理論力學(xué)課堂教學(xué)軟件

理論力學(xué)課堂教學(xué)軟件（2）第一篇靜力學(xué)理論力學(xué)

第2章力矩的概念和力系的等效與簡化

第一篇

靜力學(xué)2.2力偶與力偶系2.3力系的簡化2.1力對點之矩與力對軸之矩

第2章力矩的概念和力系的等效與簡化

ABABAD問題:如何用數(shù)學(xué)工具描述非共點力系對剛體的作用效應(yīng)?根據(jù)牛頓第二定律有設(shè)：共點力系作用在質(zhì)量為m的質(zhì)點上。結(jié)論：力系中是力作用效應(yīng)的度量之一。A

第2章力矩的概念和力系的等效與簡化

2.1力對點之矩與力對軸之矩返回

第2章力矩的概念和力系的等效與簡化

力對點之矩力對軸之矩

合力矩定理

分布荷載專題2.1力對點之矩與力對軸之矩zxyO力對點之矩：力使物體繞某一點轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量。（1）矢量表示式rFdFr——矢徑

O——矩心

力對點之矩zxyFFxFyFzrF＝Fxi+Fyj+Fzkr=xi+yj+zk（2）解析表示式力對點之矩（3）力矩矢量的方向

M=r

F按右手定則FrMO

由于力矩與矩心的位置有關(guān)，所以力矩矢量的始端一定在矩心O處，是定位矢量。力對點之矩

矢量方向（右手定則）

矢量的模（大?。?/p>

矢量作用在O點,垂直于r和F所在的平面。

力對點之矩是一種矢量。注意：由于力對點之矩是矢量，做題目的時候既要求出大小又要求出方向。（4）力對點之矩的幾點結(jié)論力對點之矩zxyOrFd結(jié)論：(1)當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面)時，力對軸的矩等于零；(2)當(dāng)力沿作用線移動時，它對于軸的矩不變。力對軸之矩：力使物體繞某一軸轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度。

zodF（1）概念FFFzFxFyOxyyx-FxFy力對軸之矩（2）力對軸之矩符號規(guī)定注意：力對軸之矩是標(biāo)量（代數(shù)量），用正負(fù)號表示即可。

力矩正負(fù)確定方法：①從z軸正向向負(fù)向看，若力使剛體逆時針轉(zhuǎn)則取正號，反之取負(fù)。②按右手定則確定其正負(fù)號。zodF逆時針＋，順時針－力對軸之矩力對軸之矩力對點之矩在各坐標(biāo)軸上的投影結(jié)論：力對點之矩在過該點的某一軸上投影等于力對該軸之矩。（3）力對軸之矩與力對點之矩的關(guān)系<＝>力對軸之矩等于力對軸上任意一點之矩在該軸上的投影。力對軸之矩zxyOrFd則有：若作用在剛體上的力系存在合力合力矩定理

力對軸之矩：已知：支架受力F作用,

l1,l2,l3,

尺寸已知；求：MO(F)。例題12.1力對點之矩與力對軸之矩MO

(F)=Fd?2.1力對點之矩與力對軸之矩例題1

其中則，原式等于2.1力對點之矩與力對軸之矩解：根據(jù)“合力矩定理”例題1

試求力F對A點之矩及對x、y、z軸之矩。解：（1）力F對A點之矩2.1力對點之矩與力對軸之矩例題2例題2

（2）力F對x、y、z軸之矩力F對x、y、z軸之矩為：2.1力對點之矩與力對軸之矩法1：先求力對O點之矩法2：根據(jù)力對軸定義例題2

分布在較大范圍內(nèi)，不能看作集中力的荷載稱分布荷載。分布荷載專題F1F2q

若分布荷載可以簡化為沿物體中心線分布的平行力，則稱此力系為平行分布線荷載，簡稱線荷載。解：已知：三角形分布載荷的q、梁長l。求：合力、合力作用線位置。設(shè)合力作用線距離A點距離為dyxMAdxl由合力矩定理，合力對A點之矩與分布力對A點之矩相等解得分布荷載專題合力大小：合力作用線位置：結(jié)論：

