力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律

1P*O

剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點(diǎn)P,

且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的徑矢.

對(duì)轉(zhuǎn)軸Z的力矩

一力矩方向遵循右手定則。O討論

1）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，可把力分解為平行于和垂直于轉(zhuǎn)軸方向（即在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上）的兩個(gè)分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和

其中對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩3）力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量，又可分解為兩個(gè)方向：切向Ft和法向Fn。因?yàn)榉ㄏ蚍至縁n指向轉(zhuǎn)軸，因而不提供力矩，對(duì)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)無影響。我們只考慮力的切向分量Ft即可。4）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消O

結(jié)論：剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的作用力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩為零.對(duì)于剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，有效的力矩只有兩個(gè)方向，不妨把矢量M轉(zhuǎn)化為標(biāo)量M，正負(fù)表示方向。O

轉(zhuǎn)動(dòng)定律

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律7繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比.

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.8

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是組成剛體的各質(zhì)元的質(zhì)量與其到轉(zhuǎn)軸的距離的平方的乘積之和．是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性大小的量度．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：千克·米2（kg·m2）對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系若物體質(zhì)量連續(xù)分布三轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9解

(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直例3.1如圖所示，求質(zhì)量為m，長為l的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直.10整個(gè)棒對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直時(shí)，整個(gè)棒對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由此看出，同一均勻細(xì)棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同.11解

(1)

在環(huán)上任取一質(zhì)元，其質(zhì)量為dm，距離為R，則該質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例3.2設(shè)質(zhì)量為m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.12考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細(xì)圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量竿子長些還是短些較安全？

飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？解：1）分析受力

例如圖,有一半徑為R質(zhì)量為的勻質(zhì)圓盤,可繞通過盤心O垂直盤面的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng).轉(zhuǎn)軸與圓盤之間的摩擦略去不計(jì).圓盤上繞有輕而細(xì)的繩索,繩的一端固定在圓盤上,另一端系質(zhì)量為m的物體.試求物體下落時(shí)的加速度、繩中的張力和圓盤的角加速度.mym2）選取坐標(biāo)

注意：轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的坐標(biāo)取向要一致.四轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用mym3）列方程（用文字式）牛頓第二定律（質(zhì)點(diǎn)）轉(zhuǎn)動(dòng)定律（剛體）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

約束條件16例3.3質(zhì)量均為m的兩物體A、B。A放在傾角為θ的光滑斜面上，通過定滑輪由不可伸長的輕繩與B相連。定滑輪是半徑為R的圓盤，其質(zhì)量也為m，物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)。求繩中張力及物體的加速度大小17例3.4轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在t＝0時(shí)角速度為.此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過程，阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為大于零的常數(shù))，當(dāng)

時(shí)，飛輪的角加速度是多少？從開始制動(dòng)到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間是多少？解

(1)

，故由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有18(2)t＝0時(shí)，

，兩邊積分故當(dāng)時(shí)，制動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為

例

有一半徑為R質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤,以角速度ω0繞通過圓心垂直圓盤平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng).若有一個(gè)與圓盤大小相同的粗糙平面(俗稱剎車片)擠壓此轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤,故而有正壓力N均勻地作用在盤面上,從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢.設(shè)正壓力N和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)μ均已被實(shí)驗(yàn)測(cè)出.試問經(jīng)過多長時(shí)間圓盤才停止轉(zhuǎn)動(dòng)?

解:在圓盤上取面積微元,面積元所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩大小r剎車片面積微元所受摩擦力矩圓環(huán)所受摩擦力矩圓盤所受摩擦力矩圓盤角加速度停止轉(zhuǎn)動(dòng)需時(shí)rR

例一長為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O