新第2章微型計(jì)算機(jī)的數(shù)制和編碼

二、十進(jìn)制數(shù)間的相互轉(zhuǎn)換數(shù)的補(bǔ)碼表示及求補(bǔ)運(yùn)算溢出判斷本章內(nèi)容數(shù)制的基本概念數(shù)字與字符的編碼學(xué)習(xí)數(shù)的不同表示方法掌握不同進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換掌握計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示方法—補(bǔ)碼表示法學(xué)習(xí)目的掌握數(shù)字與字符編碼的方法2.1數(shù)制及其轉(zhuǎn)換一個數(shù)值，可以用不同進(jìn)制的數(shù)表示。通常用數(shù)字后面跟一個英文字母來表示該數(shù)的數(shù)制。十進(jìn)制數(shù)：DDecimalD可以省略不用.二進(jìn)制數(shù)：BBinary八進(jìn)制數(shù)：QOctal十六進(jìn)制數(shù)：HHexadecimal.例：1001B=09H=9D一般地，任意一個十進(jìn)制數(shù)N都可以表示為：N=Kn-1×10n-1+Kn-2×10n-2+······+K1×101+K0×100

+

K-1×10-1+K-2×10-2+······+K-m×10-m=

2.1.1二、八、十、十六進(jìn)制數(shù)*基數(shù)：數(shù)制所使用的數(shù)碼的個數(shù)*權(quán)：數(shù)制中每一位所具有的值.

式中，10稱為十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)，i表示數(shù)的某一位，10i稱該位的權(quán)，Ki表示第I位的數(shù)碼。Ki的范圍為0~9中的任意一個數(shù)1.有十個不同的數(shù)字符號：0,1,2,…9。2.遵循“逢十進(jìn)一”原則。十進(jìn)制數(shù)的兩個主要特點(diǎn)整數(shù)部分小數(shù)部分

設(shè)基數(shù)用R表示，則對于二進(jìn)制，R=2,Ki為0或1，逢二進(jìn)一。N=

對于八進(jìn)制，R=8,Ki為0～7中的任意一個，逢八進(jìn)一。N=對于十六進(jìn)制，R=16,Ki為0～9、A、B、C、D、E、F共16個數(shù)碼中的任意一個，逢十六進(jìn)一。N=例1101.001B=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+0×2-2+1×2-3=13.125綜上可見，上述幾種進(jìn)位制有以下共同點(diǎn)：①每種進(jìn)位制都有一個確定的基數(shù)R，每一位的系數(shù)Ki有R種

可能的取值。

②按“逢R進(jìn)一”方式計(jì)數(shù)，在混合小數(shù)中，小數(shù)點(diǎn)右移一位相

當(dāng)于乘以R，左移一位相當(dāng)于除以R。十進(jìn)制數(shù)、二進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)之間的關(guān)系如下表所示十進(jìn)制二進(jìn)制十六進(jìn)制012345678012345678000000010010001101000101011001111000十進(jìn)制二進(jìn)制十六進(jìn)制91011121314159ABCDEF10011010101111001101111011112.1.2數(shù)制間的轉(zhuǎn)換１．二、八、十六進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換原則：若兩個有理數(shù)相等，則兩數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分一定分別相等。這種轉(zhuǎn)換只需將二、八、十六進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開。例(110.01)2=1×22＋1×21＋0×20＋0×2-1＋1×2-2=(6.25)10

(175)8=1×82＋7×81＋5×80=(125)10

(B2C)16=11×162＋2×161＋12×160＝(2860)10

2.十進(jìn)制數(shù)二、八、十六進(jìn)制數(shù)1)整數(shù)轉(zhuǎn)換方法：除2取余法。DN125=N=125D=1111101B余數(shù)31212562215722231=K21=K31=K41=K51=K610221=K00=K1低位高位0=K72.小數(shù)轉(zhuǎn)換方法：乘2取整法例如：將十進(jìn)制數(shù)0.8125轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)。整個轉(zhuǎn)換過程如下：

