。12.設(shè)正方體的棱長為，為的中點，為直線上一點，為平面內(nèi)一點，則，兩點間距離的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本道題結(jié)合直線與平面平行判定，證明距離最短即為計算與OE的距離，計算，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合題意，繪制圖形結(jié)合題意可知OE是三角形中位線，題目計算距離最短，即求OE與兩平行線的距離，，所以距離d，結(jié)合三角形面積計算公式可得，解得，故選B?！军c睛】本道題考查了直線與平面平行的判定，難度較大。二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.把各題答案的最簡形式寫在題中的橫線上.13.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且,則__________．【答案】【解析】分析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S13=52，可得13a1+d=52，化簡再利用通項公式代入a4+a8+a9，即可得出．詳解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化為：a1+6d=4．則a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.點睛：本題主要考查等差數(shù)列通項和前n項和，意在考查學(xué)生等差數(shù)列基礎(chǔ)知識的掌握能力和基本的運算能力.14.為培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)，某校準(zhǔn)備在高二年級開設(shè)，，，，，六門選修課程，學(xué)校規(guī)定每個學(xué)生必須從這門課程中選門，且，兩門課程至少要選門，則學(xué)生甲共有__________種不同的選法.【答案】【解析】【分析】本道題先計算總體個數(shù)，然后計算A,B都不選的個數(shù)，相減，即可?！驹斀狻靠傮w種數(shù)有，A,B都不選的個數(shù)有，所以一共有16種。【點睛】本道題考查了排列組合問題，難度中等。15.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，則__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合終邊過點坐標(biāo)，計算出，結(jié)合二倍角公式和余弦兩角和公式，即可?！驹斀狻浚浴军c睛】本道題考查了二倍角公式與余弦的兩角和公式，難度中等。16.已知二次函數(shù)，且，若不等式恒成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】本道題利用換元法，將題目所求式子轉(zhuǎn)化成二元線性規(guī)劃問題，結(jié)合數(shù)形思想，計算斜率范圍，得到z的范圍，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合題意,建立不等式組,得到,處理該不等式得到令,建立新不等式組得到,繪制可行域,得到可行域是畫虛線位置,處理目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成直線可得,因而該直線過定點,因此該直線斜率介于1號和2號直線之間,,設(shè)該直線與曲線的切點為,斜率為,得到方程為,過定點,代入,解得,因而,解得A的坐標(biāo)為,因而PA的斜率為,得到,解得,綜上所述,z的范圍為【點睛】本道題考查了線性規(guī)劃以及過曲線切線斜率計算方法，難度較大。三、解答題：本大題共7個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.且.（I）求；（Ⅱ）若的面積為，周長為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（I）結(jié)合正弦定理，處理題目式子，計算角A的大小，即可。（2）結(jié)合余弦定理，得到關(guān)于a,b,c的等式，結(jié)合題意，計算a，即可?！驹斀狻浚↖）由題設(shè)得.由正弦定理得，所以.故.（Ⅱ）由題設(shè)得，從而.由余弦定理，得.又，故，解得.【點睛】本道題考查了正弦定理與余弦定理，難度中等。18.已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：（I）證明：平面平面；（Ⅱ）若點在棱上運動，當(dāng)直線與平面所成的角最大時，求二面角的余弦值.圖一圖二【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)證明PO垂直AC,OB,結(jié)合平面與平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐標(biāo)系,分別計算兩相交平面的法向量,結(jié)合向量的數(shù)量積公式,計算夾角,即可.【詳解】（Ⅰ）設(shè)的中點為，連接，.由題意，得，，.因為在中，，為的中點，所以，因為在中，，，，，所以.因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，平面，所以是直線與平面所成的角，且，所以當(dāng)最短時，即是的中點時，最大.由平面，，所以，，于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則由得：.令，得，，即.設(shè)平面的法向量為，由得：，令，得，，即..由圖可知，二面角的余弦值為.【點睛】本道題考查了二面角計算以及平面與平面垂直的判定,難度較大.19.已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，與軸相交于，，.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點為、，過、分別作軸的垂線、，橢圓的一條切線與、交于、兩點，求證：.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，得到為的中位線，進而得到，利用橢圓性質(zhì)，計算a,b值即可。（2）將直線l的方程，代入橢圓方程，得到以及，即可。【詳解】（Ⅰ）連接，由題意得，所以為的中位線，又因為，所以，且，又，，得，，，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）由題可知，的方程為，的方程為.直線與直線、聯(lián)立得、，所以，，所以.聯(lián)立得.因為直線橢圓相切，所以，化簡得.所以，所以，故為定值.同理，，所以，.故.【點睛】本道題考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，難度較大。20.某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃，收集了近個月廣告投入量（單位：萬元）和收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：月份廣告投入量收益他們分別用兩種模型①，②分別進行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：（Ⅰ）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；（Ⅱ）殘差絕對值大于的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：（?。┨蕹惓?shù)據(jù)后求出（Ⅰ）中所選模型的回歸方程；（ⅱ）若廣告投入量時，該模型收益的預(yù)報值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.【答案】（1）應(yīng)該選擇模型①，理由見解析（2）（ⅰ）（ⅱ）【解析】【分析】（1）結(jié)合題意可知模型①殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，即可。（2）（i）利用回歸直線參數(shù)計算方法，分別得到，建立方程，即可。（ii）把代入回歸方程，計算結(jié)果，即可。【詳解】（Ⅰ）應(yīng)該選擇模型①，因為模型①殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高.（Ⅱ）（ⅰ）剔除異常數(shù)據(jù)，即月份為的數(shù)據(jù)后，得；.；.；，所以關(guān)于的線性回歸方程為：.（ⅱ）把代入回歸方程得：，故預(yù)報值約為萬元.【點睛】本道題考查了回歸方程的計算方法，難度中等。21.已知函數(shù)，其中，設(shè)為導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）設(shè)，若恒成立，求的范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的零點為，函數(shù)的極小值點為，當(dāng)時，求證：.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（I）計算的導(dǎo)函數(shù)，計算最小值，結(jié)合恒不等式，建立不等關(guān)系，計算a的范圍，即可。（II）構(gòu)造函數(shù)，判定極小值點，進而得到的單調(diào)性，得到，結(jié)合單調(diào)性，即可?！驹斀狻浚á瘢┯深}設(shè)知，，，.當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在處取到最小值，且.由于恒成立，所以.（Ⅱ）設(shè)，則.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增.因為，所以，,故存在，使得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故是的極小值點，因此.由（Ⅰ）可知，當(dāng)時，.因此，即單調(diào)遞增.由于，即，即，所以.又由（Ⅰ）可知，在單調(diào)遞增，因此.【點睛】本道題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判定原函數(shù)的單調(diào)性以及極值問題，難度較大。22.在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過原點且傾斜角為的直線交于、兩點.（Ⅰ）求和的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）當(dāng)時，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合消去參數(shù)，得到極坐標(biāo)方程，即可。（2）將直線的極坐標(biāo)方程，代入曲線的極坐標(biāo)方程，得到，用表示，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，計算范圍，即可。【詳解】（Ⅰ）由題意可得，直線的極坐標(biāo)方程為.曲線的普通方程為，因為，，，所以極坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）設(shè)，，且，均為正數(shù)，將代入，得，當(dāng)時，，所以，根據(jù)極坐標(biāo)的幾何意義，，分別是點，的極徑.從而：.當(dāng)時，，故的取值范圍是.【點睛】本道題考