空間角與空間距離

§9.4空間角與空間距離基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)要點梳理1.異面直線所成的角

(1)定義:已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任意一點O，作a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的

叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

（2）范圍：銳角（或直角）2.斜線與平面所成的角（1）定義：斜線與平面所成的角是斜線和它在平面內(nèi)的

所成的角.當(dāng)直線和平面平行時，稱直線和平面成

角.當(dāng)直線和平面垂直時，稱直線和平面成

角.

（2）范圍：

.3.二面角（1）定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做

，這條直線叫做

，這兩個半平面叫做

.射影0°90°二面角二面角的棱二面角的面（2）二面角的平面角以二面角的棱上任意一點為

，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做

.(3)求作二面角的方法二面角的大小是用它的

來度量的.找（或作）出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下幾種方法：①定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面中作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認(rèn)真觀察圖形的特性.端點二面角的平面角平面角②三垂線法：已知二面角其中一個面內(nèi)一點到另一個面的垂線，用三垂線定理或其逆定理作出平面角.③垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直.④射影法：利用面積射影公式

θ

，其中S原為原斜面面積，S射為射影面積，θ為平面角的大小，此方法不必在圖中畫出平面角來.（4）范圍：［0，π］.S射=S原cos4.異面直線間的距離兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的

的長度.5.求距離的常用方法與一般步驟（1）求距離的常用方法①直接法：即尋找或作出與該距離相對應(yīng)的垂線段，此法的關(guān)鍵是確定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解.②等體積法：把所求的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，再通過變換三棱錐的頂點，由同一棱錐的體積是不變的，求出相應(yīng)的距離.公垂線段（2）求距離的一般步驟“一作”：即先作出表示距離的線段（要符合作圖規(guī)則，避免隨意性）；“二證”：即證明所作的線段符合題目的要求為所求線段（證明要符合邏輯且推理正確）；“三計算”：即將所求線段放置在三角形中，解三角形求取或利用等積法求取.基礎(chǔ)自測1.（2008·福建文，6）如圖所示，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，

AA1=1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為（）

解析如圖所示，連結(jié)A1C1，∵AA1⊥平面

A1B1C1D1，∴∠AC1A1就是直線AC1與平面A1B1C1D1所成的角.答案

D2.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，

PA=8，則P到BC的距離為 （）

A.B.2C.3D.4

解析取BC中點E，連結(jié)AE、PE，由AE⊥BC知PE⊥BC，即PE為點P到BC的距離.D3.正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱C1C與BC的中點，則直線EF與直線D1C所成角的大小是（）

A.45°B.60°C.75°D.90°

解析如圖所示，△ACD1為正三角形，

AD1∥BC1∥EF，直線EF與直線D1C所成的角為60°.B4.（2009·湖北文，6）如圖，在三棱柱

ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°,∠ACC1

=60°,∠BCC1=45°,側(cè)棱CC1的長為1，則該三棱柱的高等于（）

解析如圖，過點C1作C1O⊥平面ABC，連結(jié)

CO，則CC1與平面ABC所成的角為∠C1CO.記∠C1CO=α，設(shè)∠OCB=β,

由最小角定理知cos∠C1CB=cosα·cosβ,cos∠ACC1=cosα·cos(90°-β).答案

A5.線段AB長為2，兩個端點A、B分別在一個直二面角的兩個面上，AB和兩個面所成的角分別是45°

和30°，那么點A、B在這個二面角的棱上的射影

C、D間的距離是 （）

解析如圖，∵AC⊥β,BD⊥α,

AB=2,∴∠ABC=30°,∠DAB=45°.∴BC=,BD=.∵BD⊥CD,

A題型分類深度剖析題型一斜線與平面所成的角【例1】如圖所示，已知∠BOC在平面α

內(nèi)，OA是平面α的斜線，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=a,BC=a，求OA和平面α所成的角.

首先應(yīng)確定A點在平面α內(nèi)射影的位置,這樣就可得到OA與平面α所成的角,進(jìn)而求之.