0.8125

×21.625整數(shù)部分為1，K-1＝1高位

0.625

×2

1.25整數(shù)部分為1，K-2＝1

0.25

×2

0.50整數(shù)部分為0，K-3＝0

0.50

×2

1.0整數(shù)部分為1，K-4＝1低位所以轉(zhuǎn)換結(jié)果為：(0.8125)10＝(0.1101)2

推廣：

將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為N(二、十六、八)進(jìn)制數(shù)時，整數(shù)與小數(shù)分別按“除N取余法”與“乘N取整法”進(jìn)行轉(zhuǎn)換。而N進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)均可按權(quán)展開相加得到。2.2原碼、反碼和補(bǔ)碼一、機(jī)器數(shù)和真值機(jī)器數(shù)：一個數(shù)連同其符號一起在機(jī)器中的表示形式。在數(shù)的表示式中引進(jìn)符號位：0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)；使之成為計(jì)算機(jī)中可使用的帶符號數(shù)。真值：機(jī)器數(shù)的數(shù)值(不是形式上的真值)。機(jī)器數(shù)按一定編碼方式所代表的真實(shí)數(shù)值。通常用＋/-前綴表示數(shù)的正負(fù)，用十進(jìn)制表示數(shù)值的大小。8位微機(jī)中的帶符號數(shù)：D7D6D5D4D3D2D1D0符號位數(shù)值位D7=0 正數(shù)1 負(fù)數(shù)機(jī)器數(shù)真值01010010B=== +8211010010B===82二、帶符號數(shù)的三種表示方法1.原碼最高位為符號位0正數(shù)1負(fù)數(shù)[+4]原=00000100B[4]原=10000100B后面n-1位是其數(shù)值。原碼的特點(diǎn)：(1)數(shù)值部分即為該帶符號數(shù)的二進(jìn)制值。

(2)“0”有+0和-0之分，若字長為八位，

則：(+0)原＝00000000，(–0)原＝100000008位二進(jìn)制原碼能表示的數(shù)值范圍為：

01111111～11111111，即+127～–127。

－（2n-1－1）~＋（2n-1－1）

其中n為機(jī)器字長。

8位:－127~＋12716位:－32767~＋327672.原碼與計(jì)算當(dāng)X為正數(shù)時[X]原和X一樣，即[X]原=X。當(dāng)X為負(fù)數(shù)時。由于X本身為負(fù)數(shù)，所以，實(shí)際上是將∣X∣數(shù)值部分絕對值前面的符號位上寫成“1”即可。原碼表示法比較直觀，它的數(shù)值部分就是該數(shù)的絕對值，而且與真值、十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換十分方便。但是它的加減法運(yùn)算較復(fù)雜。當(dāng)兩數(shù)相加時，機(jī)器要首先判斷兩數(shù)的符號是否相同，如果相同則兩數(shù)相加，若符號不同，則兩數(shù)相減。在做減法前，還要判斷兩數(shù)絕對值的大小，然后用大數(shù)減去小數(shù)，最后再確定差的符號，換言之，用這樣一種直接的形式進(jìn)行加運(yùn)算時，負(fù)數(shù)的符號位不能與其數(shù)值部分一道參加運(yùn)算，而必須利用單獨(dú)的線路確定和的符號位。要實(shí)現(xiàn)這些操作，電路就很復(fù)雜，這顯然是不經(jīng)濟(jì)實(shí)用的。為了減少設(shè)備，解決機(jī)器內(nèi)負(fù)數(shù)的符號位參加運(yùn)算的問題，總是將減法運(yùn)算變成加法運(yùn)算，也就引進(jìn)了反碼和補(bǔ)碼這兩種機(jī)器數(shù)。2.反碼[+5]原=[+5]反=00000101B[5]原=10000101B正數(shù)的反碼與其原碼相同。負(fù)數(shù)的反碼除符號位外將原碼求反。[5]反=11111010B反碼的定義

字長為N位的定點(diǎn)數(shù)的反碼表示法為：XX>0或X為+0時(2n－1)－|X|X<0或X為－0時[x]反=反碼的特點(diǎn)：(1)“0”有+0和-0之分。

(2)8位二進(jìn)制反碼所能表示的數(shù)值范圍為+127～–127，一般地，對于n位字長的計(jì)算機(jī)來說，其反碼表示

的數(shù)值范圍為+2n-1–1～–2n-1+1。

(3)8位帶符號數(shù)用反碼表示時，若最高位為“0”（正數(shù)）

則后面的7位即為數(shù)值；若最高位為“1”（負(fù)數(shù)），

則后面7位表示的不是此負(fù)數(shù)的數(shù)值，必須把它們按

位取反，才是該負(fù)數(shù)的二進(jìn)制值。

正碼和反碼表示的優(yōu)點(diǎn)

原碼表示的加減法運(yùn)算比較復(fù)雜一實(shí)際操作如+-判斷等判斷，二結(jié)果的符號的判斷，比補(bǔ)碼麻煩多了比如（-5）+7=7-5=23.補(bǔ)碼（1）模和同余的概念：*一個計(jì)量器的容量或一個計(jì)量單位,叫做?；蚰?shù),計(jì)作M（Mode）。例：時鐘的模為：12一個n位二進(jìn)制計(jì)數(shù)器的模為：2n*如果兩個整數(shù)a、b，用某一整數(shù)M去除，所得余數(shù)相同，則稱a、b對模M是同余的，此時稱a、b在以M為模時是相等的。記作：

a=b(modM)例：13=1(mod12)*由同余的概念可以得出若干性質(zhì)：

Ⅰ)a+M=a(modM)

