《變化率與導(dǎo)數(shù)》要點講解

《變化率與導(dǎo)數(shù)》要點講解一、求導(dǎo)的基本方法——導(dǎo)數(shù)極限定義函數(shù)y=f(x)在點x0的導(dǎo)數(shù)，正好就等于函數(shù)曲線在點M（x0，f（x0））的切線斜率.我們看看這個結(jié)論是如何得出的.右邊這個圖，在x0右邊距離為△x的地方另取一點，那么曲線上相應(yīng)的點M1的坐標(biāo)為（x0+△x，f（x0+△x）），我們將點M和M1連起來，得到一條直線，我們稱之為“割線”，顯然它不是我們所要的切線.這條割線的斜率是多少呢？割線MM1的斜率=請注意，如果這時我們沿著曲線f（x）移動點M1，使它逐漸接近點M（也就是讓△x縮小，最后變成0），割線MM1就會逐步移動，漸漸靠近切線MT，向切線MT逼近.從圖中可以看出，當(dāng)M1沿著曲線逐漸向M靠攏時，MM1的斜率也會向MT的斜率逐漸靠近.我們可以把上面這句話寫成：當(dāng)△x→0，MM1的斜率→MT的斜率.用式子表示：切線MT的斜率=這就是導(dǎo)數(shù)的定義.△x中在x前面的那個三角形，是一個大寫希臘字母，讀作delta，相當(dāng)于英文字母的D.據(jù)說牛頓年輕的時候，由于先天有某種障礙缺陷，無法精通某種秘密的握手方式，結(jié)果不幸因此被一個名稱中帶△的兄弟會拒絕了他的入會申請.當(dāng)時他當(dāng)然非常失望，他后來幽默地用了這個讓他畢生最傷心的字母，作為他一生最偉大的成就（微積分）的基石.他用△x這個符號，來代表x的微小變化.導(dǎo)數(shù)的定義還可以有其他形式，比如用h替代△x：還可以用x替代x0，得到：我們假設(shè)，這樣，當(dāng)△x→0，就相當(dāng)于x→x0，可以把式子改寫成：從外表看，似乎跟原來的定義不一樣了，但實質(zhì)是一回事.什么時候我們會用到導(dǎo)數(shù)的極限定義去計算導(dǎo)數(shù)呢？只有在考核對導(dǎo)數(shù)定義的理解時才會遇到，平時是不會用到的.二、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率.它把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與曲線的切線聯(lián)系在一起，使導(dǎo)數(shù)成為函數(shù)知識與解析幾何知識交匯的一個重要載體.因此，用導(dǎo)數(shù)解決與切線有關(guān)的問題將是高考命題的一個熱點.導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用涉及如下幾類問題.一、切線的夾角問題例1已知拋物線y＝x2﹣4與直線y＝x＋2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為l1和l2.(1)求直線l1與l2的夾角.解析：由方程組eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(y＝x2﹣4,y＝x＋2)，解得A(－2，0)，B(3，5)，由y＝2x，則y|x＝－2＝﹣4，y|x＝3＝6，設(shè)兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式，tanθ＝|eq\f(－4－6,1＋(－4)×6)|＝eq\f(10,23),所以θ＝arctaneq\f(10,23).點撥：解答此類問題分兩步：第一步根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線兩條切線的斜率；第二步利用兩條直線的夾角公式求出結(jié)果(注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號).二、兩條曲線的公切線問題例2已知拋物線C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a.如果直線l同時是C1和C2的切線，稱直線l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.(1)a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；(2)若C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.解析：(1)函數(shù)y＝x2＋2x的導(dǎo)數(shù)y＝2x＋2，曲線C1在點P(x1，xeq\o(2,1)＋2x1)處的切線方程是y－(xeq\o(2,1)＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－xeq\o(2,1)…①，函數(shù)y＝－x2＋a的導(dǎo)數(shù)y＝－2x，曲線C2在點Q(x2，－xeq\o(2,2)＋a)處的切線方程是y－(－xeq\o(2,2)＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋xeq\o(2,2)＋a，…②如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是直線l的方程，所以eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x1＋1＝－x2,－xeq\o(2,1)＝xeq\o(2,2)＋a)，消去x2得方程2xeq\o(2,1)＋2x1＋1＋a＝0.當(dāng)判別式△＝4－4×2(1＋a)＝0時，即a＝－eq\f(1,2)時，解得x1＝－eq\f(1,2)，此時點P和Q重合，即當(dāng)a＝－eq\f(1,2)時，C1和C2有且僅有一條公切線，由①得公切線的方程為y＝x－eq\f(1,4).（Ⅱ）證明：