解∵OA=OB=OC=a，∠AOB=∠AOC=60°,∴△AOB、△AOC為正三角形.∴AB=AC=a.思維啟迪∵BC=a，∴AB2+AC2=BC2，∴△BAC為直角三角形.同理△BOC也為直角三角形.過A作AH垂直平面α于H，連結(jié)OH，∵AO=AB=AC，∴OH=BH=CH，H為△BOC的外心.∴H在BC上，且H為BC的中點.∴∠AOH為直線OA與平面α所成的角.即AO和平面α所成的角為45°.探究提高

（1）確定點在平面內(nèi)的射影的位置，是解題的關(guān)鍵，因為只有確定了射影的位置，才能找到直線與平面所成的角，才能將空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題來解.（2）求斜線與平面所成角的步驟：①尋找過直線上一點與平面垂直的直線；②連結(jié)垂足和斜足得出射影，確定出所求角；③把該角放入三角形中計算.（3）直線和平面所成的角，也應(yīng)考慮到直線和平面垂直、直線和平面平行或在平面內(nèi)諸情況，也就是直線和平面成90°角和0°角的情況，所以求線面所成角時，應(yīng)想到以上兩種特例.知能遷移1

如圖所示，AB⊥平面BCD，

DC⊥CB，AD與平面BCD所成的角為

30°，且AB=BC.

求AD與平面ABC所成角的大小.

解∵AB⊥平面BCD,∴∠ADB=30°.∵CD⊥CB,由三垂線定理得DC⊥CA,∵AC∩CB=C，∴DC⊥平面ABC,即∠CAD是AD與平面ABC所成角.

設(shè)AB=BC=a,則AC=a,BD=a,AD=2a.

在Rt△ACD中,∴∠CAD=45°,即AD與平面ABC所成的角為45°.題型二求二面角的大小【例2】如圖所示，在底面為直角梯形的四棱錐P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD，

PA=3，AD=2，AB=2，BC=6.

（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—BD—A的大小.

對于問題（2），由（1）知棱BD⊥平面PAC，則可找到二面角的平面角.

（1）證明∵PA⊥平面ABCD，

BD平面ABCD，∴BD⊥PA.思維啟迪∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=90°,即BD⊥AC，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.（2）解如圖所示，連結(jié)PE，∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥PE，BD⊥AE，∴∠AEP為二面角P—BD—A的平面角.在Rt△AEB中，AE=AB·sin∠ABD=，∴∠AEP=60°,∴二面角P—BD—A的大小為60°.

利用垂面法找出平面角再轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解.探究提高知能遷移2如右圖，在直三棱柱ABC—

A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a,

AA1=2a,D為BC的中點，E為CC1上的點，且（1）求證：BE⊥平面ADB1；（2）求二面角B—AB1—D的大小.

（1）證明由AB=AC，D是BC的中點，得

AD⊥BC，從而AD⊥平面B1BCC1.

又BE平面B1BCC1，所以AD⊥BE.

由已知∠BAC=90°,AB=AC=a,得BC=a,在Rt△BB1D中，于是∠BB1D=∠CBE,設(shè)EB∩DB1=G,∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，則DB1⊥BE.又AD∩DB1=D,故BE⊥平面ADB1.（2）解如右圖，過點G作GF⊥AB1于F，連結(jié)BF.由（1）及三垂線定理可知∠BFG是二面角B—AB1—D的平面角.在Rt△ABB1中，由BF·AB1=BB1·AB，在Rt△BDB1中，由BB1·BD=BG·DB1，所以在Rt△BFG中，故二面角B—AB1—D的大小為題型三點到直線、點到平面的距離【例3】在直三棱柱ABC—A1B1C1中，

AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b.

（1）設(shè)E,F分別為AB1,BC1的中點，求證：EF∥平面ABC;

（2）求證：A1C1⊥AB;

（3）求B1到平面ABC1的距離.

