（新課改地區(qū)）2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：第五章平面向量、復(fù)數(shù)5.3平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用【教材·知識(shí)梳理】

1.兩個(gè)向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個(gè)非零向量a和b，作=a，=b，則______就是a與b的夾角，記作<a，b>

設(shè)θ是a與b的夾角，則θ的取值范圍是________________θ=0°或θ=180°?_____，________?a⊥b∠AOB0°≤θ≤180°a∥bθ=90°2.向量的數(shù)量積(1)平面向量的數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：a·b=|a||b|cos<a，b>.(2)向量數(shù)量積的性質(zhì)①如果e是單位向量，則a·e=e·a=__________________________；

②a⊥b?_______；③a·a=____，|a|=④cos<a，b>=(__________)；⑤|a·b|___|a||b|.|a|cosθ(θ是a與e的夾角)a·b=0|a|2|a||b|≠0≤(3)數(shù)量積的運(yùn)算律①交換律：a·b=_____；②分配律：(a+b)·c=__________；③對(duì)λ∈R，λ(a·b)=_________=_________.(4)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，則①a·b=________；②a⊥b?__________；③|a|=__________；④cos<a，b>=b·aa·c+b·c(λa)·ba·(λb)a1b1+a2b2a1b1+a2b2=0【常用結(jié)論】(1)兩向量a與b的夾角為銳角?a·b>0且a與b不共線.(2)兩向量a與b的夾角為鈍角?a·b<0且a與b不共線.(3)|a|cosθ(|b|cosθ)(θ是a與b的夾角)叫做向量a在b(b在a)方向上的投影.(4)(a±b)2=a2±2a·b+b2.(5)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(6)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|.(7)a與b反向時(shí)，a·b=-|a||b|.【知識(shí)點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是. (

)(2)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量. (

)(3)a·b>0,則a與b的夾角為銳角;a·b<0,則a與b的夾角為鈍角. (

)(4)兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量. (

)提示:(1)×.由兩個(gè)向量夾角的定義可知:兩個(gè)向量夾角的范圍為(2)√.因?yàn)橄蛄縜在b方向上的投影|a|cosθ,它是一個(gè)實(shí)數(shù)值.(3)×.因?yàn)閍·b>0,則a與b的夾角為銳角或零角;a·b<0,則a與b的夾角為鈍角或平角.(4)√.由向量的數(shù)量積,向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的定義可知,兩個(gè)向量的數(shù)量積結(jié)果為一實(shí)數(shù),兩個(gè)向量的和或差結(jié)果為向量,向量的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果為向量.【易錯(cuò)點(diǎn)索引】序號(hào)易錯(cuò)警示典題索引1對(duì)“向量a在b方向上的投影”理解不準(zhǔn)確考點(diǎn)一、T32數(shù)——向量與形——幾何關(guān)系之間不能靈活轉(zhuǎn)化考點(diǎn)二、T23混淆向量平行、垂直的等價(jià)條件考點(diǎn)三、角度3【教材·基礎(chǔ)自測(cè)】1.(必修4P128自測(cè)與評(píng)估T5改編)設(shè)a=(5,-7),b=(-6,t),若a·b=-2,則t的值為 (

)

A.-4

B.4

C.

D.-【解析】選A.因?yàn)閍·b=5×(-6)-7t=-2,所以t=-4.2.(必修4P128自測(cè)與評(píng)估T4改編)已知|a|=2,|b|=6,a·b=-6,則a與b的夾角θ為 (

)

【解析】選D.cosθ=,又0≤θ≤π,則θ=3.(必修4P108例1改編)已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角θ=120°,則向量b在向量a方向上的投影為________.

【解析】b在a方向上的投影為|b|cosθ=4×cos120°=-2.答案:-24.(必修4P115習(xí)題2-3AT6改編)在圓O中,長(zhǎng)度為的弦AB不經(jīng)過圓心,則的值為________.

【解析】設(shè)向量的夾角為θ,則答案:1

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算——向量與三角變換的綜合

【素養(yǎng)詮釋】數(shù)學(xué)運(yùn)算是根據(jù)法則、公式進(jìn)行變形的正確運(yùn)算,根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑,它包括:分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序.與向量數(shù)量積有關(guān)運(yùn)算求解能力應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn):(1)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算公式.(2)明確是哪兩個(gè)向量的數(shù)量積.(3)能建立平面直角坐標(biāo)系的盡量建立坐標(biāo)系.【典例】(2017·江蘇高考)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值.(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.【素養(yǎng)立意】

向量數(shù)量積與三角恒等變換,三角函數(shù)圖象與性質(zhì)結(jié)合,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【解析】(1)因?yàn)閍∥b,所以3sinx=-cosx,又cosx≠0,所以tanx=-,因?yàn)閤∈[0,π],所以x=.