充分條件與必要條件之辯

充分條件與必要條件之辯這里，我稍稍做了一次標(biāo)題黨。這一篇附錄主要是聊一聊“邏輯”，理一理思路。其實(shí)大家平時(shí)為什么會(huì)被“什么的必要條件是什么”，“什么是什么的充分條件”諸如此類(lèi)的表示弄得暈頭轉(zhuǎn)向呢（包括我自己，大霧）。這其實(shí)不是大家的錯(cuò)，這最主要的原因是語(yǔ)言文字太博大精深了（笑錯(cuò)的是這個(gè)世界，全怪時(shí)辰U（正經(jīng)）什么是邏輯？是一種思維的規(guī)律，但我更喜歡把它當(dāng)做一種語(yǔ)言，他有自己一套語(yǔ)法和語(yǔ)義。不過(guò)她沒(méi)有什么倒裝句式，沒(méi)有什么修辭手法之類(lèi)的，所以它十分公正，明確。雖說(shuō)這樣聽(tīng)起來(lái)，一門(mén)語(yǔ)言沒(méi)有這些亂七八糟的東西，會(huì)變得很容易理解和研究，其實(shí)不然，去掉繁雜的枝葉可以直指本質(zhì)，而對(duì)本質(zhì)的探索是最為困難的。這里，我要講的是最淺顯的內(nèi)容。這篇文章，或許不會(huì)對(duì)你做題方法有直接影響，但是能剖析自己的思路總是好的。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃〃/〃〃〃//〃〃/〃//1、什么是命題命題是一個(gè)非真即假的陳述句。大家都懂我就不多說(shuō)了。要注意的是類(lèi)似％>5的不是命題，因?yàn)?是變量，%>5的真值由X的取值來(lái)決定。要這樣：Vxe/?%>5才算是命題。（類(lèi)似x>5,我們稱之為命題變項(xiàng)）（嚴(yán)格來(lái)說(shuō)a+b22倔也不算命題）因?yàn)槲覀兲幚砻}和命題變項(xiàng)的方法是一毛一樣的，因此除了在概念上區(qū)分以外，在推理過(guò)程中我們就不再區(qū)分他們了。后面我們也會(huì)淡化“命題”這個(gè)概念。（不要說(shuō)有條件和結(jié)論的才叫命題這種錯(cuò)誤的想法）〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃2、簡(jiǎn)單命題和復(fù)雜命題表達(dá)一個(gè)命題就像積木一樣，一個(gè)復(fù)雜的命題由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞按規(guī)則所組成。簡(jiǎn)單命題，就是不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題：“我是beauty"（beauty是我一個(gè)同學(xué)）復(fù)雜命題：“我是beauty且我愛(ài)飆車(chē)”，這里的“且”就是一個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞了（接下來(lái)我們會(huì)用字母來(lái)表示一個(gè)命題）〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃〃〃/〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃3、邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞的作用相當(dāng)于加減乘除，可把命題連接起來(lái)構(gòu)成狂雜的命題。有幾個(gè)常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞：-1（非）、八（且）、V（或）、T（蘊(yùn)含，也可讀作如果…，那么…）、C（等價(jià)于）〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃或且非我就不說(shuō)了。〃/〃/〃〃〃//〃/〃//〃〃//〃//〃/〃/〃〃〃/〃〃//〃//〃/〃〃〃〃//〃〃//〃//〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃〃〃//〃/〃/〃〃/〃//〃/〃姑且提一下“T”：有兩個(gè)命題P,Q,用T構(gòu)成可以一個(gè)命題PtQ。