（1）線線平行或面面平行線面平行；（2）線面垂直線線垂直；（3）求垂線段長或用等積法.思維啟迪（1）證明分別取AB，BC的中點M，N，連結(jié)EM，MN，F(xiàn)N，從而EMFN，即四邊形EFNM是平行四邊形，∴EF∥MN.而EF平面ABC,MN平面ABC，故EF∥平面ABC.（2）證明連結(jié)A1B,∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥AB.又AB=CC1=AA1,∴ABB1A1是正方形，從而AB1⊥A1B.∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥平面A1BC1,∴A1C1⊥AB1,而A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面ABB1A1.又AB平面ABB1A1,∴A1C1⊥AB.（3）解∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1,于是B1到平面ABC1的距離等于A1到平面ABC1的距離，過A1作A1H⊥AC1于H.由（2）知，BA⊥平面ACC1A1，∴BA⊥A1H，于是A1H⊥平面ABC1.在Rt△A1AC1中，AA1=CC1=a，

求點到平面的距離，一般找出（或作出）過此點與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過該點作出平面的垂線，進(jìn)而計算；也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離.如本題（3）的如下解法即用等積法即將各數(shù)據(jù)代入可得h的值.探究提高知能遷移3

如右圖，已知四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，若AB=a，

PD=a，求：（1）P到正方形各頂點的距離；（2）P到正方形各邊的距離；（3）P到兩條對角線的距離.

解（1）P到各頂點的距離分別為PA、PB、PC、

PD的長.∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，PD⊥BD，∴△PAD、△PCD、△PBD是直角三角形.∵PD=a，AB=a，四邊形ABCD為正方形，∴PA=a，PB=a，PC=a，PD=a.（2）由圖形易知P到AD、CD的距離都是PD=a.P到BC的距離為PC，即為a,P到AB的距離為PA，即為a.（3）∵AC⊥BD，∴DO⊥AC.又∵PD⊥平面ABCD，AC⊥平面ABCD，∴PD⊥AC,∴PO⊥AC.故PO的長就是P到對角線AC的距離而P到對角線BD的距離為PD的長，PD=a.故P到BD的距離為a，到AC的距離為題型四求異面直線間的距離【例4】（12分）設(shè)ABC—A1B1C1為直三棱柱，

AA1=1cm，AB=4cm，BC=3cm，∠ABC=90°，設(shè)過A1、B、C1的平面與平面ABC的交線為l.

（1）判斷直線A1C1與l的位置關(guān)系，并加以證明；（2）求點A1到直線l的距離；（3）求點A到平面A1BC1的距離；（4）作CH⊥BC1，垂足為H，求異面直線AB與CH

之間的距離.

（1）利用線面平行的性質(zhì)定理可知

A1C1∥l;

（2）點A1到l的距離可借助三垂線定理來尋求；（3）關(guān)鍵是找出點A到平面A1BC1的距離，注意運(yùn)用圖形中垂直關(guān)系，特別是面面垂直的關(guān)系；（4）關(guān)鍵是找出異面直線AB與CH的公垂線段.思維啟迪解題示范解（1）A1C1∥l.［1分］證明如下：∵A1C1∥平面ABC，A1C1平面A1C1B，平面A1C1B∩平面ABC=l，∴A1C1∥l.［3分］（2）如右圖所示，作AD⊥l，垂足為D，連結(jié)A1D.∵A1A⊥平面ABC，∴A1D⊥l，∴A1D為所求，［4分］又∵l∥AC，而B到AC距離等于在Rt△A1AD中,∴點A1到直線l的距離為［6分］(3)由(2)知l⊥平面AA1D,l平面A1C1B,平面A1AD⊥平面A1BC1,作AG⊥A1D,垂足為G.∴AG⊥平面A1BC1.［7分］∴點A到平面A1BC1距離為［9分］(4)∵AB⊥BC,而BC為BC1在平面ABC上的射影,∴AB⊥BC1.又∵CH⊥BC1,∴AB與CH的公垂線段是BH.［10分］∴AB與CH之間的距離為［12分］探究提高

求異面直線的距離有以下幾種方法：（1）定義法：一般應(yīng)先找出兩異面直線的公垂線段，再通過解三角形求解.（2）轉(zhuǎn)化法：若不能直接找出公垂線，則可考慮用線面平行法或面面平行法轉(zhuǎn)化成求直線和平面的距離或平行平面的距離.（3）函數(shù)極值法：依據(jù)兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上的兩點距離中的最小值.求空間的距離時，都是通過作輔助線、輔助面等方法將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決的.本例中通過輔助面A1AD，將點A1到l的距離及A到面A1BC1的距離轉(zhuǎn)化為求A1D和AG兩線段的長.知能遷移4

如圖所示，在正方體ABCD—

A1B1C1D1中，O、M分別是BD1、AA1的中點.

