概率及概率分布

第八講概率及概率分布——統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)

投擲一枚正規(guī)的一元硬幣25次而得到23次圖朝上和2次字朝上。當(dāng)接著投擲第26次時(shí)，得到圖朝上的可能性有多大？主要內(nèi)容概率的基本概念和基本性質(zhì)概率分布類型二項(xiàng)分布正態(tài)分布抽樣分布一、概率的基本概念與性質(zhì)隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性在一定條件下具有多種可能發(fā)生的結(jié)果，某一結(jié)果可能發(fā)生也可能不發(fā)生事先不能肯定，這種現(xiàn)象我們稱其為隨機(jī)現(xiàn)象或偶然現(xiàn)象。例如，某工廠一天產(chǎn)品中廢品的多少；電話局每日接到用戶呼叫的次數(shù)；一條河流每年出現(xiàn)洪峰的時(shí)間和最大洪水流量；新生嬰兒的性別；

……

隨機(jī)現(xiàn)象雖然就每次觀察來(lái)說(shuō)具有不確定性，但是進(jìn)行大量的觀察，它的結(jié)果卻呈現(xiàn)出一種完全確定的規(guī)律性，稱之為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例如，投擲硬幣正面向上的比率為1/2；新生兒的性別比例為女：男=1：1.03；降水概率；命中率；及格率；死亡率……隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件在概率論中，我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀測(cè)或一次實(shí)驗(yàn)都稱作它的一次試驗(yàn)，如果這個(gè)試驗(yàn)具有下列二個(gè)特征：（1）可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)之前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果，那么，就稱這個(gè)試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)的某些結(jié)果所構(gòu)成的集合稱為隨機(jī)事件，通常用大寫英文字母表示。例如，“某學(xué)生參加一次英語(yǔ)考試”“投擲一枚均勻的硬幣”“抽檢一件產(chǎn)品的質(zhì)量”在一個(gè)試驗(yàn)中，它的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是一個(gè)隨機(jī)事件，他們是這個(gè)試驗(yàn)的不可再分解的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，我們稱之為基本事件。應(yīng)該注意的是：（1）在一次試驗(yàn)中所有基本事件中必出現(xiàn)其中一個(gè)，而且只能出現(xiàn)其中一個(gè)；（2）一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中基本事件的個(gè)數(shù)可以是有限個(gè)，也可以是可數(shù)個(gè)，還可以是不可數(shù)個(gè)，其個(gè)數(shù)的確定都是相對(duì)試驗(yàn)?zāi)康亩缘?。如某箱子中裝有紅、白、藍(lán)三種顏色的同一樣產(chǎn)品，當(dāng)試驗(yàn)是檢查產(chǎn)品的質(zhì)量時(shí)，則基本事件有“正品”和“次品”二個(gè)，當(dāng)試驗(yàn)是弄清產(chǎn)品的顏色時(shí)，則基本事件就有“紅”、“白”、“藍(lán)”三個(gè)。（3）事件是某些基本事件的集合，每當(dāng)試驗(yàn)條件實(shí)現(xiàn)后，我們說(shuō)某個(gè)事件A發(fā)生了，意指：這個(gè)集合A中的一個(gè)基本事件在這次試驗(yàn)中出現(xiàn)了。為了方便，我們把隨機(jī)試驗(yàn)必然會(huì)發(fā)生的事件叫做必然事件，用大寫希臘字母Ω來(lái)表示；把隨機(jī)試驗(yàn)一定不發(fā)生的事件叫做不可能事件，用符號(hào)φ表示。