Ⅱ)a+n·M=a(modM，n為整數(shù))

當(dāng)a為負(fù)數(shù)時，利用上式，負(fù)數(shù)就可化為正數(shù)了：補(bǔ)碼是根據(jù)同余的概念引入的，我們來看一個減法通過加法來實(shí)現(xiàn)的例子。假定現(xiàn)在是北京時間6點(diǎn)整，有一只手表卻是8點(diǎn)整，比北京時間快了2小時，校準(zhǔn)的方法有兩種，一種是倒撥2小時，一種是正撥10小時。若規(guī)定倒撥是做減法，正撥是做加法，那么對手表來講減2與加10是等價的，也就是說減2可以用加10來實(shí)現(xiàn)。這是因?yàn)?加10等于18，然而手表最大只能指示12，當(dāng)大于12時12自然丟失，18減去12就只剩6了。這說明減法在一定條件下，是可以用加法來代替的。這里“12”稱為“?！保?0稱為“-2”對模12的補(bǔ)數(shù)。推廣到一般則有：A–B=A+(–B+M)=A+(–B)補(bǔ)結(jié)論：在模為M的條件下，A減去B，可以用A加上-B的補(bǔ)數(shù)來實(shí)現(xiàn)。

例：a=-3在以12為模時，則有：

-3+12=-3（mod12）即：9=-3（mod12）

對此，我們稱-3的補(bǔ)碼為+9（mod12）(2)補(bǔ)碼的定義

字長為N位的定點(diǎn)數(shù)的補(bǔ)碼表示法為：當(dāng)x≥0時,[x]補(bǔ)=[x]原，即為x本身加上符號位‘0’。([X]補(bǔ)=模＋X的真值)

說明由定義：

當(dāng)x<0時,[x]補(bǔ)=2n

－|X|

，即需由減法求得。

XX≥02n

－|X|X＜0(mod2n)[x]補(bǔ)=

(3)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼的求法：1）由定義直接求：需要做減法運(yùn)算。例：X=-68=-1000100B則

[x]補(bǔ)=28－|x

|=100000000－1000100=10111100則

[-0]補(bǔ)=28－0=100000000－00000000=100000000=[+0]補(bǔ)

則

[-127]補(bǔ)=28－127=100000000－01111111=00000001例：已知X=95,Y=-95,8位二進(jìn)制數(shù)(mod=28＝256),[X]補(bǔ)＝01011111B＝5FH＝[X]原＝[X]反正數(shù)的補(bǔ)碼與其原碼、反碼相等

Y=-95=-01011111B [Y]原＝11011111B,[Y]反＝10100000B由補(bǔ)碼的定義可得：[Y]補(bǔ)＝28+(-01011111B) =10100001B100000000B–01011111B10100001B2）利用反碼來求：a.當(dāng)-2n-1＜X＜0時，可以證明：

[x]補(bǔ)等于[x]原除符號位外，其余各位求反，最低位加1。反之，[x]原等于[x]補(bǔ)除符號位外，其余各位求反，最低位加1。

例：x=－68=－1000100[x]原=11000100[x]補(bǔ)=10111011+1=10111100反之，[x]補(bǔ)=10111100則[x]原=11000011+1=11000100[[X]補(bǔ)]補(bǔ)＝[X]原=11000100，對X的補(bǔ)碼求補(bǔ)，結(jié)果對于其原碼，即[[X]補(bǔ)]補(bǔ)＝[X]原

4.補(bǔ)碼加減法運(yùn)算法則：[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=[X+Y]補(bǔ)（mod2n）……….（1）分四種情況證明如下：①X≥0，Y≥0時，則X+Y≥0∴有

[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=X+Y=[X+Y]補(bǔ)（mod2n）②X≥0，Y＜0且X+Y≥0時則有：[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=X+（2n+Y）=2n+(X+Y)=X+Y=[X+Y]補(bǔ)（mod2n）③X≥0，Y＜0且X+Y＜0時則有：[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=X+（2n+Y）=2n+（X+Y）=[X+Y]補(bǔ) （mod2n）④X＜0，Y＜0時，則有X+Y＜0∴[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=(2n+X)+(2n+Y)=2n+(X+Y)