1、合力的大小等于線荷載所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線荷載的方向相同。3、合力的作用線通過荷載圖的形心。1、均布荷載2、三角形荷載3、梯形荷載l/2l/2qFRFRqq2q1可以看作一個三角形荷載和一個均布荷載的疊加線荷載合力及其合力作用線位置分布荷載專題2.2力偶與力偶系

返回

第2章力矩的概念和力系的等效與簡化

力偶與力偶系力偶的性質(zhì)

力偶系的合成

2.2力偶與力偶系力偶矩矢量力偶實例F1F2F1＝－F2力偶與力偶系

力偶（couple）：大小相等,方向相反,且不共線兩個平行力所組成的力系。F2F1r1r2rBA

力偶也是一種最基本的力系。力偶與力偶系

力偶的作用面與力偶臂F1F2力偶臂：力偶的兩力之間的垂直距離d。力偶作用面：力偶所在的平面。力偶與力偶系

ABFF’FABF’dM注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面，其大小和方向與矩心選取無關(guān)。力偶矩是自由矢量。O力偶矩矢量：力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度。其方向亦可由右手定則確定。力偶與力偶系

性質(zhì)1力偶無合力。因此，力偶不能和一個力等效（平衡），但可以和力偶等效（平衡）。力偶的性質(zhì)力偶的矢量和FR為零。F2F1r1r2rBA性質(zhì)2

只要保持力偶矩矢量不變，力偶可在作用面內(nèi)任意移動和轉(zhuǎn)動，其對剛體的作用效果不變。FF′FF′FF′ABAB力偶的性質(zhì)性質(zhì)3

保持力偶矩矢量不變，分別改變力和力偶臂大?。‵，d

），其作用效果不變。2F2F′FF′AB力偶的性質(zhì)

力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。下面符號都表示力偶。M為力偶的矩。力偶的性質(zhì)力偶性質(zhì)推論的應(yīng)用限制

本章中關(guān)于力偶性質(zhì)及其推論，在力系簡化以及平衡問題研究中都是非常重要的。但是，這些推論僅適用于剛體，不適用于變形體。

彎曲力偶作用在自由端→全梁發(fā)生彎曲變形。彎曲力偶作用在中間→梁左端發(fā)生彎曲變形，右端不發(fā)生彎曲變形。扭轉(zhuǎn)力偶作用在自由端→整個桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。扭轉(zhuǎn)力偶作用在中間→桿左端發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，桿右端不發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。

力偶系：由兩個或兩個以上力偶組成的特殊力系。力偶系的合成M

任意個在空間分布的力偶，可以合成一個合力偶，合力偶矩矢量等于原力偶系中所有力偶矩矢量之和。即力偶系的合成思考題1

剛體上A、B、C、D四點組成一個平行四邊形，如在其四個頂點作用有四個力，此四力沿四個邊恰好組成封閉的力多邊形，如圖所示。此剛體是否平衡？F1F3BACDF2F4力偶系的合成思考PORM思考題2

從力偶理論知道，一力不能與力偶平衡。圖示輪子上的力P為什么能與M平衡呢？

FO力偶系的合成思考2.3力系的簡化

返回

第2章力矩的概念和力系的等效與簡化

力向一點平移定理空間一般力系的簡化

力系簡化在固定端約束力分析中的應(yīng)用2.3力系的簡化空間力系簡化的幾種最后結(jié)果

力系等效定理rOdA在O點作用什么力系才能使二者等效?FAOdrF?力向一點平移定理

思考dOAr加減平衡力系(F',F''

)二者等效FdOrAFF'

F

''

OArF'

MO力向一點平移定理：可以把作用在剛體上點A的力F平行移到任一點O，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力F對新作用點O的矩。點O——簡化中心。注意：力線平移定理的逆步驟，亦可把一個力和一個力偶合成一個力。力向一點平移定理