對(duì)于事件A，”A不發(fā)生”這一事件稱為事件A的逆事件（或?qū)α⑹录?，記?/p>

。例如，一道正誤判斷題，用“T”表示“正確”，用“F”表示“錯(cuò)誤”。若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，即“A與B同時(shí)發(fā)生”是不可能事件，則稱A與B互斥（或互不相容），記作AB=φ。顯然，兩個(gè)互逆事件一定互斥，反之未必。新生兒會(huì)講話；明天要下雨；每一個(gè)孕婦都可以生四胞胎；甲、乙、丙三人參加某項(xiàng)測(cè)驗(yàn)，設(shè)A表示三人都合格，B表示三人中僅有一人合格，C表示三人中至少有一人合格。擲一粒骰子，設(shè)事件A表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B表示“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件C表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2”。隨機(jī)事件的概率在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，有許多基本事件，我們常常需要知道這些基本事件或由這些事件組成的隨機(jī)事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性有多大。比如某學(xué)生參加一次英語(yǔ)考試，我們更關(guān)心的是“該學(xué)生在考試中得90分”的可能性有多大？投擲一枚硬幣“出現(xiàn)字面朝上”的可能性有多大？抽檢一件產(chǎn)品是“合格品”的可能性有多大？簡(jiǎn)單地說(shuō)，概率就是描述某事件出現(xiàn)的可能性大小的一個(gè)數(shù)。概率的定義設(shè)A為某試驗(yàn)下的一個(gè)事件，若將此試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次，事件A出現(xiàn)了m次，那么我們稱比值m/n為n次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的頻率，記為fn(A)。頻率fn(A)從某種意義上說(shuō)也反映了事件A出現(xiàn)的可能性的大小，但是它隨試驗(yàn)次數(shù)在變化，因此直接用頻率來(lái)描述事件本身固有的不依人的意志為轉(zhuǎn)移的屬性：事件出現(xiàn)的可能性大小是不能令人滿意的。單獨(dú)進(jìn)行一次試驗(yàn)，其結(jié)果難以預(yù)料，但當(dāng)多次重復(fù)這個(gè)試驗(yàn)時(shí)，就會(huì)呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。例如，做一次試驗(yàn)：將一枚均勻硬幣投擲n次，觀察在n次試驗(yàn)中“字面朝上”這個(gè)事件A出現(xiàn)的可能性有多大。由表5.1可知，盡管投擲一次硬幣，不是“字面朝上”就是“花面朝上”無(wú)規(guī)律可言，但多次拋擲，也不論誰(shuí)去拋擲，出現(xiàn)“字面朝上”的頻率總是在0.5附近擺動(dòng)，而逐漸穩(wěn)定于0.5，所以0.5這個(gè)數(shù)能反映A出現(xiàn)的可能性大小。我們把這種特性叫做頻率的穩(wěn)定性，把數(shù)值0.5稱為穩(wěn)定值。表5.1試驗(yàn)者投擲次數(shù)nA出現(xiàn)次數(shù)mA出現(xiàn)頻率m/n浦豐皮爾遜皮爾遜4040120002400020486019120120.50690.50160.5005概率的統(tǒng)計(jì)定義

在大量重復(fù)試驗(yàn)下，設(shè)試驗(yàn)的次數(shù)為n，事件A出現(xiàn)的次數(shù)為m，如果事件A出現(xiàn)的頻率m/n總是在某個(gè)常數(shù)p附近擺動(dòng)，我們便把這個(gè)常數(shù)p稱為A的概率，記作P（A）=p。后驗(yàn)概率：