（1）求證：MO是異面直線AA1和BD1

的公垂線；（2）求異面直線AA1與BD1所成的角的余弦值；（3）若正方體的棱長為a，求異面直線AA1和BD1的距離.

（1）證明連結(jié)OA、OA1，O點是BD1的中點，所以O(shè)是正方體的中心，所以O(shè)A=OA1，又M為AA1的中點，即MO是線段AA1的垂直平分線，故MO⊥AA1，連結(jié)MD1，BM，則可得MB=MD1，同理由O點為BD1的中點知MO⊥BD1，即MO是異面直線AA1和BD1的公垂線.（2）解由于AA1∥BB1，所以∠B1BD1就是異面直線AA1與BD1所成的角.在Rt△BB1D1中，設(shè)BB1=1，則B1D1=，BD1=，（3）解由（1）知，所求距離即為線段MO的長，思想方法感悟提高方法與技巧1.求線線角常用平移法,選取一特殊點將兩異面直線移成一夾角,構(gòu)造三角形,利用余弦定理求角,但需要注意,所成角可能是所求角的補(bǔ)角.求線面角關(guān)鍵在于找出直線在平面內(nèi)的射影,而射影的構(gòu)成,

有時可以直接作垂線,有時必須借助垂面來作.2.求二面角的常用方法

(1)作平面角法.

(2)射影面積公式法.3.空間距離的求解,重在轉(zhuǎn)化方法的運(yùn)用上,基本問題是點到面的距離.求點到面的距離有4種方法:(1)作垂線,求垂線段的長;(2)等體積法;(3)相關(guān)點距離轉(zhuǎn)移法;(4)向量法(求法向量).失誤與防范計算題同樣需要嚴(yán)格合理的推理論證過程.關(guān)鍵是在“度”的把握上，既不能一字未證，又不能過于繁瑣，因此，需要在平時的學(xué)習(xí)中積累經(jīng)驗.1.△ABC的頂點B在平面α內(nèi)，A，C在α的同側(cè)，

AB，BC與α所成的角分別是30°和45°，若AB=3，BC=4，AC=5，則AC與α所成的角為

.

解析

如圖，分別作AF⊥α，CE⊥α，垂足分別為F，E.連結(jié)EF并延長交CA的延長線于點D，則∠CDE即為AC與α所成的角.

在Rt△CEB中，BC=4，∠CBE=45°，∴CE=4.

在Rt△AFB中，AB=3，∠ABF=30°，答案30°2.設(shè)PA⊥Rt△BAC所在的平面α,∠BAC=90°,PB、

PC分別與α成45°和30°角，PA=2，則PA與BC

的距離是

，點P到BC的距離是

.

解析作AD⊥BC于點D，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD,∴AD是PA與BC的公垂線.易得AB=2，

AC=2，BC=4，AD=.連結(jié)PD，則PD⊥BC，∴P到BC的距離PD=.三、解答題3.如圖，在平面β內(nèi)有△ABC，在平面

β外有點S，斜線SA⊥AC，SB⊥BC，

AC⊥BC且斜線SA、SB與平面β所成的角相等，點S到平面β的距離為4cm,且AB=6cm,

求點S到直線AB的距離.

解如圖，過S作SD⊥平面β于D點，連結(jié)DA、DB，則∠SAD、∠SBD分別為SA、SB和平面β所成的角.∴∠SAD=∠SBD，∴Rt△SAD≌Rt△SBD,∴SA=SB.∵SA⊥AC,SB⊥BC,∴∠SAC=∠SBC=90°.

又SC=SC，∴Rt△SAC≌Rt△SBC，∴AC=BC.取AB的中點O，連結(jié)SO，則由SA=SB，可得SO⊥AB,從而SO的長就是點S到直線AB的距離.∵SD⊥β,∴DA是SA在平面β上的射影.又SA⊥AC，根據(jù)三垂線定理的逆定理可得DA⊥AC.同理，DB⊥BC，又AC⊥BC,AC=BC,∴四邊形ACBD是正方形.連結(jié)OD，∵O是對角線AB的中點，在Rt△SOD中，∵SD=4cm,OD=3cm,即點S到直線A