——力系簡化的基礎(chǔ)力系：兩個或兩個以上的力和力偶所組成的系統(tǒng)，（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n），又稱力的集合。F1F4FnF3F2M1MnxAyz力系的簡化：就是將由若干力和力偶所組成的一般力系，變?yōu)橐粋€力，或一個力偶，或者一個力和一個力偶的簡單的、但是等效的情形?？臻g一般力系的簡化

空間力系向點O簡化得到一空間匯交力系和一空間力偶系，如圖。FnF1F2yzxOF'1F'nF'2MnM2M1zyxOMOFROxyz＝＝空間一般力系的簡化1、主矢：空間任意力系中各力的矢量和。MOFROzxy定義：2、主矩：空間任意力系中各力對任選簡化中心

O

的力矩矢量和，稱為該力系對簡化中心

O的主矩。注意：主矢與簡化中心的位置無關(guān)；而主矩與簡化中心的位置有關(guān)?？臻g一般力系的簡化怎樣判斷不同力系的運動效應(yīng)是否相同？如何判斷力系等效？MCFBFA力系1FCMEMD力系2

兩個力系對剛體運動效應(yīng)相等的條件是：

主矢相等和對同一點的主矩相等。力系等效定理力系等效定理例題3

由F1、F2組成的空間力系，已知：F1=F2=F。試求力系的主矢FR以及力系對O、A、E三點的主矩。

解：1、計算主矢

令i、j、k為x、y、z方向的單位矢量，則力系中的二力可寫成

于是，力系的主矢為2.3力系的簡化例題3

2、計算主矩應(yīng)用矢量叉乘方法，力系對O、A、E三點的主矩分別為：

2.3力系的簡化例題3

例題4

圖示空間力系中，力偶作用在Oxy平面內(nèi)，力偶矩M=24N·m。試求此力系向O點簡化的結(jié)果。

解：首先，將已知的力和力偶都表示為矢量的形式

M=(0,0,-24)N?mF1F2F3同時將O點至各力的矢徑也表示為矢量的形式

2.3力系的簡化例題4

主矢：M=(0,0,-24)N?m主矩：2.3力系的簡化例題4

力系簡化在固定端約束力分析中的應(yīng)用

力系簡化在固定端約束力分析中的應(yīng)用

AAA固定端約束：一個物體的一端完全固定在另一物體上所構(gòu)成的約束。這時約束物體既限制了被約束物體的移動，又限制了被約束物體的轉(zhuǎn)動。AMAFAyFAxFAMA固定端約束的約束力為作用在接觸面上的復(fù)雜分布力系。力系簡化在固定端約束力分析中的應(yīng)用

空間約束類型力系簡化在固定端約束力分析中的應(yīng)用

幾種特殊情形平衡力系還可以進(jìn)一步簡化合力偶合力（與簡化中心的位置無關(guān)）（與簡化中心的位置無關(guān)）（合力作用線過簡化中心）空間力系簡化的幾種最后結(jié)果進(jìn)一步簡化

FR⊥

MO

FR∥

MO

FR既不平行也不垂直于MO空間力系簡化的幾種最后結(jié)果合力的作用線離簡化中心O的距離為

◆FR≠

0，MO≠0，且FR⊥MOMOFROFRF'RFROO'dFROO'＝＝空間力系簡化的幾種最后結(jié)果◆F'R≠

0，MO≠0，且F'R∥MO此時無法進(jìn)一步合成，這就是簡化的最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直的情形稱為力螺旋。F'R與MO同方向時，稱為右手螺旋；

F'R與MO反向時，稱為左手螺旋。圖示為一右手螺旋。＝MOF'ROOF'R空間力系簡化的幾種最后結(jié)果◆F'R≠

0，MO≠0，同時兩者既不平行，又不垂直。此時可將MO分解為兩個分力偶M"O和M'O，它們分別垂直于F'R和平行于F'R，