統(tǒng)計(jì)概率易于理解，然而其先決條件是在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，這帶來(lái)很大的局限性。事實(shí)上，有一種特殊的概型可以不必進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果的分析便可求出事件的概律，這就是古典型試驗(yàn)。它具有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）有限性：每次試驗(yàn)，基本事件具有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)，各基本事件出現(xiàn)的可能性相同。有關(guān)古典型試驗(yàn)中的概率模型稱為古典概型。古典概型在實(shí)際中是常見的，如：從裝有5份考題的袋中任抽一份進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，有5個(gè)基本結(jié)果。由于抽取是隨機(jī)的，各份試題外觀又一樣，那么抽到任意一份試題當(dāng)然是等可能的，即抽到任何一份試題的概率均為1/5。從編上號(hào)碼的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，有20個(gè)可能的基本結(jié)果，由于抽到20名學(xué)生中的任何一個(gè)機(jī)會(huì)均等，因此抽到每個(gè)學(xué)生的可能性都是1/20。概率的古典定義設(shè)某古典概型的一次試驗(yàn)中總共有n個(gè)基本事件，其中某事件A包含m個(gè)基本事件，那么，我們就把比值m/n稱為A的概率，記作P（A）。先驗(yàn)概率：例1例2：某年級(jí)甲班33人，乙班36人，丙班31人，從中隨機(jī)抽取學(xué)生，甲班被抽到的概率是多少？例3：從54張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，求抽到紅桃的概率？例4從一個(gè)裝有7枚黑球和4枚白球的口袋中，隨機(jī)抽出一球。求這一枚是白球的概率。例5一次同擲兩枚骰子，求以下概率：①得總數(shù)為9；②總數(shù)不為9。概率的基本性質(zhì)概率的公理系統(tǒng)（1）任何一個(gè)隨機(jī)事件A的概率都是非負(fù)的。（2）在一定條件下必然發(fā)生的必然事件的概率為1。（3）在一定條件下必然不發(fā)生的事件，即不可能事件的概率為0。概率的基本性質(zhì)概率的加法定理

兩個(gè)互不相容事件A、B之和的概率，等于兩個(gè)事件概率之和，寫作

P(A+B)=P(A)+P(B)概率的乘法定理

兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)出現(xiàn)的概率等于這兩個(gè)事件概率的乘積，寫作

P(AB)=P(A)×P(B)練習(xí)

某一學(xué)生從5個(gè)試題中任意抽取一題，進(jìn)行口試，則抽到試題l或試題2的概率是多少？抽到試題1或試題2或試題5的概率是多少？如果第一個(gè)學(xué)生把抽過(guò)的試題還回后，第二個(gè)學(xué)生再抽，則兩個(gè)學(xué)生都抽到試題1的概率是多少？如果前一個(gè)學(xué)生把抽過(guò)的試題還回后，后一個(gè)學(xué)生再抽，則4個(gè)學(xué)生都抽到試題l的概率是多少？二、隨機(jī)變量及其概率分布

在許多隨機(jī)現(xiàn)象中，事件可以表現(xiàn)為取某個(gè)值或某個(gè)范圍內(nèi)的值的變量，我們稱之為隨機(jī)變量。例如，在100張有獎(jiǎng)銷售中有5張三等獎(jiǎng)，現(xiàn)從中抽取10張，問(wèn)抽得三等獎(jiǎng)的張數(shù)是多少？顯然，抽得三等獎(jiǎng)券的張數(shù)是一個(gè)變量，它可以取1，2，3，4，5，0等值，其取值是隨試驗(yàn)的結(jié)果而改變的，而在試驗(yàn)前無(wú)法預(yù)言它將抽得什么數(shù)值。隨機(jī)變量的定義

對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果都對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)值ξ（ω），稱ξ（ω）為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記作ξ。有些定性的試驗(yàn)結(jié)果也可以“數(shù)值化”，比如擲一枚硬幣出現(xiàn)字面或花面，我們可以用｛ξ=1｝表示“出現(xiàn)字面”，用｛ξ=0｝表示“出現(xiàn)花面”。在理解隨機(jī)變量這一概念時(shí)要注意：（1）它是隨試驗(yàn)結(jié)果而變的量，是“因變量”，是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)；（2）隨機(jī)變量取每一個(gè)值都是一個(gè)隨機(jī)事件。所以說(shuō)隨機(jī)變量實(shí)際上是隨機(jī)事件進(jìn)一步的抽象和概括，是用隨機(jī)變量的函數(shù)關(guān)系式來(lái)表示隨機(jī)事件。（3）對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量，我們更關(guān)心的是它取某個(gè)數(shù)值或在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率有多大？通常我們把隨機(jī)變量ξ取某一數(shù)值a的概率記做P｛ξ=a｝，在區(qū)間［a,b）內(nèi)取值的概率，記做P｛a≤ξ＜b｝。隨機(jī)變量的類型

