上海市靜安區(qū)2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題4

試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁試卷第=page33頁，共=sectionpages44頁上海市靜安區(qū)2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、填空題1．函數(shù)的定義域是____________．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)的取值范圍是____________．3．若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離是____________．4．16-17歲未成年人的體重的主要百分位數(shù)表（單位：kg）．P1P5P10P25P50P75P90P95P99男40.145.147.951.556.763.772.480.495.5女38.341.243.146.550.555.361.165.475.6表中數(shù)據(jù)來源：《中國未成年人人體尺寸》（標準號：GB/T26158-2010）小王同學(xué)今年17歲，她的體重50kg，她所在城市女性同齡人約有4.2萬人．估計小王同學(xué)所在的城市有________萬女性同齡人的體重一定高于她的體重．（單位：萬人，結(jié)果保留一位小數(shù)）5．已知函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)____________．6．現(xiàn)有5根細木棍，長度分別為1、3、5、7、9（單位：cm），從中任取3根，能搭成一個三角形的概率是____________．7．有一種空心鋼球，質(zhì)量為140.2g，測得球的外直徑等于5.0cm，若球壁厚度均勻，則它的內(nèi)直徑為__________cm．（鋼的密度是7.9g/cm3，結(jié)果保留一位小數(shù)）．8．、分別是事件、的對立事件，如果、兩個事件獨立，那么以下四個概率等式一定成立的是____________．（填寫所有成立的等式序號）①②③④9．2022年11月27日上午7點，時隔兩年再度回歸的上海馬拉松賽在外灘金牛廣場鳴槍開跑，途徑黃浦、靜安和徐匯三區(qū).數(shù)千名志愿者為1.8萬名跑者提供了良好的志愿服務(wù).現(xiàn)將5名志愿者分配到防疫組、檢錄組、起點管理組、路線垃圾回收組4個組，每組至少分配1名志愿者，則不同的分配方法共有__________種.（結(jié)果用數(shù)值表示）10．已知全集為實數(shù)集R，集合，N=，則=____________．11．已知函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為________.二、雙空題12．在空間直角坐標系中，點關(guān)于坐標平面的對稱點在第_______卦限；若點的坐標為，則向量與向量夾角的余弦值是____________．三、單選題13．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則（

）A．120 B．96 C．72 D．4814．若實數(shù)x,y滿足，則（

）成立．A． B．C． D．.15．在的二項展開式中，稱為二項展開式的第項，其中r=0，1，2，3，……，n．下列關(guān)于的命題中，不正確的一項是（

）A．若，則二項展開式中系數(shù)最大的項是．B．已知，若，則二項展開式中第2項不大于第3項的實數(shù)的取值范圍是．C．若，則二項展開式中的常數(shù)項是．D．若，則二項展開式中的冪指數(shù)是負數(shù)的項一共有12項．16．“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．《九章算術(shù)》總結(jié)了先秦時期數(shù)學(xué)成就，是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)巨著，對后世數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了廣泛而深遠的影響．書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺．問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為尺和尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（

）平方尺.A． B． C． D．四、解答題17．已知數(shù)列滿足：，，，對一切正整數(shù)成立．(1)證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項之和．18．平面向量，函數(shù).(1)求函數(shù)y=的最小正周期；(2)若，求y=的值域；(3)在△中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，，求△的面積.19．如圖所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中點，O為AE的中點，以AE為折痕將向上折起，使D點折到P點，且．(1)求證：面ABCE；(2)求AC與面PAB所成角的正弦值．20．已知橢圓：（）的離心率為，它的上頂點為，左、右焦點分別為，（常數(shù)），直線，分別交橢圓于點，．為坐標原點．(1)求證：直線平分線段；(2)如圖，設(shè)橢圓外一點在直線上，點的橫坐標為常數(shù)（），過的動直線與橢圓交于兩個不同點、，在線段上取點，滿足，試證明點在直線上．21．已知函數(shù)f(x)＝－2alnx－，g(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，其中a∈R.(1)若x＝2是函數(shù)f(x)的駐點，求實數(shù)a的值；(2)當a>0時，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在x[，e2]（e為自然對數(shù)的底），使得不等式f(x)g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍．答案第=page1212頁，共=sectionpages1212頁答案第=page1111頁，共=sectionpages1212頁參考答案：1．【分析】由可得答案.【詳解】，則，.故答案為：2．【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運算計算出，再由復(fù)數(shù)的幾何意義得出相應(yīng)點的坐標，列方程組求解即可.【詳解】，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，由已知，在第二象限，∴，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．##【分析】由兩直線平行，可求得的值，再利用平行線間距離公式求解.【詳解】由直線與直線平行，可知，即，故直線為，直線變形得，故，故答案為：.4．【分析】根據(jù)題意，由圖表可知，該城市女性同齡人高于小王的百分位數(shù)，由百分位數(shù)的定義計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，小王同學(xué)今年17歲，她的體重50kg，由圖表可知，小王體重的百分位數(shù)是，所以體重一定高于她的體重的人數(shù)有(萬)故答案為：5．【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和四則運算法則計算即可.【詳解】.故答案為：.6．0.3##【分析】根據(jù)古典概型，先求出樣本空間，再求出條件空間即可.【詳解】從5根木棍中任取3個共有種，符合條件有3種，能搭成一個三角形的概率；故答案為：.7．4.5【分析】設(shè)空心鋼球的內(nèi)直徑為，表示空心鋼球的體積，由條件列方程求即可.【詳解】設(shè)空心鋼球的內(nèi)直徑為，則空心鋼球的體積為，因為空心鋼球的質(zhì)量為140.2g，鋼的密度是7.9g/cm3，所以，所以，解得，所以，故答案為：.8．②③【分析】根據(jù)事件的獨立性定義判斷即可.【詳解】①，故①不一定成立；②③由事件的獨立性定義可得與，與相互獨立，所以，，故②③正確；④，故④不一定成立.故答案為：②③.9．240【分析】先將5名志愿者分成四組，然后再分配到四個地方即可.【詳解】將5名志愿者分成四組，且每組至少1名志愿者有種情況，所以不同的分配方法有.故答案為：240.10．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式得到，，，然后求交集即可.【詳解】不等式可整理為，所以，解得，所以，或，不等式可整理為，所以，即，解得或，所以或，.故答案為：.11．【分析】對分類討論：，和，分別求出對應(yīng)情況下的實根情況列不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.當時，令，解得：，所以函數(shù)有兩個零點，不符合題意.當時，要使函數(shù)只有一個零點，只需的極大值小于0或的極小值大于0.令，解得：或.列表：0+0-0+單增極大值單減極小值單增所以極大值不符合題意.所以極小值，解得：；當時，要使函數(shù)只有一個零點，只需極大值小于0或的極小值大于0..令，解得：或.列表：0-0+0-單減極小值單增極大值單減所以極大值不符合題意.所以極小值，解得：.綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.12．