=[X+Y]補(bǔ)（mod2n）∴有（1）式成立,證畢。結(jié)論：在補(bǔ)碼機(jī)內(nèi)，無論兩加數(shù)的真值是正或負(fù)，只要把它們表示成相應(yīng)的補(bǔ)碼形式，直接按二進(jìn)制規(guī)則相加，其結(jié)果均為‘和’的真值的補(bǔ)碼。同樣可證明：[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)=[X-Y]補(bǔ)（mod2n）……….（2）補(bǔ)碼運(yùn)算的特點(diǎn)：1).真值補(bǔ)碼的和等于和的補(bǔ)碼。2).符號位當(dāng)作數(shù)值一樣進(jìn)行運(yùn)算。3).加減法運(yùn)算都是用加法來實(shí)現(xiàn)。4).符號位相加產(chǎn)生的進(jìn)位位舍去不要。例.計(jì)算y=9958(用8位二進(jìn)制表示)9958=99+(58)=41[y]補(bǔ)=[9958]補(bǔ)=[99]補(bǔ)+[58]補(bǔ)01100011[99]補(bǔ)+11000110[58]補(bǔ)[99]補(bǔ)=01100011B[58]補(bǔ)=11000110By=[y]補(bǔ)=00101001B=41100101001[41]補(bǔ)自動丟失5.溢出的概念需要補(bǔ)充8位二進(jìn)制補(bǔ)碼表示數(shù)的范圍：128~+127n位二進(jìn)制補(bǔ)碼表示數(shù)的范圍：2n1~+(2n11)若運(yùn)算結(jié)果超過了字長一定的機(jī)器所能表示數(shù)的范圍，稱為溢出。此時運(yùn)算結(jié)果出錯。類別二進(jìn)制編碼組合n=8n=16符號數(shù)值位n-116進(jìn)制真值16進(jìn)制真值正數(shù)00011…1111…10┇00…017FH7EH┇01H+127126┇17FFFH7FFEH┇0001H3276732766┇1000…0000H00000H0負(fù)數(shù)111111…1111…10┇00…0100…00FFHFEH┇81H80H-1-2┇-127-128FFFFHFFFEH┇8001H8000H-1-2┇-32767-32768例1.令CS為數(shù)值部分向符號位的進(jìn)位，CS+1為符號位向高位的進(jìn)位，此例中,CS＝CS+1＝0，結(jié)果在8位二進(jìn)制補(bǔ)碼表示范圍內(nèi)，沒有溢出。0000111101110000+01111111+15+112+12700CS+1CS例2.此例中，Cs≠CS+

1，產(chǎn)生了錯誤的結(jié)果，發(fā)生了溢出。

0111111000000101+10000011+126+512501CS+1CS0111111100000101+10000100+127+5124例3.CS＝1, CS＋1＝0, 結(jié)果溢出！結(jié)果出錯。1000010011111011+01111111+1275124例4.CS＝0, CS＋1＝1, 結(jié)果溢出！1因?yàn)镃S= CS＋1, 則結(jié)果正確。CS

CS＋1,則結(jié)果溢出。所以 溢出=CS

CS＋1結(jié)果出錯。定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)定點(diǎn)數(shù)定點(diǎn)整數(shù):小數(shù)點(diǎn)約定在最低位的右邊。定點(diǎn)小數(shù):小數(shù)點(diǎn)約定在符號位之后。浮點(diǎn)數(shù)：N＝2P×S以32位(4字節(jié))數(shù)為例： 階符、階碼——8位(1個字節(jié)) 數(shù)符、尾數(shù)——24位（3個字節(jié)） 范圍：

階符階碼數(shù)符尾數(shù)SP數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼——奇偶校驗(yàn)碼奇校驗(yàn)：代碼位中1的個數(shù)為奇數(shù)個偶校驗(yàn)：代碼位中1的個數(shù)為偶數(shù)個n個代碼位＝ 1位校驗(yàn)位＋若干信息位例如：0 1100011——偶校驗(yàn) 1 1100011——奇校驗(yàn)n-1n-2……0奇校驗(yàn)：應(yīng)使代碼里連同校驗(yàn)位共有奇數(shù)個1。補(bǔ)奇：當(dāng)數(shù)值部分中1的個數(shù)為偶數(shù)時，可通過置校驗(yàn)位為“1”，使整個代碼“1”的個數(shù)為奇數(shù)。例如：7位信息代碼1100011中，有偶數(shù)個“1”，為滿足奇校驗(yàn)，校驗(yàn)位取“1”，即11100011。偶校驗(yàn)：應(yīng)使代碼里連同校驗(yàn)位共有偶數(shù)個1。補(bǔ)偶：當(dāng)數(shù)值部分中1的個數(shù)為奇數(shù)時，可通過置校驗(yàn)位為“1”，使整個代碼“1”的個數(shù)為偶數(shù)。例如：7位信息代碼1100011中，有偶數(shù)個“1”，為滿足偶校驗(yàn)，校驗(yàn)位取“0”，即01100011。2.3數(shù)字與字符的編碼一、數(shù)字的編碼（BCD碼）BCD碼是一種常用的數(shù)字編碼。BCD碼：Binary-CodedDecimal，即二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)。用[…]BCD表示。這種編碼法分別將每位十進(jìn)制數(shù)字編成4位

二進(jìn)制代碼，從而用二進(jìn)制數(shù)來表示十進(jìn)制數(shù)。

[01001001000