如果一個(gè)隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或無(wú)窮可數(shù)個(gè)數(shù)值，則稱之為離散性隨機(jī)變量。所謂無(wú)窮可數(shù)個(gè)數(shù)值是指這些數(shù)值可按一定的順序排列，從而可表示為數(shù)列x1,x2,…xn

…。

如果一個(gè)隨機(jī)變量的取值充滿數(shù)軸的某些區(qū)間，而不是集中在有限個(gè)或可數(shù)個(gè)離散的點(diǎn)上，則稱之為非離散型隨機(jī)變量（或連續(xù)型隨機(jī)變量）。研究離散型隨機(jī)變量，一是要知道它可能取哪些數(shù)值，二是它取這些數(shù)值的概率是多大。這樣才能確切地掌握它取值的概率規(guī)律。而對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量來(lái)講，考察其取值于一點(diǎn)的概率意義不大，只有知道它取值于任一區(qū)間上的概率，才能把握其取值的概率規(guī)律性。概率分布是指對(duì)隨機(jī)變量取值的概率情況用數(shù)學(xué)方法（函數(shù)）進(jìn)行描述。離散型隨機(jī)變量及其分布列連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ取值為x1,x2,x3,…,xn,…

，取這些值相應(yīng)的概率為p1,p2,…,pn,…,則稱

P｛ξ=xi｝=pi,I=1,2,…,n,…為ξ的概率分布列。ξx1x2…

xn

…

Pp1p2…

pn

…根據(jù)概率的基本含義，易見（1）（2）例：某學(xué)生參加一次智力競(jìng)賽，共回答了三個(gè)問(wèn)題，求該生答對(duì)題數(shù)的分布列。二項(xiàng)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布二項(xiàng)試驗(yàn)必須滿足以下幾個(gè)條件：1．任何一次試驗(yàn)恰好有兩個(gè)結(jié)果，成功與失敗。2．共有N次試驗(yàn)，并且N是預(yù)先給定的任一正整數(shù)。3．每次試驗(yàn)各自獨(dú)立，各次試驗(yàn)之間無(wú)相互影響。

4．某種結(jié)果出現(xiàn)的概率在任何一次試驗(yàn)中都是固定的。二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布即二項(xiàng)試驗(yàn)的概率分布，其概率函數(shù)為：變量X的二項(xiàng)分布X(或r)P012……R……n二項(xiàng)分布的性質(zhì)二項(xiàng)分布是離散型分布。當(dāng)p=q時(shí)圖形是對(duì)稱的。當(dāng)p≠q時(shí)，直方圖呈偏態(tài)，p＜q與p＞q的偏斜方向相反。當(dāng)p＜q且np≥5，或p＞q且nq≥5時(shí)，二項(xiàng)分布就可以當(dāng)作一個(gè)正態(tài)分布的近似形。二項(xiàng)分布的極限就是正態(tài)分布。二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。二項(xiàng)分布的性質(zhì)例：如果出10道用正誤選擇的測(cè)驗(yàn)題目，應(yīng)如何判斷學(xué)生的真實(shí)成績(jī)？例1：有10道是非題，若一考生完全不懂，全憑猜測(cè)回答，問(wèn)分別答對(duì)5題、6題、7題、8題、9題、10題的概率各為多少？至少答對(duì)5題的概率又是多少？例2：有一份10道四選一的多項(xiàng)選擇題的試卷，若考生對(duì)試題作完全猜測(cè)，問(wèn)考生分別猜中8題、9題、10題的概率各有多大？至少猜中一題的概率又有多大？例3：在10道多重選擇題，每道題有5個(gè)答案，其中只有一個(gè)正確，讓學(xué)生作出選擇，用這種方法測(cè)驗(yàn)，應(yīng)怎樣確定學(xué)生的真實(shí)成績(jī)？練習(xí)正態(tài)分布正態(tài)曲線函數(shù)