讀作P蘊(yùn)含于Q,也可以讀作如果尸，那么Q。在這里P就稱為條件，Q就稱為結(jié)論。真值表（相當(dāng)于對(duì)此聯(lián)結(jié)詞的定義）如下：PQPtQ〃//〃〃〃〃/〃//〃〃〃〃//〃〃〃/〃〃//〃//〃〃//〃〃〃〃//〃/〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃/〃〃/〃//〃〃〃〃//〃〃〃蘊(yùn)涵詞“T”與自然語(yǔ)言中“如果…，那么…”有一致的一面，但也有不同的地方：①自然語(yǔ)言中如果那么所連接的兩個(gè)句子是有一般都是關(guān)聯(lián)的。而邏輯上允許“T”前后放不同的東西。（“或、且”也一樣：“2+2=5”且“雪是白的”。這樣的句子是合理的）（吐槽一句，其實(shí)前后亳無(wú)關(guān)聯(lián)的句子也很多啊一一如果我?guī)е诳蜓坨R，那么一分鐘只有59s（笑）一一對(duì)吧，前后亳無(wú)關(guān)聯(lián)）②自然語(yǔ)言中很少有條件為假，命題為真的說(shuō)法，導(dǎo)致讓人很難理解。其實(shí)我列幾個(gè)句子就很好明白了：（1）如果我是beauty（學(xué)新），那么我就能考全級(jí)第一。（2）如果我能考全級(jí)第一了，那么母豬都會(huì)上樹(shù)了（心酸）；（3）如果太陽(yáng)從西邊出來(lái)了，那么我的是穿女裝。（這是薛定印的女裝啊（笑））邏輯是自然思維的抽象，源于自然，高于自然。當(dāng)你對(duì)邏輯進(jìn)行演算的時(shí)候，大可不必時(shí)時(shí)刻刻想著它對(duì)應(yīng)的意思，就好像數(shù)字運(yùn)算一樣；而自然語(yǔ)言僅僅是用來(lái)輔助理解的，就好像學(xué)算術(shù)時(shí)作為例子的“蘋(píng)果”一樣。把“t”抽象出來(lái)之后（不要再想著它的原本對(duì)應(yīng)的意思了），我們發(fā)現(xiàn)「PVQ跟PtQ是完全等價(jià)的:這個(gè)有什么用呢，等下再說(shuō)。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃那么如果PtQ為真，我們可以記為P=Q,這時(shí)稱：①P蘊(yùn)含于Q（這里的蘊(yùn)含于的含義稍稍有點(diǎn)變化）②P是Q的充分條件，Q是尸的必要條件；（Q的充分條件是P，P的必要條件是Q）（如何理解等下再說(shuō)）這有什么區(qū)別呢，這么說(shuō)吧“t”相當(dāng)于加減乘除，“=”相當(dāng)于等于大于，也就是說(shuō)是用來(lái)描述PQ之間的關(guān)系的，而是一個(gè)“運(yùn)算符，同樣我們可以定義我們當(dāng)做用于命題之間的一個(gè)等號(hào)〃〃〃/〃/〃〃〃/〃//〃〃//〃/〃〃〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃〃/〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃3、邏輯演算我們平時(shí)做題時(shí)候，我們需要一些推理規(guī)則。比如說(shuō)遇到難證明題目，我們可以先求其必要條件，縮小其范圍；正面難證明的問(wèn)題，我們可以用反證法。無(wú)不需要邏輯的演算?！āā?〃/〃〃〃/〃//〃〃//〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃//〃/〃/〃〃〃/〃〃/〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃1、等價(jià)變形我們很多時(shí)候會(huì)遇到一些比較更雜的命題，我們需要對(duì)命題進(jìn)行化簡(jiǎn)，這時(shí)候我們就要熟知一些邏輯聯(lián)結(jié)詞的運(yùn)算規(guī)則（就像是我們對(duì)算式化簡(jiǎn)一般）一些等價(jià)公式：①雙重否定：1Pop②八、V、一滿足結(jié)合律（T不滿足）③八、V、C滿足交換律（T不滿足）(P八(QVR)<=>(P/\Q)V(P/\R)④分配律：(P\/(QYR)0(PYQ)八(PYR)(一不滿足)