五

【分析】根據(jù)坐標平面對稱先求出的坐標，根據(jù)卦限在空間中的位置可以得出結(jié)果；利用空間坐標直接求出夾角的余弦值即可得出答案.【詳解】點關(guān)于坐標平面的對稱點為，根據(jù)卦限在空間中的位置，所以點在第五卦限.由已知可得，，所以故答案為：五；13．A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標性質(zhì)計算可得結(jié)果.【詳解】因為是等差數(shù)列，，所以，即，所以.故選：A14．B【分析】運用基本不等式，對條件代數(shù)式變形，逐項求解.【詳解】由和基本不等式（當時等號成立），，當時，有，當時，，A錯誤；由（當同號時等號成立）得：，，B正確；，（當時等號成立），，C，D錯誤；故選：B.15．D【分析】A選項：根據(jù)系數(shù)最大列不等式，解不等式即可；B選項：根據(jù)題意列不等式，然后分和兩種情況解不等式即可；C選項：令，解方程即可；D選項：令，解不等式即可.【詳解】A選項：令，解得，所以，所以A正確；B選項：，整理可得，當時，不等式恒成立；當時，解得，所以，故B正確；C選項：令，解得，所以常數(shù)項為，故C正確；D選項：令，解得，所以可取，共11項，故D錯.故選：D.16．C【分析】將四棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長方體的外接球，然后求外接球表面積即可.【詳解】如圖所示，這個四棱錐的外接球和長方體的外接球相同，所以外接球的半徑為，外接球的表面積.故選：C.17．(1)證明見解析(2)【分析】(1)結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的定義證明即可；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，利用累加法和等比數(shù)列求和公式求解出數(shù)列的通項公式，再利用分組求和即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，對一切正整數(shù)成立，∴，即．∴數(shù)列{}是以為首項，4為公比的等比數(shù)列．（2）由(1)知，，∴,當n=1時，滿足上式，綜上所述，.設(shè)數(shù)列的前項之和為，則=．18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用數(shù)量積、二倍角公式和輔助角公式化簡得到，然后求最小正周期即可；（2）利用換元法和三角函數(shù)單調(diào)性求值域即可；（3）利用余弦定理得到，然后利用三角形面積公式求面積即可.【詳解】（1），所以，最小正周期為.（2）設(shè)，，，在上嚴格增，在上嚴格減，，，，所以=的值域為．（3），即，因為為三角形內(nèi)角，所以．，即，解得.所以△的面積為.19．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）取的中點，連，，證明，，得到面，從而證明，然后可得面；（2）作交于，則，然后以點為原點建立空間直角坐標系，然后利用向量求解即可.【詳解】（1）由題意，可得，，則，取BC的中點F，連OF，，可得，所以，因為，，且，所以平面，又因為平面，所以．又由BC與AE為相交直線，所以平面．（2）作交于，則如圖建立空間直角坐標系，則，設(shè)平面的法向量為，則，所以可取，所以與面所成角的正弦值.20．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由離心率，將，均用表示，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求得點坐標，即可得到直線的方程，根據(jù)橢圓的對稱性，求出點的坐標，再證出中點在直線上即可；（2）設(shè)，和，用線段定比分點坐標公式將，坐標表示出來，并代入，結(jié)合的橫坐標為和，在橢圓上，進行運算證明即可.【詳解】（1）由題意，，則，，∴，∴橢圓方程為，即，∴直線的斜率，直線的方程為，聯(lián)立消去，化簡得，解得，，即點的橫坐標為，代入直線的方程，得，∴直線的斜率，直線的方程為，∵，∴由橢圓的對稱性知，又∵，∴線段AC的中點坐標為，∵，∴線段AC的中點在直線：上，即直線平分線段.（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于兩個不同點的坐標為，，∵，在橢圓上，∴，∵，∴設(shè)，易知，且，則由已知，有，，∴由線段定比分點坐標公式，有，，∵點的橫坐標為常數(shù)（），∴，又∵點在直線：上，∴，∴，將代入，得，即點在直線上.【點睛】本題的兩問證明，實質(zhì)上都是證明點在直線上，第（1）問證明中點在直線上，即可證明直線平分線段，第（2）問設(shè)，由線段定比分點坐標公式求得的坐標，即可結(jié)合，，的坐標，證明點在直線上.21．(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）根據(jù)是函數(shù)的駐點得到，然后列方程求即可；（2）求導(dǎo)，分、和三種情況討論單調(diào)性即可；（3）將存在，使得不等式成立轉(zhuǎn)化為，然后利用單調(diào)性求最值即可.【詳解】（1）若是函數(shù)的駐