其中x在-∞到+∞之間變化，而μ代表均數(shù)，σ表示分布的標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布曲線由μ和σ唯一確定。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平均數(shù)為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1。正態(tài)分布的特征正態(tài)分布的形式是對(duì)稱的（但對(duì)稱的不一定是正態(tài)的），它以直線X=μ(Z=0)為對(duì)稱軸。當(dāng)X=μ(Z=0)時(shí)曲線處于最高點(diǎn)，即當(dāng)X=μ時(shí)，為最大值；x=μ±σ兩點(diǎn)是拐點(diǎn)，整條曲線呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀。正態(tài)曲線與x軸所圍成區(qū)域的面積為1。正態(tài)分布是由均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的分布。正態(tài)分布表正態(tài)分布表一般包括三欄：Z分?jǐn)?shù)單位，即橫坐標(biāo)，一般標(biāo)為Z（或（X-μ）/σ）縱高Y，即曲線的高度概率值P，表示某一Z值與Z=0之間的面積正態(tài)分布表的使用依據(jù)Z分?jǐn)?shù)求概率P從概率P求Z分?jǐn)?shù)已知概率或Z值，求概率密度Y正態(tài)分布表的使用例1某校480個(gè)學(xué)生的語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布，其平均數(shù)為75，標(biāo)準(zhǔn)差為10，問(wèn)從理論上說(shuō)65至83分之間應(yīng)當(dāng)有多少人?例2某次測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)是正態(tài)分布，其平均分為72，標(biāo)準(zhǔn)差為6，問(wèn)在平均數(shù)上下多少分中間包括95％的學(xué)生?在平均數(shù)上下多少分中間包括99％的學(xué)生?正態(tài)分布的一些實(shí)際應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)確定錄取分?jǐn)?shù)線例：某項(xiàng)職業(yè)錄取考試，在參加考試的1600人中準(zhǔn)備錄取200人，考試分?jǐn)?shù)接近正態(tài)分布，平均分?jǐn)?shù)為74，標(biāo)準(zhǔn)差為11，問(wèn)錄取分?jǐn)?shù)線是多少?確定等級(jí)評(píng)定的人數(shù)例：如果100個(gè)人某種能力呈正態(tài)分布，欲將分成甲、乙、丙、丁四個(gè)等距的等級(jí)，問(wèn)各等級(jí)應(yīng)有多少人?抽樣分布

參數(shù)是反映總體數(shù)據(jù)特征的量，用希臘字母表示。常見的總體參數(shù)有平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)等?？傮w參數(shù)是常數(shù)。

統(tǒng)計(jì)量是反映樣本數(shù)據(jù)特征的量，用拉丁字母表示。統(tǒng)計(jì)量隨樣本組的變化而變化，所抽取的樣本不同，計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)量的值就不會(huì)完全相同。因此，統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它不包含總體的未知參數(shù)。

總體分布：總體內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布；樣本分布：樣本內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布；抽樣分布：某一統(tǒng)計(jì)量的概率分布。抽樣分布Z分布（樣本平均數(shù)分布）

設(shè)X服從正態(tài)分布，其平均值為μ，方差為σ2，可記為X~N(μ，σ2)，x1，x2，…，xn是從總體X抽取的隨機(jī)樣本，則是樣本平均數(shù)，從總體X中抽取多組不同的容量為n的樣本，則有多個(gè)（每組有一個(gè)），此時(shí)，也服從正態(tài)分布，其平均數(shù)為μ，方差為。

平均數(shù)抽樣分布的幾個(gè)定理從總體中隨機(jī)抽取出容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)的平均數(shù)等于總體的平均數(shù)。容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以n的平方根。稱為平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤從正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取的容量為n的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。雖然總體不呈正態(tài)分布，如果樣本容量較大，反映總體的樣本平均數(shù)的抽樣分布，也接近于正態(tài)分布。T分布1、總體分布為正態(tài)，方差（）未知，樣本平均數(shù)的分布為t分布。2、總體分布為非正態(tài)而其方差又未知，若滿足n＞30時(shí)，其樣本平均數(shù)的分布近似為t分布。T分布的特點(diǎn)平均值為0。以平均值0左右對(duì)稱的分布，左側(cè)t為負(fù)值，右側(cè)t為正值。變量取值在-∞—