t(QtR)<=>(PtQ)t(PtR)等累律:吸收律:(PVP<=>P等累律:吸收律:ptP0T

p—p0T⑦德摩根律:r-i(PAQ)<=>-1PV-1Q

l「(PVQ)<=>-iPA-iQ

⑦德摩根律:這里只是把公式列舉出來(lái)而已，腦殘的不用記，不常用的其實(shí)也不用記，這里最重要的是公式是德摩根律了（各種意義上）當(dāng)然這些公式，都可以用真值表來(lái)證明（不過(guò)太困難了）。我們可以用韋恩圖來(lái)理解這些公式（有點(diǎn)太過(guò)顯然了）：-1PPYQ〃/〃/〃〃〃/〃/〃///〃〃/〃//〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃///〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃//〃/〃//〃/〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃///〃/〃/〃//〃我們可以稍稍作個(gè)拓展：高中老師為了我們更好理解“且”“或”，把“且”比作乘法，“或”比作加法，其實(shí)這樣并不準(zhǔn)確。③我們這樣定義命題的“加法"：P+Q（就是并了之后去掉交的部分）：（意思是“或異”一”魚(yú)和熊掌不可得兼”）⑤1定義為真，。定義為假除了尸2=2和2+2=。兩個(gè)特殊的運(yùn)算性質(zhì)以外，其他的運(yùn)算性質(zhì)跟數(shù)的運(yùn)算完全一樣。形如這樣的運(yùn)算，我們稱之為布爾運(yùn)算。點(diǎn)到即止，大家可以試下用這個(gè)來(lái)推一推上面的那些等價(jià)公式?！?〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃還有一個(gè)十分重要的等價(jià)公式，我們可以推一推：根據(jù)真值表可得（PtQ）=（「PVQ）由雙重否定律、交換律得再根據(jù)真值表得V（-.P））=（（「Q）T（「P））綜上得（pTQ）=（（-?Q）T（「P））這就是所謂的逆否命題跟原命題等價(jià)了?！?〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃2、邏輯推理我們做證明題就是一個(gè)推理過(guò)程。我們?cè)趺窗堰@個(gè)過(guò)程抽象出來(lái)，再為己所用呢。例1、如果我是人，那么我會(huì)死因?yàn)槲沂侨怂晕視?huì)死這是自然語(yǔ)句給出的三個(gè)命題，有前提，有結(jié)論，表示了一種推理關(guān)系。引入符號(hào)P表示我是人，Q表示我會(huì)死，便可以將這推理關(guān)系表示為：((PtQ)/\P)=Q上面就是一個(gè)推理公式。一些推理公式：PAQ=>PP=P7Q-1P=PtQ④Q=PtQ⑤((PtQ)ap)=Q?(PTQ)八(QTR)今(PTR)我們一般用①②求一道題目的充分或者必要條件，縮小計(jì)算范圍。⑤我們稱為假言推理，是最常用的推理公式(例1),我們做證明題的時(shí)候就是反反更好用這條公式而己(好好體會(huì)下)。然后⑥就是著名的三段論：大前提，小前提，結(jié)論。〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃以上暫時(shí)沒(méi)有引入量詞，我們稱之為命題邏輯，我們已將其公理化，公理的內(nèi)容這里就不提了，無(wú)非就是將前面一些重要內(nèi)容，基本的內(nèi)容挑出來(lái)罷了。不過(guò)，有些數(shù)學(xué)家不承認(rèn)一些公式，就有后來(lái)一些非標(biāo)準(zhǔn)邏輯了，故事我也不知道多少，這里我也不提了。大家有興趣自己查一下。/〃/〃/〃/〃//〃/〃////〃//〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/〃//////////〃/〃/////〃/〃/〃//〃4、謂詞(為了方便起見(jiàn)，后面用小寫(xiě)字母表示命題，大寫(xiě)字母表示謂詞)沒(méi)有量詞的命題邏輯表達(dá)能力實(shí)在是太低，所以我們要引入量詞。引入量詞之前，我們還得先引入“謂詞:例：beauty是學(xué)籍駱飛是學(xué)新在命題邏輯里面，這兩個(gè)是不同的命題，只能用不同的符號(hào)p,q來(lái)表示了。但分析一下這兩個(gè)命題的異同點(diǎn)，他們都有主詞和謂詞，不同的是主詞“beauty”“駱飛”，而謂詞“是學(xué)新”是相同的。若以P表示“是學(xué)籍”，那么這兩個(gè)命題就可以表示為：P(beauty)P(駱飛)這樣就可以明晰地表示這兩個(gè)命題的異同點(diǎn)了。我們還可以引入變版來(lái)表示主詞，于是符號(hào)P(x)就表示“工是學(xué)籍”。通常把P(x)稱作謂詞。(謂詞不是命題，但是推理性質(zhì)跟命題一樣)其實(shí)謂詞就是一個(gè)性質(zhì)當(dāng)然，還有多個(gè)變量的謂詞，就不提了?！?〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃5、量詞量詞常用的有兩個(gè)：V(全稱量詞：恒成立)、3(特稱量詞：存在)〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃//〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃/〃〃//量詞和謂詞共同使用才能構(gòu)成一個(gè)命題：①(Vx)P(x)：所有的x都滿足性質(zhì)P②存在x滿足性質(zhì)P一一用量詞對(duì)謂詞中變量進(jìn)行約束。不過(guò)使用量詞之前，先要默認(rèn)"的取值范圍，這個(gè)范圍我們稱之為論域，在不同的問(wèn)題中，我們會(huì)用不同的論域。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃例1：有的實(shí)數(shù)是有理數(shù)換句話說(shuō)：有些東西，它是實(shí)數(shù)也是有理數(shù)注意不是：有些東西，如果它是實(shí)數(shù)，那么它是有理數(shù)形式化：0x)(“是實(shí)數(shù)八”是有理數(shù))不是0x)(%是實(shí)數(shù)tx是有理數(shù))這個(gè)命題一般來(lái)說(shuō)成立的(在這種情況默認(rèn)論域是所有實(shí)數(shù))，不過(guò)我們也可以取一些奇葩的論域，這個(gè)命題就不一定成立了：｛巴汗,桌子,beauty｝?！?/〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃一般跟V搭配的是所以一般恒成立問(wèn)題的形式為：”x)(P(x)tQ(x))(女)(P(x)八Q。))長(zhǎng)這樣的幾乎沒(méi)什么意義的，在一般的論域中(萬(wàn)物)，這樣的命題通常都是假的。一般跟三搭配的是A,所以一般存在性問(wèn)題的形式為：0x)(P(x)八Q(x))Gx)(P(x)tQ(x))長(zhǎng)這樣的也是幾乎沒(méi)什么意義的，在一般的論域中(萬(wàn)物)，這樣的命題通常都是真的?！?〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃還有，我們一般采取縮記法：(V%)(XE/tP(x))我們記為(Vxe/)P(x)0X)&e4-P(%))我們記為oea)PM這些縮記大大縮短了很多命題的長(zhǎng)度，也減少了一環(huán)套一環(huán)的括號(hào)，有益的化簡(jiǎn)總是好的。

〃/〃//〃/〃/〃/〃///〃〃/〃//〃〃〃〃/〃〃/〃〃/〃//〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃/〃〃/〃/〃///〃〃〃〃//〃除了這兩個(gè)量詞，在這里我還拓展一個(gè)量詞：衛(wèi)一量詞：唯一存在(有且僅有))這樣定義：(衛(wèi)x)P(x)=(3%)(P(x)A(Vy(P(y)-?x=y)))不說(shuō)了。/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃〃/〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃6、謂詞邏輯的推理演6、謂詞邏輯的推理演謂詞邏輯的推理演算規(guī)則大體上與命題邏輯相似，只需要加上幾條就可以了:①否定式：尸以)尸⑺=皿)了？1-.皿)尸(乃=(以)(中。))②量詞的分配律氣1(3%)(P(x)V(2(%))=Gx)P(x)VGx)Q(x)③量詞的分配律2：(Vx)(Pa)Tp)=(Vx)P(x)Tp(這個(gè)太多，只舉一個(gè)例子，意思就是，沒(méi)有被約束的命題可以被提出來(lái))④｛湍篇:然湍:潞)⑤VxP(x)=>P(%o)=>3x0P(30)其中最重要的是①和⑤。這些公式仔細(xì)看一遍大概都能理解。①可以這樣理解：“不存在”等價(jià)于“所有都不”；“不是所有”等價(jià)于“有的不是，①給出了全稱量詞和特稱量詞相互之間的關(guān)系⑤可以這樣理解：特殊值成立是恒成立的必要條件，是存在的充分條件理解起來(lái)大概就是：我恒成立了，我當(dāng)然對(duì)其中一個(gè)成立咯；我都找到一個(gè)符合條件的了，就肯定是存在的了。(所以說(shuō)，恒成立是最強(qiáng)的命題，而存在是最弱的命題)〃//〃〃〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃/〃//〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃前面我們提到了縮記法，縮記法不僅僅減少式子的好雜度，事實(shí)上還能減少我們對(duì)式子的運(yùn)算難度。比如說(shuō)：①命題1：所有的XE/都滿足P(x)這個(gè)命題寫(xiě)為：(▼%)("€/tP(x))縮記為：這時(shí)我們求它的否命題:否定律得：-.(V%)(xE/-P(%))=(3%)-.(-iXE/VP(x))德摩根律得：(^(xe^AiPC%))可縮記為：GxEMiPG)也就是有(重要公式)：->(VxeA)P(x)=eA)-1P(x)采用縮記法的話，命題的否定形式更為直觀，更加符合自然語(yǔ)言的用法:“不是所有的“64都滿足P(x)”與“存在x6A不滿足P(x)”等價(jià)。②同樣有：->(3xeA)p(x)(VxeA)-.PM也就是：“不存在xr滿足P(x)”等價(jià)于“所有的xr都不滿足p(x)”不過(guò)唯一量詞沒(méi)有這樣的性質(zhì)，大家可以自己算一下。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃7、邏輯與集合的關(guān)系(這里只提樸素集合論)為了研究的方便，數(shù)學(xué)家引入了“集合”的概念，使得邏輯更加直觀，簡(jiǎn)練。(具體有什么好處我就不說(shuō)了)什么是集合呢？簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是一個(gè)“袋子”，這個(gè)袋子有兩重含義：①滿足某個(gè)性質(zhì)的所有物體都被扔進(jìn)了這個(gè)袋子里②這個(gè)袋子里的所有物體都滿足同一個(gè)性質(zhì)事實(shí)上，集合就是代替了一個(gè)謂詞的作用，比如一個(gè)集合4={x|P(x)}的內(nèi)在含義便是：Vx(xEA^P(x))(注意要有論域，不然就會(huì)出現(xiàn)悖論)我們可以根據(jù)性質(zhì)去構(gòu)造一個(gè)集合，當(dāng)然也可以直接把集合的元素列舉出來(lái)，這是集合的表示法，翻開(kāi)必修一，有更詳細(xì)的說(shuō)明?！?〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃(事實(shí)上有了集合的概念，邏輯的表達(dá)能力上升了一個(gè)等級(jí)，比如我要一個(gè)自然數(shù)的集合，我們可以這樣去定義：N={n|n=0V(Bm6N)(n=m+1)}這個(gè)集合是由遞歸的方法去定義的：由oeN,得到1eN由1eN,得至1J2eN而這樣的定義直接用謂詞是不行的。)〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃我們?nèi)ダ斫膺壿嫷臅r(shí)候，我們就可以直接用集合去思考了。前面對(duì)邏輯的演算，我們已經(jīng)是用過(guò)集合的思維了(韋恩圖)，所以我們不再說(shuō)明。值得再一提的是“=”和“U”的關(guān)系先來(lái)看兩個(gè)命題：①(